試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第一學期高二數學期末模擬試卷注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明一、單選題1．已知直線與.若，則（

）A． B．1 C． D．22．設直線的方向向量，平面的法向量，若，則（

）A． B．0 C．5 D．43．設橢圓的一個焦點與拋物線的焦點相同，離心率為，則此橢圓的方程為（

）A． B． C． D．4．在直四棱柱中，底面ABCD為等腰梯形，，，，E為棱的中點，則與平面的夾角余弦值為（

）A． B． C． D．5．已知直線經過定點且與直線平行，若點和到直線的距離相等，則實數的值為（

）A． B． C．或 D．或6．已知為橢圓的兩個焦點，過原點O的直線交橢圓于A，B兩點，且，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C．23 D．7．已知圓，直線的方程為，若在直線上存在點，過點作圓的切線，切點分別為點，使得為直角，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．以下幾個命題中，其中真命題的序號為（

）.①雙曲線與橢圓有相同的焦點；②在平面內，到定點2,1的距離與到定直線的距離相等的點的軌跡是拋物線；③設為兩個定點，為非零常數，，則動點的軌跡為雙曲線；④過定圓上一定點作圓的動弦為坐標原點，若，則動點的軌跡為橢圓.A．① B．①② C．①④ D．③④二、多選題9．已知直線和圓，則（

）A．存在使得直線與直線垂直B．直線恒過定點C．直線與圓相切D．直線被圓截得的最短弦長為10．下面四個結論正確的是（

）A．空間向量，若，則B．對空間中四點，若存在點，使，則四點共面C．已知是空間的一個基底，若，則也是空間的一個基底D．任意向量滿足11．已知拋物線的焦點為，直線與在第一象限的交點為，過點作的準線的垂線，垂足為，下列結論正確的是（

）A．直線過點 B．直線的傾斜角為C． D．是等邊三角形第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明三、填空題12．若圓與圓外切，則實數m＝．13．已知空間四邊形各邊及對角線長都相等，分別為的中點，向量與夾角的余弦值.14．“若點P為橢圓上的一點，，為橢圓的兩個焦點，則橢圓在點P處的切線平分的外角”，這是橢圓的光學性質之一.已知橢圓，點P是橢圓上的點，在點P處的切線為直線l，過左焦點作l的垂線，垂足為M，則的最小值為.四、解答題15．已知三角形的三個頂點分別為，求：(1)邊所在直線的方程；(2)邊上高線所在直線的方程．16．如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱的中點.(1)證明：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.17．已知直線l：和圓C：．(1)求證：直線l恒過一定點M；(2)試求當m為何值時，直線l被圓C所截得的弦長最短；(3)在（2）的前提下，直線l'是過點且與直線l平行的直線，求圓心在直線上，且與圓C相外切的動圓中半徑最小的圓的標準方程．18．如圖，，，垂足分別為，，異面直線，所成角為，，點，點分別是直線，上的動點，且，設線段的中點為.

(1)求異面直線與所成的角；(2)求的取值范圍；(3)求四面體的體積的最大值.19．已知圓與雙曲線只有兩個交點，過圓上一點的切線與雙曲線交于兩點，與軸交于點．當與重合時，．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線的斜率為，求；(3)當時，求的最小值．關注公眾號《品數學》參考答案：題號12345678910答案BACBCBDAADABC題號11答案ABD1．B【分析】根據直線平行列方程，從而求得的值.【解析】由于，所以，此時兩直線方程分別為，不重合，符合題意，所以.故選：B2．A【分析】根據線面垂直，則線與法向量平行，利用坐標運算即可求解.【解析】因為，所以，所以，解得，故選:A.3．C【分析】由拋物線標準方程可得焦點2,0，再由離心率可得，可求得橢圓方程.【解析】根據題意易知拋物線的焦點為2,0，可得；橢圓離心率為，可得，即；橢圓可化為，因此可得；因此，所以橢圓的方程為.故選：C4．B【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求得與平面的夾角的正弦值，再轉化為余弦值.【解析】底面ABCD為等腰梯形，，，，如圖，在底面ABCD中，過點作，垂足為，以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，建立空間直角坐標系．則，，，，，，，設平面的法向量為，則，所以，兩式相減可得，令，解得，，則平面的一個法向量為，，則到平面的夾角正弦值，.故選：B5．C【分析】根據直線過的點以及平行關系設出直線方程，再由點到直線距離公式計算可得結果.【解析】若直線經過定點且與直線平行可設直線的方程為；點和到直線的距離相等可知，解得或.故選：C6．B【分析】根據題意，由橢圓的對稱性可得，，結合橢圓的定義和勾股定理求得答案.【解析】如圖，由，，所以，，所以是直角三角形，又BF1+BF2，所以，即，即，所以.故選：B.

7．D【分析】由圓的對稱性及切線的性質進行轉化，將問題轉化為點到直線的距離求解.【解析】連接，如圖，

則由圓的對稱性及切線的性質，可得四邊形為正方形，又，所以點到直線的距離必須小于或等于，即，所以，故選：D.8．A【分析】根據圓錐曲線的概念、基本性質，圓錐曲線中的軌跡問題，逐一判斷即可.【解析】①雙曲線的焦點坐標為，橢圓的焦點坐標為，故①正確；②因為定點在直線上，所以到定點2,1的距離與到定直線的距離相等的點的軌跡是直線，故②錯誤；③若動點的軌跡為雙曲線，則要小于兩個定點間的距離，當大于或等于兩個定點間的距離時動點的軌跡不是雙曲線，故③錯誤；④由知是線段的中點，所以，所以在以為直徑的圓上，即動點的軌跡為圓，故④錯誤.故選：A.【小結】關鍵點小結：本題主要考查了圓錐曲線的概念、性質及軌跡問題，解題的關鍵是要準確掌握圓錐曲線的概念，及對基本知識的理解與應用.9．AD【分析】對于A：根據直線方程可得斜率，結合垂直關系分析判斷；對于B：將直線方程化為，即可得定點；對于C：判斷定點與圓的位置關系，即可判斷直線與圓的位置關系；對于D：根據題意結合圓的性質分析求解.【解析】由題意可知：圓：的圓心為O0,0，半徑，對A：因為直線：的斜率為，當直線的斜率為時，此時直線與直線垂直，滿足題意，A正確；對B：由可得，，令，解得，所以直線恒過定點，故B錯誤；對C：因為定點到圓心的距離為，所以定點在圓內，所以直線與圓O相交，C錯誤；對D：直線恒過定點，圓心到直線的最大距離為，此時直線被圓O截得的弦長最短為，D正確；故選：AD10．ABC【分析】A選項，根據向量數量積公式得到；B選項，由題目條件推出，從而四點共面；C選項，設，得到方程，方程無解，C正確；D選項，舉出反例即可.【解析】對于A選項，空間向量，若⊥，，夾角為，則，故A正確；對于B選項，若對空間中任意一點，有，即，所以，故，則四點共面，故B正確；對于C選項，是空間的一個基底，則不存在使得，設，即，即，此等式不成立，故不共面，則也是空間的一個基底，故C正確；對于D選項，不妨設，則，，此時，故D錯誤.故選：ABC.11．ABD【分析】求出拋物線的焦點，代入驗證可判斷A；由直線的斜率求出傾斜角可判斷B；由與直線的傾斜角的關系可判斷C；由拋物線定義可知，進而判斷的形狀，從而判斷D.【解析】拋物線的焦點為，而，所以直線過點，故A正確；設直線的傾斜角，因為直線的斜率為，，所以，即直線的傾斜角為，故B正確；因為，故C錯誤；因為點在拋物線上，由拋物線定義可知，，又，所以是等邊三角形，故D正確.故選：ABD.

12．【分析】根據兩圓外切列方程，從而求得的值.【解析】圓的圓心為，半徑為.圓的圓心為，半徑為.由于兩圓外切，所以，由于，故解得.故答案為：13．【分析】根據向量的四則運算，用表示，，再根據數量積的計算公式和運算律求解即可.【解析】如圖，設，，，，由題意易知，則，因為，，，所以，所以,所以向量與夾角的余弦值為，故答案為：14．【分析】利用橢圓的光學性質，結合等腰三角形三線合一的推論與中位線定理分析得點的軌跡為圓，再利用點到圓上點的距離的最值求法即可得解.【解析】因為橢圓，所以，，即，如圖，延長、交于點，由題意可知，又因為，則為的中點，且，所以，又因為為的中點，則，故點的軌跡為以為原點，為半徑的圓，圓的方程為，易知點到圓心的距離為，所以的最小值為.故答案為：.【小結】關鍵點小結：本題解決的關鍵是，利用橢圓的性質分析得點的軌跡是圓，從而得解.15．(1)(2)【分析】（1）根據直線的兩點式方程即可求出；（2）先求出的斜率，即可得到高線所在直線的斜率，再由點斜式方程即可解出．【解析】（1）邊所在直線的方程為：,即．（2）∵的斜率∴邊上的高所在直線的斜率∴邊上的高線所在直線的方程為：即．16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過證明來證得平面.（2）建立空間直角坐標系，利用向量法來求得直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）由于為棱的中點，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于平面，平面，所以平面.（2）依題意可知平面，而平面，所以，，所以.而，由此可以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，，，設平面的法向量為，則，故可設，設直線與平面所成角為，所以.17．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由直線l的方程變形為，聯立聯立即可求得直線恒過的定點；（2）要使直線l被圓C所截得的弦長最短，則l⊥CM，化圓C的方程為標準方程，求出圓心坐標，得到，再由兩直線垂直與斜率的關系列式求解m值；（3）由（2）得，直線：，畫出圖形，可知所求圓的圓心，聯立直線方程求得圓心坐標，再求出所求圓的半徑，則圓的標準方程可求．【解析】（1）由直線l：，得，聯立解得∴直線l恒過一定點．（2）要使直線l被圓C所截得的弦長最短，則l⊥CM，化圓C：為，可得，則，∴，解得．（3）由（2）得，直線：，即．

如圖，過C與直線垂直的直線方程為，即．聯立解得而C到直線的距離，∴所求圓的半徑為．故圓心在直線上，且與圓C相外切的動圓中半徑最小的圓的標準方程為．18．(1)(2)(3)【分析】（1）過點作的平行線，過點作的平行線交于點，可得是異面直線與所成的角，再根據幾何關系求解即可；（2）思路一：建立空間直角坐標系，求出點的軌跡，進而可得的取值范圍；思路二：由空間向量的線性運算可得，進而可得范圍.（3）先求得，思路一：設，，根據基本不等式求得，范圍，進而可得最大值.思路二：直接根據結合基本不等式求解即可.【解析】（1）如圖，過點作的平行線，過點作的平行線交于點，

則有是異面直線與所成的角或其補角.因為，，所以，，平面，所以平面，平面，所以，因為，，所以，所以，，所以異面直線與所成的角為.（2）如圖，過的中點分別作，的平行線，，以為坐標原點，的外角平分線、內角平分線分別為軸，軸，過點并且垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系.

由題意可知，，設,，則，，從而，且.所以.思路一：因為，，，所以，，所以，即.所以點的軌跡是橢圓（長軸長為6，短軸長為2），其軌跡方程為.點，所以.思路二：設在，上的投影分別為，則且，則、分別為平行四邊形的兩條對角線，則為中點.故，可得，因為，則，所以.（3）由題意異面直線，所成角為，則到平面的距離，故，

思路一：不妨設，，則，故，從而，此時.思路二：因為，故，從而，此時，.19．(1)(2)(3)【分析】（1）先根據條件確定的值及雙曲線經過點，可求雙曲線的標準方程.（2）先根據直線與圓線切和與直線垂直，求出直線的方程，代入雙曲線方程，可求，利用求弦長.（3）求出弦長AB和點坐標，再結合直線斜率的取值范圍確定的最小值.【解析】（1）由圓與雙曲線只有兩個交點可知：，又根據題意，雙曲線過點，所以，所以雙曲線的標準方程為：.（2）如圖：因為直線的斜率為，且直線與直線