目錄隨機過程在通信中的應用概述 1摘要 1一、隨機過程與通信系統 1二、通信中如何應用隨機過程 2三、隨機過程各概念在通信中的具體定義 3隨機過程的數學期望 3隨機過程的均方值 3隨機過程的方差 3平穩隨機過程 4四、隨機過程在通信中的具體應用 4馬爾可夫過程的應用 4馬爾可夫應用概述 4一種新的馬爾可夫模型應用舉例 6馬爾科夫鏈在分析頻譜占用情況時的應用 6排隊論在通信網中的運用 8隨機過程在信道建模中的應用 9五、隨機過程學習心得體會 10參考文獻 10摘要本文主要通過自己的調研，結合本學期所學的課程《隨機過程》總結出一些隨機過程在通信中的具體應用。隨著科學的發展，隨機過程與通信系統的關系越來越緊密，并且應用場合越來越多，如何在通信系統中正確應用隨機過程的知識也越來越重要，隨機過程中的一些概念在通信系統中應用中都具有一定的物理意義，掌握其物理意義對于更好地理解隨機過程有很大的幫助作用。接著結合自己的研究方向，進一步列舉了一些隨機過程在通信系統中的具體應用。關鍵詞：隨機過程通信系統應用一、隨機過程與通信系統隨著科學的發展，數學在我們日常的通信體系中有著越來越重的地位，因為在科學研究中，只有借助于數學才能精確地描述一個現象的不同量之間的關系,從最簡單的加減乘除，到復雜的建模思想等等。其中，隨機過程作為數學的一個重要分支，更是在整個通信過程中發揮著不可小覷的作用。通信就是互通信息。從這個意義上說，通信在遠古時代就已經存在。人之間的對話是通信，用手勢表達情緒也可以算通信。以后用烽火傳遞戰事情報是通信，快馬與驛站傳送文件也是通信。但是現在的通信一般指的是電信，國際上稱為遠程通信(telecommunication)，即通過電信號或者光信號傳送信息從信息論的角度來說，通信的過程就是不確定度減小的過程。而不確定性就是過程的隨機性，所以從這個角度來說通信過程的研究可以歸結到對于隨機過程特性的研究過程眾所周知，通信系統中用于表示信息的信號不可能是單一的、確定的，而是具有不確定性和隨機性，這種具有隨機性的信號就是隨機信號。如何全面的對隨機信號進行系統和理論的分析是現在通信的關鍵，也是今后通信業能否取得巨大進步的關鍵。過去對隨機現象的研究只是用一兩個隨機變量來描述，然而現在在工程技術中必須研究動態系統中的隨機現象，這需要研究隨時間變化的無窮不可數的一族隨機變量，即隨機過程。通信系統中存在各種干擾和噪聲這些干擾和噪聲的波形更是隨機的、不可預測的，我們稱之為隨機干擾和隨機噪聲。當然，盡管隨機信號和隨機噪聲是不可預測的、隨機的，但它們還是具有一定的統計規律性。研究隨機信號和隨機噪聲統計規律性惡數學工具是隨機過程理論，隨機過程是隨機信號和隨機噪聲的數學模型。隨機過程是與時間有關的隨機變量，在確定的時刻它是隨機變量。隨機過程的具體取值稱作其實現（樣函數），是時間函數，所有實現構成的集合稱作隨機過程的樣函數空間(Ω)，所有樣函數及其統計特性即構成了隨機過程，以大寫字母X(t),Y(t)等表示隨機過程，以對應的小寫字母x(t)，y(t)等表示隨機過程的樣本函數。在實際的通信過程中，不僅我們用到的信號與噪聲是隨機信號，而且當我們為無線信道進行數學建模時也必須用到隨機過程。所以說只有學好隨機過程這一學科，才能為將來從事無線事業打下基礎，才能在實際的研究以及工作中，將具體知識應用到實際中，從而獲得一定的成果甚至有所創新。二、通信中如何應用隨機過程在通信系統中，編碼過程分為信源編碼和信道編碼兩種，信源編碼是為了壓縮信息之間的相關性，最大限度提高傳信率，目的在于提高通信效率；而信道編碼則相反，通過引入相關性，使信息具有一定的糾錯和檢錯的能力從而提高傳輸信息的可靠性。對于信源編碼，實現降低相關性有兩種途徑，一種是信源概率分布均勻化，另一種是信源獨立化。從概率論和隨機過程的角度來說，概率分布均勻化就是每個事件發生的概率大致相同，這樣就會使每個信源攜帶的信息量基本相同，那么不確定性就達到最大，即傳輸過程中產生的信息量就最大；類似的信源獨立化是通過對信源進行擴展達到的，通過信源的高次擴展，是擴展信源中每個符號出現的概率大致相同，這樣也實現信息量最大化。對于信道編碼，由于信道中存在隨機噪聲，或者隨機干擾，使得經過信道傳輸后所接收到的碼元與發送碼元之間存在差異，這種差異就是傳輸產生的差錯。一般，信道噪聲，干擾越大，碼元產生差錯的概率也就越大。所以信道編碼的任務就是構造出以最小冗余度代價換取最大抗干擾性能的碼字組合。從信道編碼的構造方法看，其基本思路是根據一定的規律在待發送的信息碼中加入一些人為多余的碼字。這些碼字的引入時信息之間具有相關性，雖然降低了信息所能攜帶的信息量，但是通過相關性可以克服由于隨機噪聲引入的誤碼情況。三、隨機過程各概念在通信中的具體定義隨機過程是一類隨時間作隨機變化的量不能用確切的時間函數描述。隨機過程的分布函數分為一維分布函數、二維分布函數及二維以上的分布函數。隨機過程的各種數字特征分別從各個側面間接的反映了隨機過程的概率分布特性，不同的維的分布的數字特征具有不同的物理含義。隨機過程的數學期望隨機過程的均值函數m(t)=E[X(t)]在通信中的物理意義是：如果X(t)是電流或電壓，則m(t)可理解為t時間點上的電壓或電流的直流分量。隨機過程的均方值隨機過程X(t)的均方值E[|X(t)|2]在通信中的物理意義是：如果X(t)表示電壓或電流，則E[|X(t)|2]可以理解為在t時刻上這個電壓或電流在1Ω電阻上的平均功率。隨機過程的方差隨機過程X(t)的方差D(t)=E[X(t)-m(t)]2在通信中的物理意義是:如果X(t)表示電壓或電流，則D(t)可以理解為在t時刻上電壓或電流的起伏分量在1Ω電阻上耗散的平均功率。平穩隨機過程平穩隨機過程是一類應用非常廣泛的隨機過程，它在通信系統的研究中有著極其重要的意義。定義：若一個隨機過程X(t)發熱任意有限維分布函數與時間的起點無關,即對于任意的正整數n和所有的實數△，有fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=fn(x1,x2,…,xn;t1+△,t2+△,…,tn+△)則稱該隨機過程是在嚴格意義下的平穩隨機過程，簡稱嚴平穩隨機過程。該定義表明，平穩隨機過程的統計特性不隨時間的推移而改變。它的一維分布函數與時間t無關：f(x,t)=f(x)而二維分布函數只與時間間隔=t2-t1有關：f(x1,x2;t1,t2)=f(x1,x2;)其均值和自相關函數分別為：E[X(t)]=R(t1,t2)=E[X(t1)X（t2）]=即平穩隨機過程具有簡明的數字特征：1)均值與t無關，為常數a；2)自相關函數只與時間間隔=t2-t1有關。在通信系統分析中我們常用這兩個條件來直接判斷隨機過程的平穩性，并把同時滿足1)和2)的過程定義為廣義平穩隨機過程。在通信系統中所遇到的噪聲及信號，絕大部分為廣義平穩的隨機過程。所以，平穩隨機過程的研究也具有實際的意義。四、隨機過程在通信中的具體應用馬爾可夫過程的應用馬爾可夫應用概述馬爾可夫隨機過程的發展史說明了理論與實際之間的密切關系。許多研究方向的提出，歸根到底是有其實際背景的。反過來，當這些方向被深入研究后，又可指導實踐，進一步擴大和深化應用范圍。下面簡略介紹一下馬爾可夫隨機過程本身在各方面的應用情況。

在物理學方面，高能電子或核子穿過吸收體時，產生級聯(或倍增)現象,在研究電了-光子級聯過程的起伏問題時，要用到隨機過程，常以泊松過程、弗瑞過程或波伊亞過程作為實際級聯的近似，有時還要用到更新過程(見點過程)的概念。當核子穿到吸收體的某一深度時，則可用擴散方程來計算核子的概率分布。物理學中的放射性衰變，粒子計數器，原子核照相乳膠中的徑跡理論和原子核反應堆中的問題等的研究，都要用到泊松過程和更新理論。湍流理論以及天文學中的星云密度起伏、輻射傳遞等研究要用到隨機場的理論。探討太陽黑子的規律及其預測時，時間序列方法非常有用。

化學反應動力學中，研究化學反應的時變率及影響這些時變率的因素問題,自動催化反應，單分子反應,雙分子反應及一些連鎖反應的動力學模型等，都要以生滅過程(見馬爾可夫過程)來描述。

隨機過程理論所提供的方法對于生物數學具有很大的重要性，許多研究工作者以此來構造生物現象的模型。研究群體的增長問題時，提出了生滅型隨機模型，兩性增長模型，群體間競爭與生尅模型，群體遷移模型，增長過程的擴散模型等等。有些生物現象還可以利用時間序列模型來進行預報。傳染病流行問題要用到具有有限個狀態的多變量非線性生滅過程。在遺傳問題中，著重研究群體經過多少代遺傳后，進入某一固定類和首次進入此固定類的時間，以及最大基因頻率的分布等。

許多服務系統，如電話通信，船舶裝卸，機器損修，病人候診，紅綠燈交換，存貨控制，水庫調度，購貨排隊，等等，都可用一類概率模型來描述。這類概率模型涉及的過程叫排隊過程，它是點過程的特例。排隊過程一般不是馬爾可夫型的。當把顧客到達和服務所需時間的統計規律研究清楚后，就可以合理安排服務點。

在通信、雷達探測、地震探測等領域中，都有傳遞信號與接收信號的問題。傳遞信號時會受到噪聲的干擾，為了準確地傳遞和接收信號，就要把干擾的性質分析清楚，然后采取辦法消除干擾。這是信息論的主要目的。噪聲本身是隨機的，所以概率論是信息論研究中必不可少的工具。信息論中的濾波問題就是研究在接收信號時如何最大限度地消除噪聲的干擾，而編碼問題則是研究采取什么樣的手段發射信號，能最大限度地抵抗干擾。在空間科學和工業生產的自動化技術中需要用到信息論和控制理論，而研究帶隨機干擾的控制問題，也要用到馬爾可夫隨機過程。一種新的馬爾可夫模型應用舉例 隱馬爾可夫模型（HiddenMarkovModel，HMM）是統計模型，它用來描述一個含有隱含未知參數的馬爾可夫過程。其難點是從可觀察的參數中確定該過程的隱含參數。然后利用這些參數來作進一步的分析，例如模式識別。在正常的馬爾可夫模型中，狀態對于觀察者來說是直接可見的。這樣狀態變遷概率便是全部的參數。而在隱馬爾可夫模型中,狀態并不是直接可見的，但受狀態影響的某些變量則是可見的。每一個狀態在可能輸出的符號上都有一概率分布。因此輸出符號的序列能夠透露出狀態序列的一些信息。隱馬爾可夫模型是馬爾可夫鏈的一種，它的狀態不能直接觀察到，但能通過觀測向量序列觀察到，每個觀測向量都是通過某些概率密度分布表現為各種狀態，每一個觀測向量是由一個具有響應概率密度分布的狀態序列產生。所以，隱馬爾可夫模型是一個雙重隨機過程具有一定狀態數的隱馬爾可夫鏈和顯示隨機函數集。自20世紀80年代以來，HMM被應用于語音識別，取得重大成功。到了90年代，HMM還被引入計算機文字識別和移動通信核心技術“多用戶的檢測”。近年來，HMM在生物信息科學、故障診斷等領域也開始得到應用。馬爾科夫鏈在分析頻譜占用情況時的應用馬爾可夫過程是一個具有無后效性的隨機過程，無后效性是指隨機過程在時刻t的狀態已知的條件下，在時刻t+1所處狀態僅與時刻t的狀態有關，而與過程在時刻t以前的狀態都無關。那些時間離散、狀態離散的馬爾可夫過程稱為馬爾可夫鏈，簡稱馬氏鏈。馬爾可夫鏈是一個建立在隨機過程之上的數學模型，基于馬爾可夫過程假設，系統有一定數目的狀態，任意一個時刻的狀態為狀態集合I={i1,i2,i3,…}中的一個。假定在時刻t的狀態是qi，定義其中設A為由時刻t的i狀態到時刻t+1的j狀態轉換城的矩陣aij，其中，根據前面的定義，同時設定每個狀態的初始化概率，即在初始時刻πi=p(ql=i)滿足πi≥0，，這就是最常用的一步轉移概率p。頻譜在無線通信中是稀缺的資源。傳統的頻譜分配方式靜態地分配頻譜，頻譜利用率很低，很多時候頻譜并沒有被完全利用，而近年來對無線服務的需求不斷增大，因此頻譜資源日益緊張。而以馬爾科夫鏈為原理的認知無線電技術可以有效地解決頻譜資源緊張問題。認知無線電是一種智能通信系統。具有認知功能的無線通信設備可以感知周圍的環境，再利用已經分配給授權用戶，但在某一特定的時刻和環境下并沒有被占用的頻帶，即動態再利用“頻譜空穴”；并能夠根據輸入激勵的變化實時地調整其參數，在有限信號空間中以最優的方式有效地傳送信息，以實現無論何時何地都能保證通信的高可靠性和無線頻譜利用的高效性。頻段狀態實時預測模型一般情況下CR將待查的頻段分為以下3種不同的情況：1)黑空。被主用戶的原始分配業務大部分占據，存在高功率的干擾，不能被感知用戶使用。2)灰空。被授權用戶的原始分配業務部分占用，存在一定程度的功率干擾，基本不被感知用戶使用。3)白空。末被授權用戶的原始分配業務占用，僅存在環境噪聲，可以被感知用戶非授權地使用。為了能更好地進行頻譜共享，對待查頻段這3種情況，有必要利用馬氏鏈建模來實時估計和預測狀態變化情況，為頻譜共享和動態頻譜接入提供參考。假如，經過一段時間的檢測并通過概率統計分析，得到狀態轉移圖，其狀態轉移概率矩陣為P=黑空1-a-bab灰空c1-c-dd白fe1-f-e狀態轉移圖為根據馬爾可夫原理，大多數情況下，隨著時間的推進，馬爾可夫過程都會演化到一個穩態概率分布。根據平穩分布的公式黑空+灰空+白空=1黑空×（1-a-b）+灰空×c+白空×f=黑空黑空×b+灰空×d+白空×（1-f-e）=白空可分別求得黑空、灰空、白空，再根據檢測周期T，可分別求得平均返回時間，這樣就可以為CR優化動態頻譜分配提供參考。排隊論在通信網中的運用排隊論又稱隨機服務系統,主要解決與隨機到來、排隊服務現象有關的應用問題。是研究系統由于隨機因素的干擾而出現排隊(或擁塞)現象的規律的一門學科,排隊論的創始人Erlang是為了解決電話交換機容量的設計問題而提出排隊論。它適用于一切服務系統,包括通信系統、計算機系統等。隨著電子計算機的不斷發展和更新,通信網的建立和完善,信息科學及控制理論的蓬勃發展均涉及到最優設計與最佳服務問題,從而使排隊論理論與應用得到發展。顧客通過網絡必須經過三個環節,即顧客到達、排隊等候處理(服務)、離去。如圖：顧客到達顧客離去顧客排隊機構服務機構排隊規則服務規則排隊系統的組成包括三個部分:1.輸入過程2.排隊規則3.服務機構。其中，在輸入過程中，顧客的相繼到達時間間隔可分為確定型和隨機型，顧客到達系統的方式可以逐個或成批;顧客到達系統可以是獨立的或相關的,輸入過程可以是平穩、馬氏、齊次的。排隊規則可分為損失制，等待制和混合制。(1)損失制，顧客到達系統時,若系統中所有服務窗均被占用,則到達的顧客隨即離去,比如打電話時碰到占線,計算機限定的內存等均為此種情況;(2)等待制，顧客到達系統時,雖發現服務窗均忙著,但系統設有場地供顧客排隊等待之用,于是到達系統的顧客按排隊規則進行排隊等候服務;(3)混合制，它是損失制與等待制混合組成的排隊系統,此系統僅允許有限個顧客排隊等候排隊。服務機構系統可以一個窗口或多個窗口為顧客進行服務各窗口的服務時間可以是確定性或隨機型,顧客在系統內逗留的時間均值Ws;顧客排隊等候服務的時間均值Wq;服務時間的均值t;顯然Ws=Wq+t。我們可以講通信網帶入到上述理論中，與排隊論中的術語相對應,信道數m相當于窗口數。單位時間內的平均呼叫數相當于顧客的到達率λ，每次呼叫占用線路的平均時間相當于平均服務時間。排隊系統模型,相當于電話網中一個具有轉發功能節點上的業務情況。在通信過程中,往往要經過通信路徑上的轉發節點,因此對通信用戶間的整個業務來說,構成了多個連接的排隊模型。這個由多隊列相互連接的一類排隊模型,構成排隊網。隨機過程在信道建模中的應用（1）產生高斯白噪聲隨機序列：通過具有對象信道特性的濾波器濾波，從而產生仿真數據。這種方法的代表模型是clarke模型。圖1所示用兩個互相獨立的高斯低通噪聲產生同分量和正交分量，先在頻域用多普勒功率譜成型濾波器對隨機信號進行整形，再在仿真器最后一級用快速傅里葉反變換產生多普勒衰落的準確的時域波形。（2）基于馬爾可夫過程建模：這種方法是用高階Markov模型作為衰落信道模型。到目前為止,已有很多研究。特別是近年來移動通信發展迅速，對話音、數據業務進行無線傳輸的3G以及4G的研究更是蓬勃展開。無線信道衰落對通信網絡性能的影響是其中的關鍵問題之一。已有的通信協議大多沒有考慮信道的記憶性,這就使得協議性能下降。對于信道記憶性,一般采用Markov模型,已有的對于衰落信道記憶性的研究,大都采用高階Markov模型。但是，隨著階數的增加,計算復雜度也增加了，減小了它的好處。同時，一般采用Markov模型大多應用于分組數據通信的協議研究，很少應用于物理信道。（3）使用一定數量的低頻正弦波發生器，通過簡單的運算得到偽隨機噪聲序列以逼近對象信道。這種方法是以正弦和理論為基礎,用有限加權的正弦信號和近似有色高斯過程,進而建立移動信道的確定性仿真模型。這也是近年來人們研究的重點。該理論的提出能夠克服濾波器采樣頻率和帶寬限制給設計與制作帶來的困難,而且便于用計算機軟硬件來實現。一、馬爾科夫原理簡介馬爾科夫性的定義過程(或系統)在時刻所處的狀態為已知的條件下,過程在時刻所處狀態的條件分布與過程在時刻之前所處的狀態無關。通俗地說,就是在已經知道過程“現在”的條件下,其“將來”不依賴于“過去”。模型建立的基礎設是時刻所處的狀態，為了便于研究，首先將連續變化的時間進行“離散化”處理，同時將事物所處的狀態分成若干等級，分別與狀態空間對應。馬爾科夫模型建立的基礎是“無后效性”和“平穩性”。其中無后效性是指事物本階段的狀態只與前一階段的狀態有關，而與以前其他任何階段的狀態都無關由于馬爾可夫過程滿足“無后效性”和“平穩性”，所以(是事物的狀態經過步轉移的轉移概率矩陣)運用馬爾可夫預測法進行預測，主要原理是建立馬爾可夫預測模型，利用初始狀態向量和狀態轉移概率矩陣來推知預測未來某一時期所處的狀態。用示預測對象由狀態經過次轉移至狀態的概率，即步轉移概率矩陣稱為步轉移概率矩陣。其中的元素具有如下性質：用表示第個時期預測對象恰好處于狀態的概率，則向量稱為第個時期的狀態向量。向量元素具有如下性質：第0個時期的狀態概率稱為初始狀態概率，相應的向量稱為初始狀態概率向量。可以證明，。上式即為馬爾可夫預測模型。其中，為一步轉移概率矩陣。由模型可知，第期的狀態率取決于初始狀態概率和一步轉移概率矩的次方。顯然，若已知初始狀態概率向量及轉移矩陣，則可求出預測對象在任何一時期處于任何一個狀態的概率。表1安徽省各地區人均國內生產總值2002~2006年單位：（元）年份城市20022003200420052006年份城市20022003200420052006合肥2196225252290583979244389阜陽37114052422958206813蕪湖2357028024335443745733734宿州47304125490068587784蚌埠1188213868154561770020268巢湖745082388949100819852淮南8175898797841152213871六安23502544303938784490馬鞍山2341228825295365181158051亳州49735322631457567282淮北1023011703150071757716704池州541561067290867810357銅陵1902222432298343908549993宣城715379778989936010644安慶1303115488199172064522478黃山1042411685138191695419577滁州1249215713173531746419477由于阜陽市缺少2006年的數據，2003年阜陽市人均GDP增長率為9.2%，2004年阜陽市人均GDP增長率為4.4%，2005年阜陽市人均GDP增長率為37.6%，取這三年阜陽市人均GDP增長率的均值為17.1%，則估計2006年的人均GDP為6813元。二、實證分析過程（一）狀態的劃分聯合國、世界銀行劃分國家發展程度的依據是人均GDP，人均GDP是衡量一個地區發展程度重要的指標。在我國，人均GDP是衡量人民生活水平的核心指標之一。世界銀行1990年世界發展報告中對121個國家(地區)的排隊分組，按照人均GDP將各國家（地區）劃為貧困、溫飽、小康、富裕和發達國家（地區）五種類型，根據中國的實際情況，我們按照如下標準劃分為以下五種狀態：G1-貧困（人均GDP在300美元以下）；G2-溫飽（人均GDP在300美元~800美元）；G3-小康（人均GDP在800美元~1500美元）；G4-富裕（人均GDP在1500美元~3000美元）；G5-發達（人均GDP在3000美元以上）。我們可以把它看作是一個以{G1，G2，G3，G4，G5}為狀態空間的馬爾可夫鏈（由于人均GDP具備無后效應的特點，）。安徽省共有17個市，因此本文將通過2002~2006安徽地區的人均GDP（見表1）原始數據來自中國統計年鑒2002~2006：人民幣=1：8的匯率換算）情況來建立馬爾可夫預測模型。由表1可以看出安徽省2002年各地區的人均GDP均超過了貧困水平，所以我們將安徽地區的均GDP情況劃分為四種狀態，分別是：A1-溫飽（人均GDP在300美元~800美元）；A2-小康（人均GDP在800美元~1500美元）；A3-富裕（人均GDP在1500美元~3000美元）；A4-發達（人均GDP在3000美元以上）。表22002~2006年的人均GDP類型統計年份類型20022003200420052006A155431A265456A364556A403444根據表1和表2資料得2002~2003年的狀態轉移情況如下表：下期狀態本期狀態A1A2A3A4A15000A20510A30033A40000從上可以看出，狀態轉移矩陣最后一行元素全為0，為了滿足轉移概率矩陣每一行的行和為1的性質，我們假定狀態A4能夠完全轉移到A4即可。狀態轉移概率分別為：，，，；，；…。由此可得轉移概率矩陣：同理我們可以得到2003~2004年，2004~2005年，2005~2006年的轉移概率矩陣：，2003~2004年的轉移矩陣，2004~2005年的轉移矩陣，2005~2006年的轉移矩陣為了減少計算中的隨機誤差，我們再進一步對以上四個轉移概率矩陣求平均值，得到一步轉移概率矩陣：我們對步轉移概率矩陣求極限可得最終分布為，即在假設沒有重大自然災害、戰爭和金融危機的情況下，最終所有地區都將成為發達地區這一吸收狀態。由此可以看出，所求的最終分布與實際是相吻合的B因此我們可以利用馬爾可夫鏈來預測幾年后安徽省各地區人均GDP的情況。我們取2006年人均GDP的狀態數。則安徽地區2007年的狀態預測為：由上述結果可知，按目前的變化(即轉移概率基本保持不變)，安徽在2007年有0.7個地區為溫飽地區，5.129個地區為小康地區，6.025個地區為富裕地區和5.125個地區為發達地區。而實際的狀態為：2007年有1個地區為溫飽地區，5個地區為小康地區，6個地區為富裕地區和5個地區為發達地區。預測結果與真實結果基本相符。安徽地區三年后的人均GDP狀態預測為：（0.5196，4.3470，5.8785，6.2547）（0.3745，3.6588，4.7763，7.3569）這個結果表明，在2009年有0.3745個地區為溫飽地區，3.6588個地區為小康地區，4.7763個地區為富裕地區和7.3569個地區為發達地區。由以上結果可知，隨著轉移步數的增加，安徽省溫飽和小康的地區數有所減少，而富裕和發達的地區數有所增加。經過數年之后，安徽省的所有地區將成為發達地區，這與馬爾可夫鏈的最終分布式相符的，從而說明了用馬爾可夫預測的可行性。但是本文是基于不出現重大自然災害、戰爭和金融危機的假設下進行的，而且馬爾科夫鏈的預測僅適用于短期預測，因此具有一定的局限性