密學院、專業：數學學院數學與應用數學林熠(吉林師范大學數學學院2006級5班吉林四平136000)指導教師：楊穎（講師）摘要：文中通過分析變量可分離方程,全微分方程和一階隱式微分方程三類方程介紹關鍵詞：初等積分，變量可分離全微分，一OntheelementaryintegralsLinYi(SchoolofMathematics,JilinNormalUniversity,2006Siping136000,Jilin5classes)Instructor:YangYing(lecturer)Abstract:Inthispaper,byanalyzingthevariableseparableeqimplicitdifferentialequationdescribesthethreebasicmethodselementaryiExample,ExampleshowingthroughthesecommonlyusedsolutionsofelementaryintegralstitlefunctionKeywords:elementaryintegral,variableseparabletotaldifferential,afirst-ord概念：一般說來，微分方程就是聯系自變量，未知函數以及未知函數的某些導數的等式.如果其中的未知函數只與一個自變量有關，則稱為常微分方程.⑵假設g(y)不是常數，且f(x)在（a,b）上連續，g(y)在(α,β)上連續，設y=y(x)為方程（1）（1）式的通積分為dx+C,C為任意常數.若g(y)≠0,微分方程解：①若y≠0，分離變量積分得lny=lnx+lnC,即y=CxCyx3解：若y≠±1,分離變量得兩端積分得arcsiny=arcsinx+C,1222(2)若3X0，使=M2(x0)=0,3y0,使x2-1y2-1=C2→lnx2-1y2-1=C2,C2≠0或=C,C≠0定義：如果一階顯示方程（1）的右端函數f(x,y)可以改寫為 eΦ代入方程（1），通積分為：若3u0，使g(u0)-u0=0,則u=u0為方程（2）的解，則y=u0x為方程（1）的解.例一求方程=y2-的通解.解所給方程為型.此時r0=-2,r2=2,=r0+1=-1知該方程為齊次4解之,并將u換成xy,得原方程的通解為：xy-1=Cx3(xy+2)齊次型方程,且p=則原方程化為令y=x-代入解之,并將u換成x得原方程的通解為:1+xyarctan(x+xylnx=Cxy.1．一個一階微分方程寫成P（x，y）dx＋Q（x，y1）形式后，如果全微分du（x，y）＝P（x，y）dx＋Q（x，y）dy那么方程（1）就叫做全微分方程．這里那么方程（1）就是du（x，y所以u（x，yC就是全微分方程（1）的隱式通解，其中C為任意常數.設函數P（x，yQ（x，y）在單連通域G上有數，則G在內曲線積分Pdx+Qdy與路徑無關的充分必要條件3．當條件（2）不能滿足時，方程（1）就不是全微分方程．這時如果有一個適當的函數μ（X，Y）(μ（X，Y）≠0，使方程（1）在乘上μ（x，y）后所得的方程μPdx+μQdy＝0是全微分方程，則函數μ（x，y）叫做方程（1）的積分因子.①按照為全微分方程充分條件的證明過程可得第一種解法．求μ（x，y）使它滿足 和從式出發，把看成參數對進行積分，解這個方程得到dx+g其中g為y的任意可微函數。我們現在來選取g（y）使它同時滿足（4）式，即將式代入（5）式中即求得5=x＋y3=x＋y3看成常數），得到μ=yx-x4+g其中g為y的任意函數。現選取g（y）使它滿足y3即，x＋g＝x＋y3，g所以y4＋C1（C1為任意常數）.上述方法來求解，而是采取“分項組合”的辦法，先把那些本身已構成全微分的項分出再把剩下的項湊成全微分．但這種方法要求熟記一些簡單二元函數的全微分.現用這種方法求解下面例題.于是方程的通解為x4＋xy＋y4＝C這里C為任意常數.②由前面曲線積分的定理可知，當P（x，y），Q（x，y）在單連通域G內具有一階連續偏導數時，要程，其充要條件是在區域G內恒成立，且當此條件滿足時，全微分方程(1)的通解為），點作為曲線積分的始點．例3求解（5x4＋3xy2－y3）dx3x2y－3xy2＋y2）dy＝0.見到形如P（x，y）dx＋Q（x，y）dy＝0的一階微分方程，首先要判斷它是哪一種類型的方程，如是全微分方程，然后按全微分方程的解法去求解.y,=f1(x,y),y,=f2(x,y)......y,=fl(x,y)（y,x)(y,y)=0類型一F（x,y,）=0F(y,y,)=0dy=Ψ(t)dφ(t)=Ψ（t）φ,(t)dtdt+C7常微分方程的解法很多，應用起來也很靈活，本文僅簡單的介