學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精課堂探究探究一組合概念的理解與應用區別排列與組合的關鍵是看取出元素之后，在安排這些元素時，是否與順序有關，與順序有關的則為排列,與順序無關的則為組合．【典型例題1】判斷下列問題是排列問題，還是組合問題．（1)從1，2，3，…，9這九個數字中任取3個，組成一個三位數，這樣的三位數共有多少個？（2)從1，2,3，…，9這九個數字中任取3個，然后把這三個數字相加得到一個和，這樣的和共有多少個？(3)從a，b,c，d這四名學生中選2名學生，去完成同一件工作有多少種不同的選法？(4)規定每兩個人相互通話一次，5個人共通了多少次電話？（5）5個人相互各寫一封信，共寫了多少封信？思路分析:觀察取出的元素與順序有關還是無關，從而確定是排列問題，還是組合問題．解：（1)取出3個數字后，如果改變三個數字的順序,會得到不同的三位數,此問題不但與取出元素有關，而且與元素的安排順序有關，是排列問題．（2）取出3個數字之后，無論怎樣改變這三個數字之間的順序，其和均不變，此問題只與取出元素有關，而與元素的安排順序無關，是組合問題．（3）2名學生完成的是同一件工作，沒有順序，是組合問題．（4)甲與乙通一次電話，也就是乙與甲通一次電話，無順序區別,為組合問題．（5）發信人與收信人是有區別的，是排列問題．規律總結區分排列與組合的辦法是首先弄清楚條件是什么,區分的標志是有無順序，而區分有無順序的方法是：把問題的一個選擇結果寫出來，然后交換這個結果中任意兩個元素的位置，看是否會產生新的變化，若有新變化，即說明有順序，是排列問題；若無新變化，即說明無順序，是組合問題．探究二借助圖表列出所有組合對于給出的組合問題，要求寫出所有組合,一般是將元素按一定的順序排好，然后按照順序用圖示或圖表的方法逐個地將各個組合表示出來．這樣做直觀、明了、清楚，可避免重復和遺漏．【典型例題2】（1)已知a,b,c,d這4個元素，寫出每次取出2個元素的所有組合；（2)已知A,B,C，D，E這5個元素，寫出每次取出3個元素的所有組合．思路分析：先將元素按一定順序寫出，然后按照順序用圖示的方法逐步寫出各個組合即可．解：（1）可按a→b→c→d順序寫出，即所以，所有組合為ab,ac，ad,bc，bd，cd。(2）可按AB→AC→AD→BC→BD→CD順序寫出，即所以，所有組合為ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE。探究三組合數公式（1）組合數公式的選取：涉及具體數字的可以用展開式計算,涉及字母的可以用階乘式計算．（2)性質1：Ceq\o\al(m，n)＝Ceq\o\al(n－m，n）,主要應用于簡化運算．性質2：Ceq\o\al(m，n＋1)＝Ceq\o\al（m,n）＋Ceq\o\al(m－1，n）,從右到左兩個組合數合為一個，實現了由繁到簡的化簡過程，主要應用于組合數的化簡．【典型例題3】（1）計算：①3Ceq\o\al（3,8)－2Ceq\o\al（2,5)＋Ceq\o\al(8，8);②Ceq\o\al(98，100）＋Ceq\o\al(199,200）；③Ceq\o\al（1，6）＋Ceq\o\al(2，6)＋Ceq\o\al(3，7)。（2)證明:mCeq\o\al（m，n）＝nCeq\o\al（m－1,n－1）.思路分析:（1）先考慮利用組合數的性質對原式進行化簡，然后利用組合數公式展開計算．(2)式子中涉及字母，可以用階乘式證明．（1）解：①3Ceq\o\al（3，8)－2Ceq\o\al(2，5）＋Ceq\o\al(8,8)＝3×eq\f（8×7×6，3×2×1)－2×eq\f（5×4，2×1）＋1＝149.②Ceq\o\al（98,100)＋Ceq\o\al（199,200）＝Ceq\o\al(2，100）＋Ceq\o\al(1,200)＝eq\f(100×99,2×1）＋200＝5150.③Ceq\o\al（1,6）＋Ceq\o\al（2，6)＋Ceq\o\al（3，7）＝Ceq\o\al（2，7)＋Ceq\o\al(3,7）＝Ceq\o\al（3，8)＝eq\f(8×7×6，3×2×1)＝56.（2)證明：∵左邊＝m·eq\f（n！,m！n－m！）＝eq\f（n·n－1！,m－1!n－m!）＝neq\f（n－1！，m－1!n－m!)＝nCeq\o\al（m－1,n－1）＝右邊，∴mCeq\o\al(m,n)＝nCeq\o\al（m－1,n－1).規律總結應用組合數公式時應注意以下幾個方面:(1）準確展開:應用組合數公式展開時要注意展開式的項數要準確．（2)應用兩個性質可以簡化運算,起到事半功倍的效果．探究四常見的組合問題解簡單的組合應用題時，要先判斷它是不是組合問題,取出元素只是組成一組,與順序無關則是組合問題；取出元素排成一列，與順序有關則是排列問題．只有當該問題構成組合模型時，才能運用組合數公式求出其種數．在解題時還應注意兩個計數原理的運用，在分類和分步時，注意無重復或遺漏．【典型例題4】現有10名教師,其中男教師6名，女教師4名．（1）現要從中選2名去參加會議，有多少種不同的選法？(2)選出2名男教師或2名女教師去外地學習,有多少種不同的選法？(3)現要從中選出男、女教師各2名去參加會議，有多少種不同的選法？思路分析:首先確定是否是組合問題,再確定完成事情是分步,還是分類．解：(1）從10名教師中選2名去參加會議的選法種數，就是從10個不同元素中取出2個元素的組合數，即有Ceq\o\al(2,10)＝eq\f（10×9,2×1）＝45種不同的選法．（2）可把問題分兩類：第1類，選出2名男教師有Ceq\o\al（2,6）種方法;第2類，選出2名女教師有Ceq\o\al（2,4）種方法,即共有Ceq\o\al（2，6）＋Ceq\o\al(2,4）＝21種不同的選法．(3)從6名男教師中選2名的選法有Ceq\o\al(2，6）種，從4名女教師中選2名的選法有Ceq\o\al（2,4)種，根據分步乘法計數原理，共有Ceq\o\al(2，6）×Ceq\o\al（2，4）＝eq\f(6×5，2×1）×eq\f(4×3，2×1）＝90種不同的選法．探究五易錯辨析易錯點考慮問題不全面重復計數或漏解【典型例題5】有編號分別為1,2,3,4的四個盒子和四個小球,把小球全部放入盒子．恰有一個空盒,有多少種放法？錯解一：將3個小球放入4個盒子中，有Aeq\o\al(3,4）種放法，再把余下的1個小球放到3個盒子中的一個,有Ceq\o\al（1，3）種放法．所以有Aeq\o\al(3，4)×Ceq\o\al（1,3）＝72種放法．錯解二：從4個小球中任取3個，有Ceq\o\al(3，4）種取法，從4個盒子中任取3個，有Ceq\o\al(3,4)種取法．將3個小球放到取出的3個盒子中,有Aeq\o\al(3,3）種放法,再把余下的小球放到3個盒子中的一個，有3種放法，所以放法共有Ceq\o\al(3，4）×Ceq\o\al（3，4)×Aeq\o\al(3,4)×3＝288種．錯因分析：錯解一屬于遺漏計數問題．從四個小球中取出3個(不妨設為1號、2號、3號）放入三個盒中，則把4號小球放入三個盒中的一個時,只有1號和4號;2號和4號；3號和4號三種情況,漏掉了1號和2號；1號和3號；2號和3號的情況．錯解二屬于重復計數問題．若取出的3個小球為1號，2號,3號，則4號小球放入盒中時，其中一種方式為eq\x(1,4）eq\x（2)eq\x(3)；若取出的3個小球為2號,3號，4號，則1號小球放入盒中時,其中也有一種方式為eq\x(2)eq