Page20第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)同步單元必刷卷(培優(yōu)版）單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分1．（2024·廣西桂林市·高一月考）已知函數(shù)（）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增2．（2024·河北安平中學(xué)）設(shè)是定義域為的偶函數(shù)，若，都有，則大小關(guān)系正確的為（）A． B．C． D．3．（2024·安徽省亳州市第一中學(xué)高一月考）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力狀況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿意．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.64．（2024·江西高安中學(xué)高一月考）已知實數(shù)，滿意，下列5個關(guān)系式：①；②；③；④；⑤．其中不行能成立的關(guān)系有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個5．（2024·江蘇省如東高級中學(xué)高一月考）已知函數(shù)若方程有三個不同的實數(shù)根，，，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．（2024·云南普洱一中高一月考）已知，若存在三個不同實數(shù)、、使得，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．（2024·淮北市樹人高級中學(xué)高一月考）已知函數(shù)，若方程有4個解時，實數(shù)a的取值范圍為（）A． B．C． D．8．（2024·曲周縣第一中學(xué)）已知函數(shù)，函數(shù).若隨意的，存在，使得，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9．（2024·淮北市樹人高級中學(xué)高一月考）某數(shù)學(xué)課外愛好小組對函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行了探究，得到下列四個命題，其中真命題為（）A．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱B．當(dāng)時，是增函數(shù)，當(dāng)時，是減函數(shù)C．函數(shù)的最小值是D．當(dāng)或時，是增函數(shù)10．（2024·深圳試驗學(xué)校中學(xué)部高一月考）已知函數(shù)，給出下述論述，其中正確的是（）A．當(dāng)時，的定義域為 B．肯定有最小值C．當(dāng)時，的增區(qū)間為 D．若的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是11．（2024·淮北市樹人高級中學(xué)）給出下列命題：①函數(shù)，的圖象與直線可能有兩個不同的交點；②函數(shù)與函數(shù)是相等函數(shù)；③若，則的取值范圍是；④已知是方程的根，是方程的根，則．其中正確命題的序號是（）A．① B．② C．③ D．④12．（2024·福建省漳州第一中學(xué)高一月考）已知函數(shù)，若方程有四個不同的實數(shù)解且，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．為定值C． D．的最小值為填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（2024·福建廈門市·廈門外國語學(xué)校高一月考）已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則的值為___________.14．（2024·江蘇省如東高級中學(xué)高一月考）已知，則的值為___________．15．（2024·廣西桂林市·高一月考）已知函數(shù)，函數(shù)，若，恰有1個零點，則的取值范圍為________．16．（2024·重慶市第七中學(xué)校）函數(shù)的定義域為，若滿意：（1）在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；（2）存在，使得在上的值域為，那么就稱函數(shù)為“幻想函數(shù)”．若函數(shù)是“幻想函數(shù)”，則的取值范圍是______________．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（2024·湖南長沙一中高一月考）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，若函數(shù)存在零點，求實數(shù)的取值范圍并探討零點個數(shù)；（2）當(dāng)時，若對隨意的，總存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（2024·江蘇省西亭高級中學(xué)）設(shè)，函數(shù)．（1）已知，求證：函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)；（2）已知．（i）推斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（ii）函數(shù)在區(qū)間上的值域是，求的取值范圍．19．（2024·浙江高一月考）已知，函數(shù)(1)若，求函數(shù)的定義域；(2)設(shè)，若對隨意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過2，求的最小值；(3)若關(guān)于的方程的解集中恰好只有一個元素，求實數(shù)的取值范圍.20．（2024·湖南周南中學(xué)高一月考）已知，函數(shù).（1）設(shè)，若對隨意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過2，求a的最小值；（2）若關(guān)于x的方程的解集中恰好只有一個元素，求a的取值范圍.21．（2024·陸良縣中樞鎮(zhèn)其次中學(xué)高一月考）改革開放40多年來，從開啟新時期到跨入新世紀(jì)，從站上新起點到進(jìn)入新時代，我們黨引領(lǐng)人民繪就了一幅洶涌澎湃、氣概恢宏的歷史畫卷，譜寫了一曲感天動地、氣壯山河的奮斗贊歌，40多年來我們始終堅持愛護(hù)環(huán)境和節(jié)約資源，堅持推動生態(tài)文明建設(shè)．昭通市政府也越來越重視生態(tài)系統(tǒng)的重建和維護(hù)，若市財政下?lián)芤豁棇？?00百萬元，分別用于植綠護(hù)綠和處理污染兩個生態(tài)維護(hù)項目，植綠護(hù)綠項目五年內(nèi)帶來的生態(tài)收益可表示為投放資金（單位：百萬元）的函數(shù)（單位：百萬元）：，處理污染項目五年內(nèi)帶來的生態(tài)收益可表示為投放資金（單位：百萬元）的函數(shù)（單位：百萬元）：．（1）設(shè)安排給植綠護(hù)綠項目的資金為（百萬元），則兩個生態(tài)項目五年內(nèi)帶來的收益總和為，寫出關(guān)于的函數(shù)解析式和定義域；（2）生態(tài)項目的投資起先利潤薄弱，只有持之以恒，才能功在當(dāng)代，利在千秋．試求出的最大值，并求出此時對兩個生態(tài)項目的投資分別為多少?22．（2024·上海黃浦·格致中學(xué)高一月考）已知集合{對于存在，使得成立}.（1）推斷和是否屬于集合，并說明理由；（2）設(shè)，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知時，，且對隨意，恒有，令，，試探討函數(shù)，的零點的個數(shù).第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)同步單元必刷卷全解全析1．D在上分別遞減，在上遞增，在上遞減，在上遞增，則在上遞減，在上遞增，∴在上遞增.故選：D2．D【詳解】因為若，都有，所以在上單調(diào)遞增；因為是定義域為的偶函數(shù)，所以，因為，所以，而在上單調(diào)遞增，所以，故，即故選：D.3．C由，當(dāng)時，，則.故選：C.4．A由，兩邊取常用對數(shù)得：，因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，成立；當(dāng)時，，故選：A5．C函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其圖象如圖，方程有三個不同的實數(shù)根，即直線與的圖象有三個公共點，則，由，得：，即，而，，則，于是得，明顯時，，當(dāng)時，，所以的取值范圍是.故選：C6．D如圖所示，繪出函數(shù)的圖像，可令、、依次從左到右，結(jié)合圖像易知，，，，，故，故選：D.7．A【詳解】依據(jù)函數(shù)，做出其大致圖像如下：設(shè)，依據(jù)函數(shù)圖像有：當(dāng)時，方程有2個實數(shù)根；當(dāng)時，方程有3個實數(shù)根；當(dāng)時，方程有2個實數(shù)根；當(dāng)時，方程有1個實數(shù)根；當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根；當(dāng)若的零點個數(shù)為4個時，方程有兩個不等實數(shù)根，且滿意，或，或；令，，①當(dāng)時，則，即，解得；②當(dāng)時，則，即，無解；③當(dāng)，時，則，即，解得，綜上：，故選：A.8．D【詳解】由，由可得，①當(dāng)吋，函數(shù)單調(diào)遞減，此時，則必有，解得；②當(dāng)吋，函數(shù)單調(diào)遞增，此時，則必有，無解.故實數(shù)的取值范圍為.9．ACD【詳解】的定義域為，關(guān)于原點對稱，且滿意，所以函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，故A是真命題；當(dāng)時，，令，則，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，又在定義域上是增函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故B是假命題；當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），又是偶函數(shù)，所以函數(shù)的最小值是，故C是真命題；當(dāng)時，是減函數(shù)，當(dāng)時，是增函數(shù)，又是偶函數(shù)，所以依據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)或時，是增函數(shù)，故D是真命題．故選：ACD．10．ACD【詳解】對于A選項，當(dāng)時，，故得，故的定義域為，故A選項正確；對于B選項，舉反例：當(dāng)時，，所以的定義域為，此時，此時，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；故值域為，故B錯誤；對于C選項，當(dāng)時，，所以的定義域為，此時，此時，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；故C選項正確；對于D選項，因為的值域為R，所以是的值域的子集，故需滿意，所以或，故實數(shù)a的取值范圍是，所以D選項正確.故選：ACD.11．CD依據(jù)函數(shù)定義，對定義域內(nèi)的隨意一個值，只有唯一的值與之對應(yīng)，∴函數(shù)，的圖象與直線可能有一個或0個交點，因此①錯；中定義域是，函數(shù)的定義域是，定義域不相同，不是同一函數(shù)，②錯；若，即，當(dāng)時，則，此時，當(dāng)時不成立，即的取值范圍是，因此③正確;如圖，分別是函數(shù)、的圖象與直線的交點、的橫坐標(biāo)，由于與是互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對稱，而直線與直線垂直，因此兩點關(guān)于直線對稱，直線與直線的交點為，∴．④正確．故選：CD．12．AB畫出函數(shù)的圖象，方程有四個不同的實數(shù)解，和有4個不同的交點，則視察圖象可得，故A正確，則，即，則，即，，又和關(guān)于對稱，，為定值，故B正確；，且，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，即，故C錯誤；在單調(diào)遞增，，故D錯誤.故選：AB..13．因為是定義在上的奇函數(shù)，則，又，所以.故答案為：614．【詳解】因為，所以，所以.故答案為：15．【詳解】當(dāng)時，且單調(diào)遞增；當(dāng)時，，而在上遞增，∴在上遞減，且，綜上，可得的圖象如下，∴要使在恰有1個零點，則.故答案為：.16．【詳解】依題意，函數(shù)，（1）設(shè)，當(dāng)時，為增函數(shù)，也是增函數(shù)，則為增函數(shù)；當(dāng)時，為減函數(shù)，也是減函數(shù)，則為增函數(shù)；綜上，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，即在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；（2）在內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，若為“幻想函數(shù)”設(shè)存在，使得在上的值域為，則有，即是方程的兩個不等的實根，設(shè)，則，所以方程等價為的有兩個不等的正實根，則有，即，解得：0，故答案為：.17．（1）令，則，因為函數(shù)的對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，要使得在有零點，則即，所以，所以實數(shù)的取值范圍為，由可得，所以，當(dāng)即時，有兩個零點，當(dāng)或時有個零點，（2）當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，可得當(dāng)，，記集合，由題意知：，當(dāng)時，在上是增函數(shù)，此時，記集合若對隨意的，總存在，使成立，則，所以，解得，當(dāng)時，在上是減函數(shù)，此時，記集合若對隨意的，總存在，使成立，則，所以，解得，綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.18．（1）證明：因為，所以，由得函數(shù)的定義域為，又所以函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)（2）當(dāng)時，因為，所以，所以函數(shù)的定義域為．（i）結(jié)論：函數(shù)為上的單調(diào)增函數(shù)．證明：設(shè)對隨意的，，且，因為，所以即因為，所以，，又，所以，即，所以函數(shù)為上的單調(diào)增函數(shù)（ii）因為，所以，從而．又由知，，所以，因為，由（i）知，函數(shù)為上的單調(diào)增函數(shù)．因為函數(shù)在區(qū)間上的值域是，所以，即從而關(guān)于的方程有兩個互異實根．令，所以方程有兩個互異正根．所以，解得.19．(1)解得.所以函數(shù)的定義域為(2)解：由題意得因為在上為減函數(shù)，所以又因為在為增函數(shù)，所以所以在恒成立即在恒成立，即在恒成立，等價為在的最小值大于等于0，因為在為增函數(shù)，所以即，所以的最小值為(3)方程，即可轉(zhuǎn)化為，且①當(dāng)即時，，符合題意；②當(dāng)即時，(i)當(dāng)時，符合題意(ii)當(dāng)時，且時，要滿意題意，則有或無解綜上可得，的取值范圍.20．解：由題意得（1）因為在上為減函數(shù)，所以又因為在為增函數(shù)，所以所以在恒成立，即在恒成立，即在恒成立，等價為在的最小值大于等于0，因為在為增函數(shù)，所以即，所以的最小值為.（2）方程，即可轉(zhuǎn)化為，且②當(dāng)即時，，符合題意；②當(dāng)即時，，（i）當(dāng)時，符合題意（ii）當(dāng)時，且時，要滿意題意，則有或無解綜上可得，的取值范圍.21．【詳解】（1）由題意可得處理污染項目投放資金為百萬元，則，，．（2）由（1）可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．此時．所以的最大值為