學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精課堂探究探究一向量數量積的計算求平面向量的數量積時，常用到以下結論：（1）a2＝|a|2;（2）（xa＋yb)·(mc＋nd)＝xma·c＋xna·d＋ymb·c＋ynb·d，其中x，y，m，n∈R，類似于多項式的乘法法則；(3）(a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2；(4）(a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c．同時還要注意幾何性質的應用，將向量適當轉化,轉化的目的是用上已知條件．【例1】已知兩個單位向量e1與e2的夾角為60°，求:(1）e1·e2；（2)(2e1－e2)·（－3e1＋2e2）；（3)(e1＋e2）2．解：（1）e1·e2＝｜e1｜|e2|cos60°＝．（2)由（1）可知e1·e2＝,|e1|＝｜e2|＝1，所以（2e1－e2）·（－3e1＋2e2)＝－6＋3e2·e1＋4e1·e2－2＝－6｜e1｜2＋3×＋4×－2｜e2｜2＝－6＋－2＝－．(3）（e1＋e2）2＝（e1＋e2)·（e1＋e2)＝＋e1·e2＋e2·e1＋＝＋2e1·e2＋＝1＋1＋1＝3．誤區警示利用(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2時，不要將式中的a·b寫成|a｜|b｜．探究二求向量的模利用數量積求解長度問題是數量積的重要應用,要掌握此類問題的處理方法：（1）a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；（2)|a±b｜＝＝．【例2】已知向量a，b滿足｜a|＝|b|＝1，且｜3a－2b｜＝3，求｜3a＋b|的值．分析：通過數量積a·b來探求已知條件｜3a－2b｜＝3與目標式|3a＋b|之間的關系．解：因為|a｜＝|b|＝1，所以｜a｜2＝｜b｜2＝1．又因為｜3a－2b|＝3，所以(3a－2b）2＝9,所以9｜a|2－12a·b＋4|b|2＝9，將｜a｜2＝|b｜2＝1,代入有a·b＝，而（3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋｜b|2＝9＋6×＋1＝12，所以|3a＋b|＝．探究三向量在幾何中的應用向量作為一種工具在解決幾何問題中有著廣泛的應用，將幾何問題轉化為向量問題是極其關鍵的一步，同時注意向量的數量積及向量的運算律的運用;在應用時還要注意向量的相關概念與一些幾何概念的區別，如，向量的夾角與直線的夾角．【例3】在等腰直角三角形ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB中點,E是AB上一點，且AE＝2EB，求證：AD⊥CE．證明：如圖．·=（+）·（+)=·+·+·+·=-＋·＋·＝－＋｜｜·||·＋||·||·＝－＋｜|·eq\r(2)·｜｜·＋|｜·eq\r（2）·|｜·＝－＋＋＝0,所以⊥，即AD⊥CE．【例4】△ABC三邊長為a，b，c，以A為圓心，r為半徑作圓，如圖所示，PQ為直徑,試判斷P，Q在什么位置時,·有最大值？分析：由三角形法則構造與的數量積,然后轉化為在實數范圍內求最大值．解：因為＝－，＋＝，即＝－－＝－－，所以·＝(－）·(－－)＝－·＋·－＋·＝·－r2＋·（－)＝·－r2＋·＝|｜·｜|cos∠BAC－r2＋·＝bccos∠BAC－r2＋·．當與同向時，·最大且最大值為｜|·｜｜＝ra．即當與共線且同方向時，·有最大值bccos∠BAC＋ar－r2．探究五易錯辨析易錯點：向量與實數的混用【例5】已知a，b都是非零向量，且a＋3b與7a－5b垂直，a－4b與7a－2b垂直．求a與b的夾角．錯解:由題意，得即①－②得46a·b＝23b2．因為b≠0，所以a＝，把它代入②得a2＝b2，則|a｜＝|b|，設a與b的夾角為θ，則cosθ＝＝＝，因為0°≤θ≤180°,所以θ＝60°．錯因分析：在求出2a·b＝b2之前是正確的，此式子說明a·b與是兩個相等的數，兩邊同時約去b，即兩邊同除以b是錯誤的，因為向量沒有除法，結果正確只是巧合．正解:因為a＋3b與7a－5b垂直，所以(a＋3b)·(7a－5b)＝0,即7|a｜2＋16a·b－15|b|2＝0．同理由a－4b與7a－2b垂直可得7｜a|2－3