浙江強基聯盟2024年11月高二聯考數學試題浙江強基聯盟研究院命制考生注意：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．2．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據交集的概念可直接得到結果.【詳解】因.故選：D2.如果橢圓的方程是，那么它的焦點坐標是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據橢圓的標準方程確定焦點坐標.【詳解】因為橢圓的標準方程為：，所以橢圓的焦點在軸上，且，，所以.所以橢圓的焦點為：.故選：C3.已知點，，若，則（）A.1 B.-5 C.1或-5 D.-1或5【答案】C【解析】【分析】應用距離公式即可求解.【詳解】解：因為點，，所以，所以，則.故選：C.4.已知圓和圓，則與的位置關系是（）A.外切 B.內切 C.相交 D.外離【答案】A【解析】【分析】由圓方程可確定兩圓的圓心和半徑，由兩圓圓心距與兩圓半徑的關系可判斷出位置關系.【詳解】由圓方程知：圓心，半徑；由，得，所以圓心，半徑；圓心距，所以圓與圓外切.故選：A5.在正方體中，以下說法正確的是（）A.若E為的中點，則平面B.若E為的中點，則平面C.若E為的中點，則D.若E為的中點，則【答案】A【解析】【分析】A.利用線面平行的判定定理判斷；B.根據平面，平面與平面平面不平行判斷；C.利用余弦定理判斷；D.取CD的中點F，由，判斷.【詳解】A.如圖所示：連接AC，BD交于點O，則O為BD的中點，所以，又平面，平面，所以平面，故正確；B.易知平面，平面與平面平面不平行，所以與平面不垂直，故錯誤；C.如圖所示：在矩形中，，設正方體的棱長為1，在中，，則，所以，則不垂直，故錯誤；D.如圖所示：取CD的中點F，易知，又，所以不平行，故錯誤；故選：A6.已知，則函數的最小值是（）A. B. C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】分析函數在上的單調性，根據函數的單調性分析函數的最小值.【詳解】設，則.因為，所以，.所以即.所以函數在上單調遞增.所以.故選：B7.在平行六面體中，若直線與的交點為．設，，，則下列向量中與共線的向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把表示出來，根據向量的數乘運算判斷向量的平行.【詳解】如圖：因為.所以與平行.故選：D8.如果函數那么（）A.2020 B.2021 C.2023 D.2025【答案】B【解析】【分析】記，，根據的定義可求的周期，根據周期性求解即可.【詳解】記，，根據可得，，而，，，，，，所以的周期為5，取值分別為2023，2024，2020，2021，2022，.故選：B二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復數，以下說法正確的是（）A.z的實部是3 B.C. D.在復平面內對應的點在第一象限【答案】ABC【解析】【分析】根據復數實部的概念判斷A的真假；計算復數的模判斷B的真假；根據共軛復數的概念判斷C的真假；根據復數的幾何意義判斷D的真假.【詳解】對A：復數的實部為3，故A正確；對B：因，故B正確；對C：根據共軛復數的概念，，故C正確；對D：因為在復平面內對應的點的坐標為，位于第四象限，故D錯誤.故選：ABC10.拋擲一顆質地均勻的骰子，記隨機事件“點數為i”，其中，則以下說法正確的是（）A.若隨機事件“點數不大于3”，則與互斥B.若隨機事件“點數為偶數”，則C.若隨機事件“點數不大于2”，則與對立D.若隨機事件“點數為奇數”，則與相互獨立【答案】BD【解析】【分析】對于選項中的事件，分別寫出對應的基本事件構成的集合，根據互斥事件、對立事件、獨立事件的定義依次分析，即可【詳解】，故，所以與不互斥，故A錯；，故B對；但，所以與不對立，故C錯；，故D對；故選：BD11.棱長為1的正四面體ABCD的內切球球心為O，點P是該內切球球面上的動點，則以下說法正確的是（）A.記直線AO與直線AB的夾角是α，則B.記直線AO與平面ABC的夾角是β，則C.記的最小值為n，則D.記在上的投影向量為，則【答案】ACD【解析】【分析】根據正四面體內切球的性質結合正四面體結構特征求解判斷A、C；根據點到平面的距離求解判斷C；根據投影定義求解判斷D；【詳解】如圖，設內切球的半徑為r，球O與平面BCD的切點為H，則，根據等體積法可得，正四面體ABCD的體積，所以，可知，故A對；由直線AO與平面ABC的夾角是β，設球O與平面ABC的切點為G，連接OG，所以平面ABC，所以，，所以在直角中，，故B錯；令，則Q是平面BCD內一動點，，即球面上的點到平面BCD上點之間的距離，最小值n表示球面上的點到平面BCD的距離，所以，即，故C對；點A在線段BC上的投影為線段BC的中點E，點P在線段BC上的投影點位于點的左側和右側，且的最大值為，則，故選：ACD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.點A（2，1）到直線l：的距離是________．【答案】【解析】【分析】利用點到直線的距離公式即可求得答案．【詳解】點A（2，1）到直線l：的距離為，故答案為：13.已知圓錐的側面展開圖是圓心角為2π3，弧長為2π【答案】【解析】【分析】先根據條件確定圓錐的底面半徑和高，根據錐體的體積公式求圓錐的體積.【詳解】設圓錐的底面半徑為，高為，母線長為.則由題意：，所以.所以圓錐的體積為：.故答案為：.14.設O是坐標原點，是橢圓的左焦點，橢圓上的點P關于O的對稱點是Q，若，，則該橢圓的離心率是______．【答案】##0.5【解析】【分析】利用對角線相互平分判斷四邊形為平行四邊形，利用，中的余弦定理，面積公式列方程，得關于，，的方程，構造出離心率，求解即可.【詳解】由題意，點P關于O的對稱點是Q，所以點是線段的中點，根據橢圓的對稱性知，點是線段（為橢圓的右焦點）的中點，則四邊形為平行四邊形；由，得，則，在平行四邊形中，由，得，所以，在中，由余弦定理得，所以，由題意，，又，所以，則，即，得，所以離心率.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.已知圓C：，點P（1，4），且直線l經過點P．（1）若l與C相切，求l的方程；（2）若l的傾斜角為，求l被圓C截得的弦長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）對直線l的斜率不存在和存在兩種情況進行討論，根據點到直線的距離等于半徑即可求解.；（2）根據點到直線的距離公式及垂徑定理即可求解.【小問1詳解】由知，圓C的圓心坐標為，半徑為5.當直線l的斜率不存在時，即直線的方程為：，圓心C到直線l的距離為，故與圓C不相切，不滿足題意；當直線l的斜率存在時，設直線為：，即，則圓C的圓心到直線l的距離，解得，故直線l的方程為，綜上：直線l的方程為【小問2詳解】由l的傾斜角為，所以直線l的方程為，圓C的圓心到直線l的距離為，由垂徑定理得，l被圓C截得的弦長為，16.在中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，記的面積為S，已知．（1）若，求外接圓的半徑；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據三角形內角和求出，再根據正弦定理求半徑；（2）根據面積公式和余弦定理求解即可【小問1詳解】由，得，由，可得，所以外接圓的半徑為【小問2詳解】，17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，△PAD是正三角形，四邊形ABCD為等腰梯形，且有，E，F分別是AD，BC的中點，動點Q在PF上．（1）證明：平面平面；（2）當時，求平面QAB與平面QCD所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據題意，由線面垂直的判定定理可證平面，即可證明平面平面；（2）根據題意，建立空間直角坐標系，結合空間向量的坐標運算以及二面角的夾角公式代入計算，即可得到結果.小問1詳解】因為四邊形為等腰梯形，E，F分別是AD，BC的中點，所以，又因為，所以，又因為，平面，所以平面，而平面，所以平面平面.【小問2詳解】假設，所以，得到，所以，如圖建立空間直角坐標系，得，，則，設，則，所以，由可得，解得，所以，設平面的一個法向量，，則，取得，設平面的一個法向量，，則，取得，設平面QAB與平面QCD所成角為，則，所以平面QAB與平面QCD所成角的余弦值為.18.在平面直角坐標系中，已知O是坐標原點，點，，直線，相交于點，且它們的斜率之積是．記點的軌跡是曲線，點是曲線上的一點．（1）求曲線的方程；（2）若，直線l過點與曲線的另一個交點為，求面積的最大值；（3）過點作直線交曲線于，兩點，且，證明：為定值．【答案】（1）（）（2）.（3）證明見解析【解析】【分析】（1）設Mx,y，根據直線，的斜率之積是，可求的軌跡方程.（2）設直線的點斜式，用斜率表示出的面積，結合基本（均值）不等式求最大值.（3）設直線方程為，根據弦長公式表示出OP，根據直線垂直得到直線的方程，再根據在橢圓上，表示出，然后代入化簡即可.【小問1詳解】設Mx,y，因為，所以.整理得：（）.所以曲線的方程為：（）【小問2詳解】當時，可得.當直線斜率不存在時，可得，此時.當直線斜率存在時，設直線：，代入橢圓的方程：，得：，整理得：.因為時該方程的一個解，所以.所以，所以.又點到直線的距離為：.所以.設，則（因為時，，此時直線經過點，則共線）.那么，所以所以當時，；當時，（當且僅當即時取“”）綜上可知：面積的最大值為：【小問3詳解】如圖：因為曲線的方程為：（）所以過的直線可寫為：，代入中，可得，整理得：.設Px1,則，，所以.所以.此時，直線的方程為：，由且點縱坐標大于0，可得：，所以.所以.為定值.【點睛】方法點睛：解析幾何中，遇到求最值的問題，通常有以下思路：（1）轉化成二次函數值域問題求解.（2）通過換元，可以轉化成基本（均值）不等式求最值的問題解決.（3）通過換元，轉化成三角函數的值域問題求解.（4）通過分析函數的單調性，求最值.19.在平面直角坐標系中，我們可以采用公式（其中為常數），將點Px,y變換成點，我們稱該變換為線性變換，上式為坐標變換公式．常見的線性變換有平移變換和旋轉變換．（1）將點Px,y向左平移個單位，再向上平移個單位，得到點，求該變換的坐標變換公式，并求將橢圓向左平移個單位，再向上平移個單位后，所得新橢圓的方程；（2）將點Px,y繞原點逆時針旋轉后，得到點，求上述變換的坐標變換公式，并求將橢圓繞原點逆時針旋轉后，所得新橢圓的方程；（3）若點Px,y滿足，證明：點Px,y【答案】（1）；.（2）；.（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據坐標的平移可得坐標的變換公式，利用公式可得橢圓平移后的新方程.（2）借助復數三角形式運算的幾何意義，求坐標變換公式，利用公式可得橢圓平移后的新方程.（3）利用（2）的結論，先把點Px,y的軌跡逆時針旋轉，再配