3.排列、組合與二項(xiàng)式定理(分值:73分)學(xué)生用書P211一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2024·北京,4)在(x-x)4的展開式中,x3的系數(shù)為()A.6 B.-6 C.12 D.-12答案A解析(x-x)4的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C4rx4-r·(-x)r=C4r(-1)rx4-r2(r=0,1,2,3,4),令4-r2=3,解得r=2,故所求即為2.(2024·廣東湛江二模)已知(1-2x)9=a0+a1x+…+a9x9,則a0+∑i=29ai=A.-2 B.-19 C.15 D.17答案D解析令x=1,得a0+a1+a2+…+a9=-1.又(1-2x)9展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C9r(-2x)r=C9r(-2)rxr(0≤r≤9且r∈N),所以a1=(-2)1×C91=-18,所以a0+∑i=29ai3.(2024·河北張家口三模)(1-x2)(1+x)5的展開式中x4的系數(shù)為()A.-5 B.5 C.-10 D.10答案A解析(1+x)5的展開式通項(xiàng)為Tr+1=C5rxr,則(1-x2)(1+x)5的展開式中x4項(xiàng)為C54x4-x2·C52x2=(C54-C52)x4=-5x4,所以(1-x4.(2024·廣東佛山二模)甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)實(shí)踐比賽,已知冠軍是甲和乙當(dāng)中的一人,丁和戊都不是最差的,則這5名同學(xué)的名次排列(無(wú)并列名次)共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.48種答案B解析依題意,排第1名,有C21種方法,排丁和戊,有A32種方法,排余下2人,有A22種方法,所以這5名同學(xué)的名次排列(無(wú)并列名次)共有C5.(2024·湖南長(zhǎng)沙三模)在(3x+y-1)8的展開式中,x2y的系數(shù)是()A.168 B.-168 C.1512 D.-1512答案D解析原問(wèn)題可以理解為8個(gè)(3x+y-1)相乘,要想得到x2y,需要8個(gè)因式中有2個(gè)取x項(xiàng),1個(gè)取y項(xiàng),還剩5個(gè)取常數(shù)項(xiàng),由題意x2y的系數(shù)為C82×32×C61×1×C556.(2024·山東煙臺(tái)一模)將8個(gè)大小形狀完全相同的小球放入3個(gè)不同的盒子中,要求每個(gè)盒子中至少放2個(gè)小球,則不同放法的種數(shù)為()A.3 B.6 C.10 D.15答案B解析依題意,每個(gè)盒子放入2個(gè)球,余下2個(gè)球可以放入一個(gè)盒子有C31種方法,放入兩個(gè)盒子有C32種方法,所以不同放法的種數(shù)為7.(2024·湖北黃岡模擬)設(shè)a,b,m(m>0)為整數(shù),若a和b被m除得的余數(shù)相同,則稱a和b對(duì)模m同余,記為a≡b(modm).若a=C201×2+C202×22+…+C2020×220,a≡bA.2018 B.2020 C.2022 D.2024答案D解析a=C201×2+C202×22+…+C2020×220=(1+2)20-1=910-1,所以a除以9的余數(shù)是8,8.(2024·江蘇無(wú)錫模擬)現(xiàn)將四名語(yǔ)文教師、三名心理教師、兩名數(shù)學(xué)教師分配到三所不同學(xué)校,每個(gè)學(xué)校三人,要求每個(gè)學(xué)校既有心理教師又有語(yǔ)文教師,則不同的安排種數(shù)為()A.216 B.432 C.864 D.1080答案B解析求不同的安排種數(shù)需要分成3步,把3名心理教師分配到三所學(xué)校,有A33種方法,再把4名語(yǔ)文教師按2∶1∶1分成3組,并分配到三所學(xué)校,有C42A33種方法,最后把2名數(shù)學(xué)教師分配到只有1名語(yǔ)文教師的兩所學(xué)校,有A二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.(2024·重慶模擬)已知二項(xiàng)展開式f(x)=x3-1x8,下列說(shuō)法正確的有()A.f(x)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是56B.f(x)的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為0C.f(x)的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大值是70D.f(i)=-16,其中i為虛數(shù)單位答案BC解析x3-1x8的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=C8k(x3)8-k·-1xk=(-1)kC8kx24-4k.令24-4k=0,即k=6,則T7=(-1)6C86=28,故A錯(cuò)誤;令x=1,即f(1)=1-118=0,故各項(xiàng)系數(shù)之和為0,故B正確;由k=8,故二項(xiàng)式系數(shù)中的最大值為C84=8×7×6×54×3×2×1=70,故C正確;f(i)=i3-1i10.某班星期一上午要安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理4節(jié)課,且該天上午總共4節(jié)課,下列結(jié)論正確的是()A.若數(shù)學(xué)課不安排在第一節(jié),則有18種不同的安排方法B.若語(yǔ)文課和數(shù)學(xué)課必須相鄰,且語(yǔ)文課排在數(shù)學(xué)課前面,則有6種不同的安排方法C.若語(yǔ)文課和數(shù)學(xué)課不能相鄰,則有12種不同的安排方法D.若語(yǔ)文課、數(shù)學(xué)課、英語(yǔ)課按從前到后的順序安排,則有3種不同的安排方法答案ABC解析對(duì)于A,將數(shù)學(xué)排在后三節(jié),再將其余3個(gè)科目全排列,有3A33=18種排法,故A正確;對(duì)于B,采用捆綁法,有A33=6種排法,故B正確;對(duì)于C,采用插空法,有A22A32=12種排法,故C正確;D是定序問(wèn)題,有A4411.(2024·山東德州模擬)帶有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)球,則下列說(shuō)法正確的有()A.全部投入4個(gè)不同的盒子里,共有45種放法B.放進(jìn)不同的4個(gè)盒子里,每盒至少一個(gè),共有4種放法C.將其中的4個(gè)球投入4個(gè)盒子里的一個(gè)(另一個(gè)球不投入),共有20種放法D.全部投入3個(gè)不同的盒子里,沒有空盒,共有140種不同的放法答案AC解析由分步乘法計(jì)數(shù)原理,五個(gè)球全部投入4個(gè)不同的盒子里共有45種放法,故A正確;五個(gè)不同的球放進(jìn)不同的4個(gè)盒子里,每盒至少一個(gè),共有C52A44=240種放法,故B錯(cuò)誤;將其中的4個(gè)球投入一個(gè)盒子里(另一個(gè)球不投入)共有C54C41=20種放法,故C正確;將球全部投入3個(gè)不同的盒子里,沒有空盒,共有C5三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.(2024·河北保定三模)在x+ax26(a>0)的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為75,則a=.

答案5解析x+ax26的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C6r·x6-r·ax2r=ar·C6r·x6-3r,令6-3r=0,解得r=2,所以常數(shù)項(xiàng)為C62·a2=15a213.(2024·全國(guó)甲,理13)13+x10的展開式中,各項(xiàng)系數(shù)中的最大值為.

答案5解析由題展開式通項(xiàng)為Tr+1=C10r(13)10-rxr,0≤r≤10且r∈Z,設(shè)展開式中第r+1項(xiàng)系數(shù)最大,則C10r(13)

10-r≥C10r+1(13)14.(2024·廣東佛山二模)甲、乙、丙3人在公交總站上了同一輛公交車,已知3人都將在第4站至第8站的某一公交站點(diǎn)下車,且在每一個(gè)公交站點(diǎn)最多只有兩人同時(shí)下車,從同一公交