高二—人教A版—數(shù)學—選擇性必修第一冊第一章

空間向量及其線性運算一.教學目標二.情景引入

這是一個做滑翔傘運動的場景.可以想象,在滑翔過程中,飛行員會受到來自不同方向、大小各異的力.顯然這些力不在同一個平面內(nèi).這就是我們今天要學習的空間向量.三.新知初探(一)空間向量的有關(guān)概念1.定義：在空間，具有

和

的量叫做空間向量.2.長度或模：空間向量的

.大小方向

大小

3.表示方法：有向線段

起點終點

4.幾個特殊的向量概念：平面向量空間向量零向量：單位向量：相等向量：相反向量：模為0的向量，記作：0模為1的向量模相等，方向相同的向量模相等，方向相反的向量空間中的任意兩個非零向量，都可以通過平移使它們的起點重合。因此，任意兩個空間向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個向量。所以對于空間向量的研究可以類比平面向量得出.（二）空間向量的線性運算1.空間向量的加法、減法

運算：空間向量的加法、減法運算與平面向量的運算一樣.

運算律：①交換律：②結(jié)合律：AaOQPλaλ>0MNλaλ<02.空間向量的數(shù)乘運算

運算：空間向量的數(shù)乘運算與平面向量的運算一樣.

運算律：①結(jié)合律：②分配律：當，當，當0或，

給定一個實數(shù)λ與任意一個空間向量

，則實數(shù)λ與空間向量

相乘的運算稱為數(shù)乘向量，記作

．其中：當λ≠0且

時，

的模為,而且的方向滿足：對于空間中任意向量a和向量b,以及實數(shù)λ和μ，3.知識拓展⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量．即：⑵首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量．即：4.互動探究在平行六面體中，分別標出表示的向量.從中你能體會向量加法運算的交換律和結(jié)合律嗎？一般地，三個不共面的向量的和與這三個向量有什么關(guān)系？發(fā)現(xiàn)：有限個向量求和，交換相加向量的順序，其和不變.發(fā)現(xiàn)：即三個不共面向量的和，等于以這三個向量為鄰邊的平行六面體中，與這三個向量有共同始點的對角線所表示的向量．（三）共線向量1.定義(類比平面向量)表示若干空間向量的有向線段所在的直線_______________，則這些向量叫做_________或平行向量．互相平行或重合共線向量規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量

，都有0∥a.探究思考2:反之，

與

有什么樣的位置關(guān)系時，？

對任意兩個空間向量

與

,如果,與

有什么樣的位置關(guān)系？類比平面向量對任意兩個空間向量

與

,如果,則

與

是平行或者共線的向量.反之，當

與

是平行或者共線的向量，則存在實數(shù)滿足.對于空間任意兩個向量??,??(??≠0),??//??

的充要條件是存在實數(shù)λ使______.3.直線的方向向量：2.共線向量定理：直線

可以由其上一點和和它的方向向量確定。此時我們把與向量

平行的非零向量稱為直線l的方向向量.如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量

，則對于直線l上任意一

點P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)

,使得

思考：通過證明??//??，還需要什么條件呢？需要說明向量a所在的直線上至少有一點不在向量b所在的直線上.（四）共面向量平行于__________的向量叫做共面向量．1.定義同一個平面我們知道，任意兩個空間向量總是共面的，但三個空間向量既可能是共面的，也可能是不共面的。那么，什么情況下三個空間向量共面呢？如圖：如果表示向量的有向線段所在的直線與直線平行或重合，那么稱向量平行于直線.

OAl如果直線平行于平面或在平面內(nèi),那么向量平行于平面.探究思考3:對平面內(nèi)任意兩個不共線的向量由平面向量基本定理可知，這個平面內(nèi)的任意一個向量都可以寫成，其中是唯一確定的有序?qū)崝?shù)對.對兩個不共線的空間向量，如果，那么向量與向量有什么位置關(guān)系？反過來，向量與向量有什么位置關(guān)系時，？

猜想：如果空間兩個向量不共線，則向量與向量共面存在唯一的有序?qū)崝?shù)對

使.

2.共面向量定理：OACB空間兩個向量不共線，向量與向量共面存在唯一的有序?qū)崝?shù)對

使.

證明：（1）必要性，如果向量與向量共面，則通過平移一定可以使它們位于同一平面內(nèi).

使得.由平面向量基本定理可知，存在唯一的實數(shù)對（2）充分性，如果向量滿足，則可選定一點O

，作于是顯然

都在平面

內(nèi)，故

共面.3.推論（判斷點在平面內(nèi)）：Mα引入空間任一點,

可變式為空間一點位于平面內(nèi)存在唯一的有序?qū)崝?shù)對使.推論1：空間四點共面存在唯一有序?qū)崝?shù)對使如果我們令則

,其中.推論2：空間四點共面存在唯一的有序?qū)崝?shù)對使其中.四.課堂練習答案：(1)×

(2)√(3)×(4)×考點：空間向量的概念.五.例題講解OABCDEFGH思路探究：欲證四點共面，只需證明共面.而由已知

共面，可以利用向量運算由共面的表達式推得

共面的表達式.

例：如圖，已知平行四邊形，過平面外一點，作射線

，在四條射線上分別取點,使

.

求證：四點共面.

考點：空間中四點共面的判定.OABCDEFGH是平行四邊形由向量共面的充要條件可知，共面,又過同一點,從而四點共面.證明：.六.課堂小結(jié)1.空間向量的概念.2.空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算.3.共線向量（平行向量）的概念及空間向量共線的充要條件及其應用.4.共面向量的概念及空間向量共面的充要條件及其應用.平面向量空間向量類比七.課后作業(yè)課本的第2，3，4，5題.課堂到此結(jié)束，謝謝觀看！空間向量及其線性運算答疑高二—人教A版—數(shù)學—選擇性必修第一冊第一章

一：對共面向量充要條件定理證明的理解必要性的證明：是根據(jù)平面向量基本定理得出的，比較好理解.充分性的證明：當都為或部分為零向量的時候，充分性顯然成立.由共面向量的充要條件，可以建立平面的參數(shù)方程，將平面用點和向量表示出來，這就是用空間向量解決立體幾何問題的基礎.OACB當都不是零向量時，因為分別與共線,所以都在

確定的平面內(nèi).又因為是以為鄰邊的平行四邊形的一條對角線所表示的向量，且此平行四邊形在確定的平面內(nèi)，所以在確定的平面內(nèi).所以共面.二：對四點共面充要條件定理的理解將證明點在平面內(nèi)的問題轉(zhuǎn)化為有公共起點的三個向量的共面問題.將四點共面問題轉(zhuǎn)化為空間中同一個起點的向量的線性運算問題.其中空間四點共面存在唯一的有序?qū)崝?shù)對使其中.空間一點位于平面內(nèi)存在唯一的有序?qū)崝?shù)對使.練習：解法2：根據(jù)共面向量定理的推論，P,Q,R,S,都可以寫成以A為起點的有向線段，只需判斷的系數(shù)和是否為1.下列向量關(guān)系式中，能確定空間四點

共面的是（）解法1：

為共面向量.故P,Q,R,S四點共面.故選：D比如選項D:根據(jù)共面向量定理，將四點共面問題轉(zhuǎn)化為同一