PAGE8-不等式的性質及一元二次不等式核心考點·精準研析考點一比較大小與不等式的性質

1.(2024·泉州模擬)若a>b>c,ac<0,則下列不等式肯定成立的是 ()A.ab>0 B.bc<0C.ab>ac D.b(a-c)>02.若a=20192022×20222019,b=20192019×20242022,則ab(用“>,<”填空).

3.設m=e43+1e44+1,n=e42+1e43+1,【解析】1.選C.因為a>b>c,ac<0,所以a>0,c<0,b的符號不確定,故A,B,D不正確,C中,a>0,故ab>ac,正確.2.ab=20192答案:<3.m-n=e43+1e44+1-e答案:<1.用同向不等式求差范圍的技巧a<x<b這種方法在三角函數中求角的范圍時常常用到.2.比較大小的三種常用方法(1)作差法:干脆作差推斷正負即可.(2)作商法:干脆作商與1的大小比較,留意兩式的符號.(3)函數的單調性法:把比較的兩個數看成一個函數的兩個值,依據函數的單調性比較.【秒殺絕技】1.特別值解除法解T1,取條件范圍內的特別值代入解除不成立的選項,即可得出正確選項.2.轉化法解T3,比較大小時可以結合函數的單調性,依據不等式的特點構造函數f(x)=ex+1考點二一元二次不等式的解法

【典例】1.(2024·牡丹江模擬)不等式x(2-x)<0的解集是 ()A.(2,+∞) B.(-∞,2)C.(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞)2.若不等式ax2+2x+c<0的解集是-∞,-13∪12,+∞,則不等式cxA.-12,C.[-2,3] D.[-3,2]3.設a>1,則關于x的不等式(1-a)(x-a)x-1a<0的解集是【解題導思】序號聯想解題1由不等式想到x的系數變為正數后解不等式2由不等式的解集想到對應方程的根、根與系數的關系求系數3由不等式想到不等式變形、求根、根的大小寫解集【解析】1.選D.因為x(2-x)<0,所以x(x-2)>0,所以x>2或x<0,所以不等式的解集為(-∞,0)∪(2,+∞).2.選C.不等式的解集是-∞,-13∪所以-13和12是方程ax2+2x+c=0由-13+故不等式cx2-2x+a≤0,即2x2-2x-12≤0,即x2-x-6≤0,解得-2≤x≤3,所以所求不等式的解集是[-2,3].3.因為a>1時,1-a<0,且a>1a則關于x的不等式可化為(x-a)x-解得x<1a或所以不等式的解集為-∞,1a答案:-∞,1a1.解不含參數的一元二次不等式首先將二次項的系數變為正數,若對應的方程有根,求根后依據圖像寫解集;若無根,干脆依據圖像寫解集.2.解含參數的一元二次不等式(1)先探討二次項系數為0的狀況,二次項系數為零時不等式變為一次不等式或常數不等式,易得不等式的解集;(2)再探討二次項系數不為0的狀況,利用“Δ”或“十字相乘法”求根,若有根,則探討根的大小后依據圖像寫解集;若無根,則依據圖像寫解集.1.(2024·西安模擬)不等式ax2+bx+c>0的解集為(-4,1),則不等式b(x2+1)-a(x+3)+c>0的解集為()A.-B.-C.-∞,-43D.(-∞,-1)∪4【解析】選B.因為不等式的解集為(-4,1),則不等式對應方程的實數根為-4和1,且a<0;由根與系數的關系知,-4+1=-ba所以不等式化為3a(x2+1)-a(x+3)-4a>0,化為3(x2+1)-(x+3)-4<0,即3x2-x-4<0,解得-1<x<43所以該不等式的解集為-12.(2024·撫州模擬)設m=log0.30.6,n=12log20.6,A.m-n>mn>m+n B.m-n>m+n>mnC.mn>m-n>m+n D.m+n>m-n>mn【解析】選B.因為m=log0.30.6>log0.31=0,n=12log20.6<12log2因為-1n=-2log0.62=log0.60.25>0,1m=log而log0.60.25>log0.60.3,所以-1n>1m>0,因為(m-n)-(m+n)=-2n>0,所以m-n>m+n,所以m-n>m+n>mn.考點三一元二次不等式恒成立問題

命題精解讀1.考什么:(1)求恒成立問題中的參數范圍.(2)考查數學運算、邏輯推理、直觀想象的核心素養,以及數形結合、分類與整合等數學思想.2.怎么考:與基本初等函數、導數結合考查一元二次不等式與其對應的函數、方程的關系問題.學霸好方法1.恒成立問題的解題思路(1)利用等價條件干脆求范圍(2)分別參數后轉化為最值問題(3)轉化為相應的函數,利用函數的圖像解題(4)轉換變元,利用轉化后對應函數的性質解題2.交匯問題:與基本初等函數的定義域、值域交匯時,借助函數的性質解題.在R上的恒成立問題【典例】若關于x的不等式x2-ax-a>0的解集為(-∞,+∞),則實數a的取值范圍為. 世紀金榜導學號

【解析】設f(x)=x2-ax-a,則關于x的不等式x2-ax-a>0的解集為(-∞,+∞)?f(x)>0在(-∞,+∞)上恒成立?Δ=(-a)2-4×1×(-a)=a2+4a<0,解得-4<a<0.答案:(-4,0)在R上的恒成立問題列不等式組的依據是什么?提示:在R上的恒成立,可以依據對應的二次函數的圖像,列出等價條件求解.給定區間上的恒成立問題【典例】若不等式x2≥m+4x在[0,1]上恒成立,則實數m的取值范圍是 世紀金榜導學號()A.(-∞,-3]∪[0,+∞) B.[-3,+∞)C.[-3,0] D.(-∞,-3]【解析】選D.因為不等式x2≥m+4x,x∈[0,1]恒成立,所以只需m≤(x2-4x)min,x∈[0,1],令f(x)=x2-4x=(x-2)2-4,x∈[0,1],所以f(x)min=f(1)=-3,所以m≤-3.定區間上的恒成立問題如何解?提示:將參數分別出來后,轉化為求另一側函數的最值,是求參數范圍的常用方法.給定參數范圍的恒成立問題【典例】(2024·六安模擬)若不等式x2+px>4x+p-3,當0≤p≤4時恒成立,則x的取值范圍是 ()世紀金榜導學號A.[-1,3] B.(-∞,-1]C.[3,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)【解析】選D.方法一:特別值法:當x=-1時,由x2+px>4x+p-3,得p<4,故x=-1不符合條件,解除A,B;當x=3時,由x2+px>4x+p-3,得p>0,故x=3不符合條件,解除C;方法二:轉換變元法:不等式變為x-1p+x2-4x+3>0,當0≤p≤4所以x2-4解得x<-1或x>3.1.在R上定義運算a※b=(a+1)b,若存在x∈[1,2]使不等式(m-x)※(m+x)<4成立,則實數m的取值范圍為 ()A.(-3,2) B.(-1,2)C.(-2,2) D.(1,2)2.已知關于x的不等式x2-x+a-1≥0在R上恒成立,則實數a的取值范圍是.

【解析】1.選A.由題意知,不等式(m-x)※(m+x)<4化為(m-x+1)(m+x)<4,即m2+m-4<x2-x;設f(x)=x2-x,x∈[1,2],則f(x)的最大值是f(2)=4-2=2;令m2+m-4<2,即m2+m-6<0,解得-3<m<2,所以實數m的取值范圍是(-3,2).2.關于x的不等式x2-x+a-1≥0在R上恒成立,所以二次函數的圖像與x軸最多有一個交點,所以判別式Δ=(-1)2-4(a-1)≤0,解得a≥54,所以a的取值范圍為5答案:51.關于x的不等式x2-ax+a+3≥0在區間[-2,0]上恒成立,則實數a的取值范圍是.

【解析】由題得a≥x2+3x因為-2≤x≤0,所以-3≤x-1≤-1,所以(x-1)+4x=-1-x+41當x=-1時得到等號.所以a≥-2