第四章隨機信號的功率譜密度精品PPT

對隨機過程的頻域分析只能研究其功率譜密度,并在此意義下討論其頻率結構、帶寬以及與系統的相互作用等問題。精品PPT4.1功率譜密度

若一個確定信號，滿足狄氏條件，且絕對可積，即滿足：

則s(t)的傅立葉變換存在，為：

S(

)與s(t)滿足Parseval定理：精品PPT

一個隨機過程的樣本函數，盡管它的總能量是無限的，但其平均功率卻是有限值，即：精品PPT圖：f(t)及其截斷函數精品PPTfT(t)的傅立葉變換存在：精品PPTW

是樣本函數的平均功率將上式代入信號平均功率表達式中得:精品PPT

所謂信號的功率譜密度函數是指這樣的函數:1、當在整個頻率范圍內對它進行積分以后，得到信號的總功率；2、描述了信號功率在各個不同頻率上分布的情況；

正具有了上述特性。它代表了隨機過程的某一個樣本函數f(t,

)在單位頻帶內、消耗1

電阻上的平均功率。稱它為樣本函數的功率譜密度函數。記為Gf(,)。精品PPT對所有的

（實驗結果）取統計平均得：精品PPT或精品PPT

功率譜密度Gf(

)是從頻率角度描述f(t)統計規律的最主要的數字特征。Gf(

)僅表示了f(t)的平均功率按頻率分布的情況，沒有包含過程f(t)的任何相位信息。若f(t)為各態歷經過程,則有:精品PPT4.2功率譜密度與自相關函數之間的關系由得:精品PPT精品PPT

設X(t)為平穩過程,則時間平均自相關函數等于集合平均自相關函數,即:精品PPT上式稱為維納—辛欽定理。精品PPT說明：1、以上討論的功率譜密度都屬于連續情況，即相應的隨機過程不能含有直流成分或周期成分。2、功率譜密度指單位帶寬上的平均功率；3、任何直流分量和周期分量在頻域上都表現為頻率軸上某點的零帶寬內的有限功率，都會在頻域的相應位置上產生離散頻譜；而在零帶寬上的有限功率等效于無限的功率譜密度。4、借助

函數，維納—辛欽定理可推廣至含有直流或周期性成分的平穩過程中。精品PPT4.3功率譜密度的性質性質一：非負性,GX(

)0;性質二：GX(

)是實函數；性質三：GX(

)是偶函數；性質四：性質五：有理譜密度是實際應用中最常見的一類功率譜密度；精品PPT4.4互譜密度及其性質

兩個隨機過程之和構成新的隨機過程，即：Z(t)=X(t)+Y(t)的自相關函數：

若兩個隨機過程X(t)、Y(t)單獨平穩且聯合平穩，則：精品PPT

Z(t)的譜密度GZ(

):其中：稱為互功率譜密度。精品PPT一、互譜密度：設兩個聯合平穩的隨機過程X(t)和Y(t)，若x(t,

)和y(t,

)分別為X(t)和Y(t)的某一個樣本函數，相應的截短函數分別為xT(t,

)和yT(t,

)，傅立葉變換分別為：，則互功率譜：精品PPT二、互譜密度的性質性質一：性質二：和是

的偶函數；和是

的奇函數；性質三：若平穩過程X(t)和Y(t)相互正交，則有：精品PPT性質四：若X(t)和Y(t)是兩個不相關的平穩過程，分別有均值mX和mY，則：性質五：若X(t)和Y(t)聯合平穩，RXY(

)絕對可積，則互譜密度GXY(

)、GYX(

)分別和互相關函數RXY(

)、RYX(

)構成傅立葉變換對。精品PPT三、相干函數精品PPT4.5白噪聲與白序列一白噪聲的定義及特性：一個均值為零，功率譜密度在整個頻率軸上有非零常數，即：的平穩過程N(t)，被稱為白噪聲過程或簡稱白噪聲。式中，N0是正實常數。精品PPT白噪聲的自相關函數：精品PPT

白噪聲的相關系數為:精品PPT二、熱噪聲

熱噪聲指的是電路中由于各電阻內電子熱騷動（布朗運動）而產生的隨機起伏電壓和電流。其功率譜密度為：精品PPT三、噪聲系數和溫度

噪聲系數（指數）定義為系統輸入端信噪比與輸出端信噪比之比。即：精品PPT四、白序列（RND偽隨機序列）

設隨機序列Zn的自相關函數滿足：或對于白序列其功率譜：精品PPT五、限帶白噪聲

若噪聲在一個有限頻帶上有非零的常數功率譜，而在頻帶之外為零，則被稱做限帶白噪聲。

自相關函數：精品PPT精品PPT4.6功率譜估值的經典法

譜估值的基本問題是已知隨機過程X(t)或Xj某個實現：中的有限長序列段，或者說N個數，如何由它盡可能準確地得到X(t)或Xj的功率譜密度GX(

)。譜估值的主要目的：揭示其周期性。精品PPT一、兩種經典譜估值的方法1、周期圖法本質是從各態歷經過程功率譜定義式得到的估計量，對于有限N，有：式中，XN(

)是的N點DFT。精品PPT2、Blackman-Tukey(BT法)

由維納—辛欽定理的離散形式：

對有限個數據，譜估值為：精品PPT二、經典譜估值的改進1、平均法：2、平滑法：將全部數據用來計算出一個周期圖，然后在頻域將其平滑，即：精品PPT三、譜估值的一些實際問題1、數據采樣率：隨機信號采樣定理：設平穩隨機信號X(t)的功率譜的最高頻率為fc，則取采樣間隔：采樣值為Xn，則有采樣展開式：精品PPT且在均方意義下逼近于X(t)，即：2、每段數據的長度L

應滿足頻率分辨力的要求。3、數據總長度數據總長度N=分段數K*每段點數L；4、數據預處理精品PPT4.7復隨機過程的功率譜密度

若過程Z(t)是平穩的，則復過程Z(t)的功率譜密度：由傅立葉反變換可得：精品PPT

若復過程Zi(t)和Zk(t)聯合平穩，則復過程Zi(t)和Zk(t)的互譜密度為：精品PPT4.8功率譜密度的計算舉例教材P102—P106：例4.8—例4.10精品PPT4.9隨機過程的高階統計量簡介

二階統計量丟失了隨機信號重要的相位信息，而高階統計量則保持了相位信息，高階統計量在所謂盲信號處理（盲系統辯識、盲信道均衡信號分離等）有重要的應用，高階統計量還有一些特性使得近年來人們對它開展了廣泛的研究。精品PPT

對于零均值實隨機變量X1，X2，X3，X4，其相應的二階、三階、四階累量分別定義為：精品PPT

對于零均值隨機過程X(t)，其相應的二階、三階、四階累量分別定義為：精品PPT4.10譜相關的基本理論簡介

若對某個T0,滿足如下關系：則稱X(t)為廣義周期平穩過程。展開成傅立葉級數有：式中，