學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精1。2。3空間中的垂直關系5分鐘訓練（預習類訓練,可用于課前）1。將直線與平面垂直的判定定理“如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面"用集合符號語言表示為(）A。mα，m∩n=B，l⊥n，l⊥ml⊥αB.mα，nα，m∩n=B,l⊥m,l⊥nl⊥αC。mα,nα，m∩n=Bl⊥n,l⊥m，l⊥αD。mα,nα,l⊥m,l⊥nl⊥α解析：將文字語言轉化為集合符號語言時,比較好的方法是邊讀題，注意各個要求，邊畫圖，同時用符號表示出來，它們同步進行，可以避免漏條件.另外由于這是一道選擇題，也可以從選項入手排除錯誤選項,確定正確答案.答案：B2.關于直線m、n與平面α、β,有下列四個命題：①m∥α,n∥β且α∥β，則m∥n；②m⊥α，n⊥β且α⊥β,則m⊥n；③m⊥α,n∥β且α∥β，則m⊥n;④m∥α,n⊥β且α⊥β,則m∥n.其中真命題的序號是(）A。①②B.③④C.①④D。②③解析：①若m∥α,n∥β且α∥β,則m∥n為假命題，可能出現直線相交的情況；④若m∥α,n⊥β且α⊥β，則m∥n為假命題，可能出現直線相交的情況.在①④的條件下，m、n的位置關系不確定。答案：D3。PA⊥正方形ABCD各邊，連結PB、PC、PD、AC,則互相垂直的平面有_____________對。解析：由已知可得,PA、AB、AD、BC、CD均是某個平面的垂線，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC,平面PAD⊥平面PDC，平面PAC⊥平面ABCD.答案：610分鐘訓練（強化類訓練，可用于課中)1.設m、n是兩條不同的直線,α、β是兩個不同的平面。下列敘述正確的是(）A。m⊥α，nβ，m⊥nα⊥βB.α∥β,m⊥α，n∥βm⊥nC.α⊥β，m⊥α,n∥βm⊥nD。α⊥β,α∩β=m,n⊥mn⊥β解析：此類題采用排除法解題，通過很好地找出反例，從而準確地判斷出直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系.答案:B2.設a、b是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是(）A。若a∥b，a∥α，則b∥αB。若α⊥β，a∥α,則a⊥βC。若α⊥β，a⊥β，則a∥αD.若a⊥b，a⊥α,b⊥β，則α⊥β解析：對于A，直線b可能在平面α內；對于B,直線a可能與平面β斜交;對于C,直線a可能在平面α內.因此，選D.答案：D3。如圖1—2—3-1，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為a的正方形，側棱PA=a，PB=PD=2a,則它的五個面中,互相垂直的面是_____________。圖1-2-3—1圖1-2—3—2解析：由勾股定理逆定理得PA⊥AD，PA⊥AB,∴PA⊥面ABCD，PA⊥CD,PA⊥CB。由直線與平面垂直的判定定理及平面與平面垂直的判定定理易得結論.答案：平面PAB⊥平面PAD,平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面PBC,平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD。4.如圖1-2—3-2，已知a∥α，a⊥β。求證:α⊥β。解析：已知條件中已經有一條直線a與平面β垂直，可以想到利用線面平行的性質定理，過a作輔助平面去截平面α，從而在平面α內找一條與直線a平行的直線.證明：過a作一平面γ,設γ∩α=a′，∵a∥α,則a∥a′.又∵a⊥β,則a′⊥β,又∵a′α，由面面垂直的判定定理知α⊥β。5。如圖1-2-3—3，四棱錐P—ABCD的底面是矩形，側面PAD是正三角形，且側面PAD⊥底面ABCD，E是側棱PD的中點。圖1-2-3—3(1)求證：PB∥平面EAC；（2）求證:AE⊥平面PCD。解析：(1）要證線面平行，只需在面EAC中找一直線與PB平行即可。(2）只需在PCD中找兩條相交直線與AE垂直即可.證明：(1）連結BD,BD∩AC=O，連結EO,則EO為△PDB的中位線，則PB∥EO.所以PB∥平面EAC.（2）CD⊥平面PADCD⊥AE.AE⊥PD，則AE⊥平面PCD.6。如圖1-2—3—4所示，已知ABCD是矩形,AB=a,AD=b，PA⊥平面ABCD。PA=2c,Q是PA的中點.圖1—2—3—4求:（1）點Q到BD的距離；(2)點P到平面BQD的矩離.解：(1)在矩形ABCD中，作AE⊥BD,E為垂足,連結QE。∵QA⊥平面ABCD,可證得QE⊥BE，∴QE的長為點Q到BD的距離。在矩形ABCD中,AB=a，AD=b,∴AE=.∴在Rt△QAE中,QA=PA=c。∴QE=。∴Q到BD的距離為。(2)方法一：∵平面BQD經過線段PA的中點,∴點P到平面BQD的距離等于點A到平面BQD的距離.在△AQE中,作AH⊥QE,H為垂足。∵BD⊥AE,BD⊥QE,∴BD⊥平面AQE。∴BD⊥AH。∴AH⊥平面BQE,即AH為點A到平面BQD的距離。在Rt△AQE中，AQ=c,AE=，∴AH=。∴點P到平面BDQ的距離為.方法二：本題也可用體積法求解。設點A到平面QBD的距離為h,由VA-BQD=VQ—ABD,S△BQD·h=S△ABD·AQ，∴h=。30分鐘訓練(鞏固類訓練，可用于課后）1。給出以下四種說法：①如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的一個平面和這個平面相交,那么這條直線和交線平行;②如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面;③如果兩條直線都平行于一個平面，那么這兩條直線互相平行；④如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。其中正確的個數是(）A。4B.3C.2解析:根據空間中線面平行、垂直的有關性質與判定易知③錯，①②④正確,故選B.答案：B2.已知直線l和平面α、β,且lα，lβ,給出以下3個論斷：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.從中任取兩個作為條件，剩下的一個作為結論,那么()A。一共可以寫出6個命題,其中有2個命題正確B.一共可以寫出3個命題,其中有2個命題正確C。一共可以寫出6個命題,這6個命題都正確D.一共可以寫出3個命題，這3個命題都正確解析:（1）①②③；（2）②③①;（3）①③②，其中(1）(3）為真命題。答案：B3。如果直線l、m與平面α、β、γ滿足：l=β∩γ，l∥α,mα和m⊥γ,那么必有（）A。α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC。m∥β且l⊥mD。α⊥γ且α⊥β解析：由已知有α⊥γ，又l=β∩γl⊥m.故A對。答案:A4。若△ABC所在平面外一點P，分別連結PA、PB、PC，則這四個三角形中直角三角形的個數最多為(）A.1B.2C.3解析:設△ABC為Rt△,過一銳角頂點A作PA⊥平面ABC，則四個三角形都是直角三角形,∴應選D.答案:D5。已知m、n是不重合的直線，α、β是不重合的平面,給出下列四個命題：①若m⊥α,m⊥β，則α∥β;②若mα,nβ，m∥n，則α∥β；③若m∥n,m⊥α，則n⊥α；④若m⊥α，mβ，則α⊥β;其中正確命題的個數是（)A.1B.2C.3解析：①③④都是教材上定理的變形，只有②是錯誤的,因為兩個不重合的平面內只有一條直線互相平行,是不能推出兩平面平行的.答案：C6.已知平面α外不共線的三點A、B、C到α的距離都相等，則正確的結論是()A。平面ABC必不垂直于αB。平面ABC必平行于αC。平面ABC必與α相交D。存在△ABC的一條中位線平行于α或在α內解析：當三點A、B、C不在平面α的同側時，平面ABC與α相交，相交時也可能垂直于α，排除A、C。答案:D7.如圖1—2-3-5,下列五個正方體圖形中,l是正方體的一條體對角線,點M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出l⊥面MNP的圖形的序號是___________.(寫出所有符合要求的圖形的序號)圖1-2—3—5解析：∵正方體的體對角線與其不相交的面對角線垂直，∴可得①中直線l平行于平面MNP中的兩條相交直線，∴由①能得出l⊥平面MNP；但②③中平面MNP不與①中的平面MNP平行，這樣由②③不能得到l⊥平面MNP；④中易得l⊥MP，而MN也與下底面對角線平行，所以④同樣可得l⊥平面MNP；問題⑤不易判斷,這里略證一下:如圖,E、F、G是正方體棱的中點,則過P、M、N的截面就是六邊形PGMENF.∵l⊥PF，l⊥FN，∴l⊥面PFN，即l⊥面PGMENF,即l⊥面PMN。答案:①④⑤8.設x、y、z是空間的不同直線或不同平面,且直線不在平面內,下列條件中能保證“若x⊥z,且y⊥z,則x∥y”為真命題的是_____________.（填所有正確條件的代號）①x為直線，y、z為平面②x、y、z為平面③x、y為直線，z為平面④x、y為平面,z為直線⑤x、y、z為直線解析：同垂直于一直線的兩面平行，同垂直于一面的兩線平行,同垂直于一面的線面也平行。(不包含的話）答案：①③④9.在三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥面ABC,且AB=BC，能否在側棱BB1上找到一點E,恰使截面A1EC⊥側面AA1解:作EM⊥A1C∵截面A1EC⊥面AA1C∴EM⊥面AA1C∵AB=BC,∴BN⊥AC。而面ABC⊥面AA1C∴BN⊥面AA1C∴BN∥EM。∴面BEMN∩面AA1C又BE∥面AA1C1C∵AN=NC，∴A1M∴BE=MN=A1A,即E為BB1中點時，面A1EC⊥面AA1C10.如圖1-2—3—6，OA、OB、OC分別是平面α內過O點的三條射線,P是平面α外一點,若∠POA=∠POB=∠POC,求證：PO⊥α。圖1-2-3-6證明：若∠POA=∠POB=∠POC≠，作PH⊥α,HD⊥OA于D，HE⊥OB于E,連結PD、PE，則PD⊥OA,PE⊥OB。∵∠POA=∠POB,PO公共,∴Rt△POD≌Rt△POE.∴PD=PE.∴HD=HE.∴點H在∠AOB的平分線上。同理,點H也在∠AOC的平分線上.∴點H是∠AOB的平分線與∠AOC的平分線的交點，即點O.∵PO⊥平面α，∴PO⊥OA.這與∠POA≠矛盾，∴假設不成立。∴∠POA=∠POB=∠POC=.∴PO⊥α.11.如圖1-2-3—7,PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點。圖1-2-3-7(1）求證:MN∥平面PAD;(2)求證：MN⊥CD；（3）若∠PDA=45°,求證：MN⊥平面PCD.證明：(1)如圖，取PD的中點E，連結AE、EN，則有ENCDABAM。故AMNE是平行四邊形.∴MN∥AE。∵AE平面PAD，MN平面PAD,∴MN∥平面PAD.（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB。又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥AE，即AB⊥MN.又CD∥AB,∴MN⊥CD.(3）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD。又∠PDA=45°,E是PD的中點，∴AE⊥PD,即MN⊥PD。又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD.12.如圖1—2—3—8，在三棱錐ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC