江蘇省連云港市灌南縣二中2025屆高三一診考試數學試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．2019年10月1日，為了慶祝中華人民共和國成立70周年，小明、小紅、小金三人以國慶為主題各自獨立完成一幅十字繡贈送給當地的村委會，這三幅十字繡分別命名為“鴻福齊天”、“國富民強”、“興國之路”，為了弄清“國富民強”這一作品是誰制作的，村支書對三人進行了問話，得到回復如下：小明說：“鴻福齊天”是我制作的；小紅說：“國富民強”不是小明制作的，就是我制作的；小金說：“興國之路”不是我制作的，若三人的說法有且僅有一人是正確的，則“鴻福齊天”的制作者是（）A．小明 B．小紅 C．小金 D．小金或小明2．已知定義在上的函數的周期為4，當時，，則（）A． B． C． D．3．已知為非零向量，“”為“”的（）A．充分不必要條件 B．充分必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．設，滿足約束條件，若的最大值為，則的展開式中項的系數為()A．60 B．80 C．90 D．1205．執行如圖所示的程序框圖，輸出的結果為（）A． B．4 C． D．6．在正方體中，點、分別為、的中點，過點作平面使平面，平面若直線平面，則的值為（）A． B． C． D．7．已知，則的值等于（）A． B． C． D．8．已知集合．為自然數集，則下列表示不正確的是（）A． B． C． D．9．閱讀名著，品味人生，是中華民族的優良傳統.學生李華計劃在高一年級每周星期一至星期五的每天閱讀半個小時中國四大名著：《紅樓夢》、《三國演義》、《水滸傳》及《西游記》，其中每天閱讀一種，每種至少閱讀一次，則每周不同的閱讀計劃共有（）A．120種 B．240種 C．480種 D．600種10．已知是雙曲線的左、右焦點，若點關于雙曲線漸近線的對稱點滿足（為坐標原點），則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．11．定義在上的偶函數，對，，且，有成立，已知，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．12．高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，例如：，，已知函數（），則函數的值域為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，滿足約束條件，則的最大值為________．14．已知拋物線的焦點為，過點且斜率為1的直線交拋物線于兩點，，若線段的垂直平分線與軸交點的橫坐標為，則的值為_________.15．已知，，，則的最小值是__．16．已知函數的圖象在點處的切線方程是，則的值等于__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）記函數的最小值為.（1）求的值；（2）若正數，，滿足，證明：.18．（12分）如圖在四邊形中，，，為中點，.（1）求；（2）若，求面積的最大值.19．（12分）健身館某項目收費標準為每次60元，現推出會員優惠活動：具體收費標準如下：現隨機抽取了100為會員統計它們的消費次數，得到數據如下：假設該項目的成本為每次30元，根據給出的數據回答下列問題：（1）估計1位會員至少消費兩次的概率（2）某會員消費4次，求這4次消費獲得的平均利潤；（3）假設每個會員每星期最多消費4次，以事件發生的頻率作為相應事件的概率，從會員中隨機抽取兩位，記從這兩位會員的消費獲得的平均利潤之差的絕對值為，求的分布列及數學期望20．（12分）在最新公布的湖南新高考方案中，“”模式要求學生在語數外3門全國統考科目之外，在歷史和物理2門科目中必選且只選1門，再從化學、生物、地理、政治4門科目中任選2門，后三科的高考成績按新的規則轉換后計入高考總分.相應地，高校在招生時可對特定專業設置具體的選修科目要求.雙超中學高一年級有學生1200人，現從中隨機抽取40人進行選科情況調查，用數字1~6分別依次代表歷史、物理、化學、生物、地理、政治6科，得到如下的統計表：序號選科情況序號選科情況序號選科情況序號選科情況11341123621156312352235122342223532236323513145232453323541451413524235341355156152362525635156624516236261563623672561715627134371568235182362823538134923519145292463923510236202353015640245（1）雙超中學規定：每個選修班最多編排50人且盡量滿額編班，每位老師執教2個選修班（當且僅當一門科目的選課班級總數為奇數時，允許這門科目的1位老師只教1個班）.已知雙超中學高一年級現有化學、生物科目教師每科各8人，用樣本估計總體，則化學、生物兩科的教師人數是否需要調整？如果需要調整，各需增加或減少多少人？（2）請創建列聯表，運用獨立性檢驗的知識進行分析，探究是否有的把握判斷學生“選擇化學科目”與“選擇物理科目”有關.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（3）某高校在其熱門人文專業的招生簡章中明確要求，僅允許選修了歷史科目，且在政治和地理2門中至少選修了1門的考生報名.現從雙超中學高一新生中隨機抽取3人，設具備高校專業報名資格的人數為，用樣本的頻率估計概率，求的分布列與期望.21．（12分）已知滿足，且，求的值及的面積.（從①，②，③這三個條件中選一個，補充到上面問題中，并完成解答.）22．（10分）在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且.（1）求角A的大小；（2）若，的平分線與交于點D，與的外接圓交于點E（異于點A），，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

將三個人制作的所有情況列舉出來，再一一論證.【詳解】依題意，三個人制作的所有情況如下所示：123456鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金國富民強小紅小金小金小明小紅小明興國之路小金小紅小明小金小明小紅若小明的說法正確，則均不滿足；若小紅的說法正確，則4滿足；若小金的說法正確，則3滿足.故“鴻福齊天”的制作者是小紅，故選：B.【點睛】本題考查推理與證明，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于基礎題.2、A【解析】

因為給出的解析式只適用于，所以利用周期性，將轉化為，再與一起代入解析式，利用對數恒等式和對數的運算性質，即可求得結果.【詳解】定義在上的函數的周期為4，當時，，，，.故選：A.【點睛】本題考查了利用函數的周期性求函數值，對數的運算性質，屬于中檔題.3、B【解析】

由數量積的定義可得,為實數,則由可得,根據共線的性質,可判斷；再根據判斷,由等價法即可判斷兩命題的關系.【詳解】若成立,則,則向量與的方向相同,且,從而,所以；若,則向量與的方向相同,且,從而,所以.所以“”為“”的充分必要條件.故選:B【點睛】本題考查充分條件和必要條件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、數量積的應用.4、B【解析】

畫出可行域和目標函數，根據平移得到，再利用二項式定理計算得到答案.【詳解】如圖所示：畫出可行域和目標函數，，即，故表示直線與截距的倍，根據圖像知：當時，的最大值為，故.展開式的通項為：，取得到項的系數為：.故選：.【點睛】本題考查了線性規劃求最值，二項式定理，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.5、A【解析】

模擬執行程序框圖，依次寫出每次循環得到的的值，當，，退出循環，輸出結果.【詳解】程序運行過程如下：，；，；，；，；，；，；，，退出循環，輸出結果為，故選：A.【點睛】該題考查的是有關程序框圖的問題，涉及到的知識點有判斷程序框圖輸出結果，屬于基礎題目.6、B【解析】

作出圖形，設平面分別交、于點、，連接、、，取的中點，連接、，連接交于點，推導出，由線面平行的性質定理可得出，可得出點為的中點，同理可得出點為的中點，結合中位線的性質可求得的值.【詳解】如下圖所示：設平面分別交、于點、，連接、、，取的中點，連接、，連接交于點，四邊形為正方形，、分別為、的中點，則且，四邊形為平行四邊形，且，且，且，則四邊形為平行四邊形，，平面，則存在直線平面，使得，若平面，則平面，又平面，則平面，此時，平面為平面，直線不可能與平面平行，所以，平面，，平面，平面，平面平面，，，所以，四邊形為平行四邊形，可得，為的中點，同理可證為的中點，，，因此，.故選：B.【點睛】本題考查線段長度比值的計算，涉及線面平行性質的應用，解答的關鍵就是找出平面與正方體各棱的交點位置，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.7、A【解析】

由余弦公式的二倍角可得，，再由誘導公式有，所以【詳解】∵∴由余弦公式的二倍角展開式有又∵∴故選：A【點睛】本題考查了學生對二倍角公式的應用，要求學生熟練掌握三角函數中的誘導公式，屬于簡單題8、D【解析】

集合．為自然數集，由此能求出結果．【詳解】解：集合．為自然數集，在A中，，正確；在B中，，正確；在C中，，正確；在D中，不是的子集，故D錯誤．故選：D．【點睛】本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關系、集合與集合的關系等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．9、B【解析】

首先將五天進行分組，再對名著進行分配，根據分步乘法計數原理求得結果.【詳解】將周一至周五分為組，每組至少天，共有：種分組方法；將四大名著安排到組中，每組種名著，共有：種分配方法；由分步乘法計數原理可得不同的閱讀計劃共有：種本題正確選項：【點睛】本題考查排列組合中的分組分配問題，涉及到分步乘法計數原理的應用，易錯點是忽略分組中涉及到的平均分組問題.10、B【解析】

先利用對稱得，根據可得，由幾何性質可得，即，從而解得漸近線方程.【詳解】如圖所示：由對稱性可得：為的中點，且，所以，因為，所以，故而由幾何性質可得，即，故漸近線方程為，故選B.【點睛】本題考查了點關于直線對稱點的知識，考查了雙曲線漸近線方程，由題意得出是解題的關鍵，屬于中檔題.11、A【解析】

根據偶函數的性質和單調性即可判斷.【詳解】解：對，，且，有在上遞增因為定義在上的偶函數所以在上遞減又因為，，所以故選：A【點睛】考查偶函數的性質以及單調性的應用，基礎題.12、B【解析】

利用換元法化簡解析式為二次函數的形式，根據二次函數的性質求得的取值范圍，由此求得的值域.【詳解】因為（），所以，令（），則（），函數的對稱軸方程為，所以，，所以，所以的值域為.故選：B【點睛】本小題考查函數的定義域與值域等基礎知識，考查學生分析問題，解決問題的能力，運算求解能力，轉化與化歸思想，換元思想，分類討論和應用意識.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據題意，畫出可行域，將目標函數看成可行域內的點與原點距離的平方，利用圖象即可求解.【詳解】可行域如圖所示，易知當，時，的最大值為．故答案為：9.【點睛】本題考查了利用幾何法解決非線性規劃問題，屬于中檔題.14、1【解析】

設，寫出直線方程代入拋物線方程后應用韋達定理求得，由拋物線定義得焦點弦長，求得，再寫出的垂直平分線方程，得，從而可得結論．【詳解】拋物線的焦點坐標為，直線的方程為，據得.設，則.線段垂直平分線方程為，令，則，所以，所以.故答案為：1．【點睛】本題考查拋物線的焦點弦問題，根據拋物線的定義表示出焦點弦長是解題關鍵．15、．【解析】

因為，展開后利用基本不等式，即可得到本題答案.【詳解】由，得，所以，當且僅當，取等號.故答案為：【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，考查學生的轉化能力和運算求解能力.16、【解析】

利用導數的幾何意義即可解決.【詳解】由已知，，，故.故答案為：.【點睛】本題考查導數的幾何意義，要注意在某點的切線與過某點的切線的區別，本題屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）將函數轉化為分段函數或利用絕對值三角不等式進行求解；（2）利用基本不等式或柯西不等式證明即可.【詳解】解法一：（1）當時，，當，，當時，，所以解法二：（1）如圖當時，解法三：（1）當且僅當即時，等號成立.當時解法一：（2）由題意可知，，因為，，，所以要證明不等式，只需證明，因為成立，所以原不等式成立.解法二：（2）因為，，，所以，，又因為，所以，所以，原不等式得證.補充：解法三：（2）由題意可知，，因為，，，所以要證明不等式，只需證明，由柯西不等式得：成立，所以原不等式成立.【點睛】本題主要考查了絕對值函數的最值求解，不等式的證明，絕對值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的應用，考查了學生的邏輯推理和運算求解能力.18、（1）1；（2）【解析】

（1），在和中分別運用余弦定理可表示出，運用算兩次的思想即可求得，進而求出；（2）在中，根據余弦定理和基本不等式，可求得，再由三角形的面積公式以及正弦函數的有界性，求出的面積的最大值．【詳解】（1）由題設，則在和中由余弦定理得：，即解得，∴（2）在中由余弦定理得，即，∴所以面積的最大值為，此時.【點睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應用，以及三角形面積公式的應用，意在考查學生的數學運算能力，屬于中檔題．19、（1）（2）22.5（3）見解析，【解析】

（1）根據頻數計算頻率，得出概率；（2）根據優惠標準計算平均利潤；（3）求出各種情況對應的的值和概率，得出分布列，從而計算出數學期望．【詳解】解：（1）估計1位會員至少消費兩次的概率；（2）第1次消費利潤；第2次消費利潤；第3次消費利潤；第4次消費利潤；這4次消費獲得的平均利潤：（3）1次消費利潤是27，概率是；2次消費利潤是，概率是；3次消費利潤是，概率是；4次消費利潤是，概率是；由題意：故分布列為：0期望為:【點睛】本題考查概率、平均利潤、離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，考查古典概型、相互獨立事件概率乘法公式等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．20、（1）不需調整（2）列聯表見解析；有的把握判斷學生“選擇化學科目”與“選擇物理科目”有關（3）詳見解析【解析】

（1）可估計高一年級選修相應科目的人數分別為120，2，推理得對應開設選修班的數目分別為15，1．推理知生物科目需要減少4名教師，化學科目不需要調整．（2）根據列聯表計算觀測值，根據臨界值表可得結論．（3）經統計，樣本中選修了歷史科目且在政治和地理2門中至少選修了一門的人數為12，頻率為．用頻率估計概率，則，根據二項分布概率公式可得分布列和數學期望．【詳解】（1）經統計可知，樣本40人中，選修化學、生物的人數分別為24，11，則可估計高一年級選修相應科目的人數分別為120，2．根據每個選修班最多編排50人，且盡量滿額編班，得對應開設選修班的數目分別為15，1．現有化學、生物科目教師每科各8人，根據每位教師執教2個選修班，當且僅當一門科目的選課班級總數為奇