教學設計

課程基本信息課例編號學科數學年級高一學期第一學期課題函數y=Asin(ωx+φ)的圖象（1）教科書教學人員姓名單位授課教師指導教師教學目標教學目標：1.了解函數y=Asin(ωx+φ)的現實背景，經歷勻速圓周運動的數學建模過程，進一步體會三角函數與現實世界密切聯系；2.掌握參數φ對函數y=Asin(ωx+φ)圖象的影響，通過信息技術建立并控制參數φ的變化，理解參數φ在圓周運動中的實際意義，感受數學的應用價值；3.感受發現問題提出問題的過程，發展數學建模、數學抽象與直觀想象的數學素養．教學重點：用函數y=Asin(ωx+φ)模型來刻畫一般的勻速圓周運動的建模過程；參數φ對函數y=sin(x+φ)圖象的影響．教學難點：數學建模的過程與方法；參數φ對函數y=sin(x+φ)圖象的影響的研究過程．教學過程時間教學環節主要師生活動2分鐘創設問題情境提出研究問題引導語：我們知道，單位圓上的點，以（1，0）為起點，以單位速度按逆時針方向運動，其運動規律可用三角函數加以刻畫．對于一個一般的勻速圓周運動可以用怎樣的數學模型刻畫呢？下面看一個實際問題：筒車是中國古代發明的一種灌溉工具，它省時、省力，環保、經濟，現代農村至今還在使用．明朝科學家徐光啟在《農政全書》用圖畫描繪了筒車的工作原理．問題1：假定在水流穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動．你能用一個合適的函數模型來刻畫盛水筒（視為質點）距離水面的相對高度與時間的關系嗎？師生討論：因筒車上盛水筒的運動周而復始，具有周期性，可以考慮用三角函數模型刻畫它的運動規律．設計意圖：首先提出研究一般勻速圓周運動如何用數學模型刻畫的問題，引導從特殊到一般進行提問，滲透了數學源于生活的本質．通過筒車模型引入，體現數學的實際價值，使學生感受發現問題、提出問題的過程，并嘗試分析問題和解決問題．4分鐘抽象簡化問題建立函數模型問題2：如果將筒車抽象為圓，盛水筒抽象為圓上的點，經過時間ts后，盛水筒距離水面的高度H與哪些量有關？它們之間有怎樣的關系呢？師生分析：如圖，盛水筒距離水面的高度H，由以下量所決定：筒車轉輪的中心O到水面的距離，筒車的半徑，筒車轉動的角速度ω，盛水筒的初始位置以及所經過的時間t．以O為原點，以與水面平行的直線為x軸建立直角坐標系．設時，盛水筒M位于P0，以Ox為始邊，OP0為終邊的角為φ，經過時間t后運動到點．于是，以Ox為始邊，OP為終邊的角為，并且有．=1\*GB3①所以，盛水筒M距離水面的高度H與時間t的關系是．=2\*GB3②通過筒車運動的研究，我們得到了形如y=Asin(ωx+φ)（其中）的函數，實際生活中的很多現象，例如：摩天輪，物理中的單擺等都可以用三角函數刻畫，現代依然有研究的價值．設計意圖：結合筒車問題，建立三角函數的數學模型，表示其上質點的勻速圓周運動，引出本單元的核心內容；明確參數的實際意義，突出學習函數y=Asin(ωx+φ)的必要性；讓學生經歷數學建模全過程，引導學生學會用數學的眼光看現實世界，用數學的語言描述世界．2分鐘明確函數y=Asin(ωx+φ)的研究思路引導語：通過筒車運動的研究，我們得到了形如y=Asin(ωx+φ)（其中）的函數，只要清楚函數y=Asin(ωx+φ)的性質，就可以把握盛水筒的運動規律．這個函數由參數A，ω，φ所確定．因此，只要了解這些參數的意義，知道它們的變化對函數圖象的影響，就能把握這個函數的性質．問題3：從解析式看，函數y=sinx就是函數y=Asin(ωx+φ)在時的特殊情形．能否借助我們熟悉的函數y=sinx的圖象與性質研究參數A，ω，φ對函數y=Asin(ωx+φ)的影響呢？函數y=Asin(ωx+φ)中含有三個不同的參數，你認為應該按怎樣的思路進行研究？師生分析：對于三個不同的參數，相對固定其中兩個，僅一個變動；先分別探討φ、ω、A對函數圖象的影響，再綜合．設計意圖:引導學生思考研究問題的一般思路和方法，有助于主動地學習，學會學習．13分鐘探索參數φ對函數y=sin(x+φ)圖象的影響問題4：不妨先從研究參數φ對函數y=Asin(ωx+φ)的影響開始，即探究函數y=sinx與y=sin(x+φ)圖象之間的關系．為了更加直觀地觀察參數φ對函數圖象的影響，借助信息技術進行實驗探究．如圖，取，動點在單位圓上以單位角速度按逆時針方向運動．（1）如果動點以為起點（此時），經過xs后運動到點P，設點P的縱坐標y，以（x，y）為坐標描點F，作出點F的軌跡.．追問：P的縱坐標y等于什么？點F的軌跡對應的函數解析式是什么？師生分析：y=sinx，點F的軌跡對應的函數解析式是正弦函數y=sinx.（2）在單位圓上拖動起點，使點繞圓心旋轉到，即：起點位于，，你發現圖象有什么變化？此時，點P的縱坐標是什么？點F的軌跡對應的函數解析式是什么？師生分析：此時以Ox為始邊，OP為終邊的角為，因此P的縱坐標，點F的軌跡對應的函數解析式是函數．（3）時的函數與時的函數y=sinx的圖象之間具有怎樣的關系？你能結合點P的運動規律解釋圖象間的關系嗎？在單位圓上的，設兩個動點分別以，為起點同時開始運動．到點P的時間圖象上點函數到Pxy=sinx到P這說明，把正弦曲線y=sinx上的所有點向左平移個單位，就得到的圖象．（4）如果φ的值取，說一說你的發現，并給出合理的解釋．（5）旋轉一個任意角φ呢？通過實驗結果，你能歸納出φ對函y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響的一般化結論嗎？一般地，當動點M的起點位置所對應的角是φ時，對應的函數是y=sin(x+φ)，把正弦曲線上的所有點向左或向右平移個單位長度，就得到函數y=sin(x+φ)的圖象．練習：1.為了得到函數的圖象，只需要將正弦曲線上的所有點（）．（A）向左平行移動個單位長度（B）向右平行移動個單位長度（C）向左平行移動個單位長度（D）向右平行移動個單位長度2.將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，則的解析式是（）．（A）（B）（C）（D）設計意圖:借助信息技術，探究參數出φ對函數y=Asin(ωx+φ)的影響.老師通過追問引導學生在觀察發現的基礎上進行理性的思考，從形和數兩個方面解釋φ對函數y=sin(x+φ)圖象的影響，提升直觀想象和邏輯推理能力．2分鐘課堂小結回顧本節課學習內容，回答以下問題:本節課我們研究了什么問題？研究的路徑是怎樣的？研究了對于一個一般的勻速圓周運動如何用數學模型刻畫的問題.實際問題轉化數學問題構建函數y=Asin(ωx+φ).如何理解函數y=Asin(ωx+φ)中參數φ的物理意義以及它對函數y=Asin(ωx+φ)的影響？φ指動點M的起點位置所對應的角，此時對應的函數是y=sin(x+φ)（φ≠0），把