計量經濟學

Econometrics

討論橫截面數據的回歸分析由于橫截面分析的假設相對簡單而現實，所以本課程首先介紹和講解嚴謹的橫截面應用。入門層次課將包含第1~８章，這包含對橫截面數據進行簡單和多元回歸分析的基本要素。倘若強調直覺和對經驗例子的解釋，前８章對于大多數經濟系的本科生都可以接受的。簡單回歸模型提要一、簡單回歸模型的定義二、普通最小二乘法（OLS）的推導三、OLS的性質四、度量單位與函數形式五、OLS估量的期望值與方差回歸模型的類型例如一、簡單回歸模型的定義簡單回歸模型可用于研究兩個變量之間的關系。學習、認識簡單回歸模型是深入學習和應用多元回歸模型是入門性的工具。應用計量經濟分析，一般說來是從做模型假設開始：比如x和y是兩個代表某個總體的變量，關注的是“用x來解釋y”，或者“研究y如何隨x而變化”。一、簡單回歸模型的定義第1章討論的一些例子，其中包括y是每小時工資，x是受教育的年數；y是社區犯罪率，x是警察的數量。建立用x解釋y的模型時，要面臨三個問題。第一，既然兩個變量之間沒有確切的關系，那么應該如何考慮其他影響y的因素呢？第二，y與x的函數關系是怎樣的呢？第三，怎樣確定在其他條件不變的條件下刻畫了y與x之間的關系（如果這是一個理想目標的話）？一、簡單回歸模型的定義

1、怎樣建立y與x的函數關系一、簡單回歸模型的定義簡單線性回歸模型一、簡單回歸模型的定義2、方程（2.1）中變量的名稱通過方程（2.1）聯系起來，變量y和x就有許多可以互換的不同名稱。y被稱為因變量(dependentvariables)、被解釋變量（explainedvariables)、響應變量(variables)、被預測變量(variables)或者回歸子(regressand)。x被稱為自變量(independentvariables)、解釋變量(explanatoryvariables)、控制變量(controlvariables)、預測變量(predictorvariables)或者回歸元(regressor)。另外，x還被稱為協變量(covariate)。“因變量”和“自變量”兩個詞在計量經濟學中使用較多，但要注意這里所說的“自變”(independent)與統計學里隨機變量之間的獨立有所不同。一、簡單回歸模型的定義“被解釋”和“解釋”變量這兩個詞是最具描述性的一、簡單回歸模型的定義關于u的含義一、簡單回歸模型的定義例子一、簡單回歸模型的定義例子一、簡單回歸模型的定義3、關于模型假設的幾點說明（2.1）式的線性形式意味著：不管x的初始值為多少，它的任何一單位變化對y的影響都是相同的。這樣做，對許多經濟應用來說是不現實的。例如，在工資教育的例子中，或許還要考慮到遞增的回報，即后一年的教育比前一年的教育對工資的影響更大。2.4節將研究如何允許這種可能性。3、關于模型假設的幾點說明問題：模型(2.1)是否真的得到關于x如何在其他因素不變下影響y的結論?從方程(2.2)中看出，保持所有其他因素（u中）不變，β1確實能度量x對y的影響。至此，對這個因果問題的討論可以就此結束嗎？非常不幸，還不行。通常，我們怎么能在忽略所有其他因素的同時，得到其他因素不變情況下x對y的影響呢？

一、簡單回歸模型的定義一、簡單回歸模型的定義4、關于u的假設在陳述x與u如何關聯的重要假定之前，總能先對u做出假設。只要方程中包含截距β０，假定總體中u的平均值為０就不會失掉什么。用數學形式表示為：E(u)＝０（2.5）假設（2.5）式對u與x的關系沒有提及，無非是對總體中無法觀測因素的分布給出一個命題。用前面例子解釋，可以看到，假設（2.5）的約束性不是特別強。一、簡單回歸模型的定義4、關于u的假設因為u和x是隨機變量，所以能夠在任何給定的x值下定義u的條件分布。即，對于任何x值，我們都能在x值所描述的總體剖面上求出u的期望（或平均）值。

關鍵假設是，u的平均值與x值無關。可把它寫成：Ｅ(u

|x)＝Ｅ(u)（2.6）方程（2.6）表示，根據x值的不同把總體劃分成若干部分，每個部分中無法觀測的因素都具有相同的平均值，而且這個共同的平均值必然等于整個總體中u的平均值。當方程（2.6）成立時，就說u的均值獨立于x。

一、簡單回歸模型的定義4、關于u的假設當把均值獨立性與假設(2.5)相結合時，便得到零條件均值假設(zeroconditionalmeanassumption)：Ｅ(u|x)＝0

記住，方程（2.6）是非常重要的假設；假設（2.5）就是定義截距β０

一、簡單回歸模型的定義總體回歸函數圖形

一、簡單回歸模型的定義4、關于u的假設二、普通最小二乘法（OLS）的推導從總體到樣本的抽樣二、普通最小二乘法（OLS）的推導圖2-2二、普通最小二乘法（OLS）的推導有幾種方法求解方程

二、普通最小二乘法（OLS）的推導運算二、普通最小二乘法（OLS）的推導二、普通最小二乘法（OLS）的推導二、普通最小二乘法（OLS）的推導圖2-4二、普通最小二乘法（OLS）的推導另外的公式例子例子-續例子三、OLS的性質前面考察了OLS截距和斜率參數的數學推導，本節討論擬合OLS回歸線的某些代數性質。1、擬合值和殘差三、OLS的性質2、統計量的代數性質三、OLS的性質把OLS看作是把yi分成擬合值和殘差兩個部分。在樣本中，擬合值與殘差是不相關的。三、OLS的性質3、擬合優度三、OLS的性質例子四、度量單位與函數形式應用經濟學中，有兩個重要問題：（1）理解改變因變量與自變量的度量單位如何影響OLS估計值；（2）了解如何把經濟學中使用的總體函數形式加入回歸分析中。四、度量單位與函數形式1、改變度量單位對OLS統計量的影響四、度量單位與函數形式1、改變度量單位對OLS統計量的影響-續四、度量單位與函數形式2、在簡單回歸中加入非線性因素讀社會科學應用文獻時，經常遇到一些回歸方程，其中因變量以對數形式出現。這是為什么呢？工資教育例子把小時工資對受教育年數進行回歸，得到斜率估計值0.54，這意味著每多接受一年教育，小時工資預計可以增加54美分。因為方程（2.27）是線性的，所以54美分的增加，可能來自第1年的教育，也可能來自第20年的教育；這恐怕不太合理。四、度量單位與函數形式2、在簡單回歸中加入非線性因素-續為更好地揭示工資如何隨著受教育程度的變化而變化，可能做出這樣的假設：多接受一年教育，工資增長的百分數都是不變的。比如，將受教育程度從５年增加到６年，在其他條件不變的情況下，工資提高比方說８％，而將受教育程度從11年增加到12年，工資也提高了８％。給出百分比影響（近似）為常數的模型是注意，當把β1乘以100，得到多接受一年教育時工資變化的百分比。因為工資的百分比變化對所增加的每一年教育都相等，所以當受教育程度提高時，工資變化量也隨之增加；總之，方程(2.42)意味著遞增的教育回報。四、度量單位與函數形式圖2-6四、度量單位與函數形式小結四、度量單位與函數形式例子四、度量單位與函數形式表2-3最后一列給出對β1的解釋。在對數—水平值模型中，100β1有時也被稱為y對x的半彈性(semi-elasticity)。如例2.11中所言，在對數—對數模型中，β1是y對x的彈性。五、OLS估量的期望值與方差1、OLS估計量的無偏性前面定義總體模型y＝β0＋β1x＋u并聲稱使簡單回歸分析有用的關鍵假設是，對于任何給定的x值，u的期望值都為零，也就是E(u)=0。現在考察總體模型，研究OLS的統計性質。為便于參考，用簡單線性回歸（SimplelinearRegression）首字母縮寫“SLR”給這些假設編號。第一個假設定義了總體模型五、OLS估量的期望值與方差第二個假設五、OLS估量的期望值與方差注意：誤差與殘差的不同五、OLS估量的期望值與方差圖2-7五、OLS估量的期望值與方差第三個假設五、OLS估量的期望值與方差第四個假設五、OLS估量的期望值與方差說明本假設的作用五、OLS估量的期望值與方差下面推導無偏性五、OLS估量的期望值與方差