專題02利用圓的性質(zhì)進行求解的問題圓在壓軸題中考查綜合性比較強，常與二次函數(shù)、全等三角形以及相似三角形結(jié)合進行考查，本專題中重點側(cè)重壓軸題中對圓的性質(zhì)的考查部分，需要考生熟練掌握與圓有關(guān)的性質(zhì)。圓有關(guān)的性質(zhì)：1．圓的對稱性：圓既是軸對稱圖形有時中心對稱圖形。2．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．3．垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧．4．圓心角、弧、弦的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。5．圓心角、弧、弦的關(guān)系定理推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。6．圓周角定理定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．7．圓周角定理的推論：推論1：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等。推論2：直徑所對的圓周角是直角．8．點與圓的位置關(guān)系：設(shè)點到圓心的距離為d．(1)d<r?點在⊙O內(nèi)；(2)d=r?點在⊙O上；(3)d>r?點在⊙O外．9．直線和圓的位置關(guān)系位置關(guān)系相離相切相交公共點個數(shù)0個1個2個數(shù)量關(guān)系d>rd=rd<r10．切線的性質(zhì)：切線與圓只有一個公共點；切線到圓心的距離等于圓的半徑；切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。11．切線的判定（1）與圓只有一個公共點的直線是圓的切線（定義）；（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；（3）經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。12．三角形的外接圓：經(jīng)過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形。外心是三角形三條垂直平分線的交點，它到三角形的三個頂點的距離相等。13．三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形；內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點，它到三角形的三條邊的距離相等。14．正多邊形的有關(guān)概念（1）正多邊形中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心；（2）正多邊形半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形半徑；（3）正多邊形中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形中心角；（4）正多邊形邊心距：正多邊形中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。15．弧長和扇形面積的計算：扇形的弧長l=；扇形的面積S==．16．圓錐與側(cè)面展開圖（1）圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長。（2）若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr，圓錐的側(cè)面積為S圓錐側(cè)=．圓錐的表面積：S圓錐表=S圓錐側(cè)+S圓錐底=πrl+πr2=πr·（l+r）． （2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）已知是的直徑，點A，點B是上的兩個點，連接，點D，點E分別是半徑的中點，連接，且．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，延長交于點F，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點G是上一點，連接，若，，求的長．（1）根據(jù)SAS證明即可得到結(jié)論；（2）證明即可得出結(jié)論；（3）先證明，連接，證明，設(shè)，，在上取點M，使得，連接，證明為等邊三角形，得，根據(jù)可求出，得，，過點H作于點N，求出，再證，根據(jù)可得結(jié)論．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)【詳解】（1）如圖1．∵點D，點E分別是半徑的中點∴，∵，∴∵，∴∵∴，∴；（2）如圖2．∵，∴由（1）得，∴∴，∴∵∴，∴（3）如圖3．∵，∴∴連接．∵∴，∴，∵設(shè)，∴在上取點M，使得，連接∵，∴∴，∴為等邊三角形∴∵，∴∴，∴∴，過點H作于點N，∴，∴∵，，∴∵，∴，∴∴，在中，，∴∴，∴．本題主要考查了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及解直角三角形等知識，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，為半圓O的直徑，C為延長線上一點，切半圓于點D，，交延長線于點E，交半圓于點F，已知．點P，Q分別在線段上（不與端點重合），且滿足．設(shè)．(1)求半圓O的半徑．(2)求y關(guān)于x的函數(shù)表達式．(3)如圖2，過點P作于點R，連結(jié)．①當為直角三角形時，求x的值．②作點F關(guān)于的對稱點，當點落在上時，求的值．（1）連接OD，設(shè)半徑為r，利用，得，代入計算即可；（2）根據(jù)CP=AP十AC，用含x的代數(shù)式表示AP的長，再由（1）計算求AC的長即可；（3）①顯然，所以分兩種情形，當時，則四邊形RPQE是矩形，當∠PQR＝90°時，過點P作PH⊥BE于點H，則四邊形PHER是矩形，分別根據(jù)圖形可得答案；②連接，由對稱可知，利用三角函數(shù)表示出和BF的長度，從而解決問題．【答案】(1)；(2)；(3)①或；②【詳解】（1）解：如圖1，連結(jié)．設(shè)半圓O的半徑為r．∵切半圓O于點D，∴．∵，∴，∴，∴，即，∴，即半圓O的半徑是．（2）由（1）得：．∵，∴．∵，∴．（3）①顯然，所以分兩種情況．ⅰ）當時，如圖2．∵，∴．∵，∴四邊形為矩形，∴．∵，∴，∴．ⅱ）當時，過點P作于點H，如圖3，則四邊形是矩形，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，由得：，∴．綜上所述，x的值是或．②如圖4，連結(jié)，由對稱可知，∵BE⊥CE，PR⊥CE，∴PR∥BE，∴∠EQR=∠PRQ，∵，，∴EQ=3-x，∵PR∥BE，∴，∴，即：，解得：CR=x+1，∴ER=EC-CR=3-x，即：EQ=ER∴∠EQR=∠ERQ=45°，∴∴，

∴．∵是半圓O的直徑，∴，∴，∴，∴，∴．本題是圓的綜合題，主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，三角函數(shù)等知識，利用三角函數(shù)表示各線段的長并運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．（2022·浙江舟山·中考真題）如圖1．在正方形中，點F，H分別在邊，上，連結(jié)，交于點E，已知．(1)線段與垂直嗎？請說明理由．(2)如圖2，過點A，H，F(xiàn)的圓交于點P，連結(jié)交于點K．求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，當點K是線段的中點時，求的值．（1）證明（），得到，進一步得到，由△CFH是等腰三角形，結(jié)論得證；（2）過點K作于點G．先證△AKG∽△ACB，得，證△KHG∽CHB可得，結(jié)論得證；（3）過點K作點G．求得，設(shè)，，則KG＝AG＝GB＝3a，則，勾股定理得，，由得，得，，即可得到答案．【答案】(1)，見解析；(2)見解析；(3)【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，又∵，∴（），∴．又∵，∴．∵∴△CFH是等腰三角形，∴．（2）證明：如圖1，過點K作于點G．∵，∴．∴，∴．∵，，∴．∴，∴，∴．（3）解：如圖2，過點K作點G．∵點K為中點：由（2）得，∴，設(shè)，，則，∴，，∴，∵，∴，，∵，∴，又∵，∴，∴．∴，∴，∴．此題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形全等的判定定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1．（2022·浙江溫州·溫州市第三中學校考模擬）如圖，是的直徑，弦于點，是上一動點（不與點，點重合），以，為邊構(gòu)造平行四邊形，交于點，交于點，若，．(1)求證：．(2)當與相切時，求的長．(3)①當中有一個角與相等時，求的長．②若點關(guān)于的對稱點落在的內(nèi)部（不包括的邊界），求的取值范圍（直接寫出答案）．【答案】(1)見詳解；(2)；(3)①3②【分析】（1）連接，由垂徑定理可知，進而證明；再由，可證明，然后由“平行四邊形對角相等”即可證明；（2）連接并延長，交于點，首先證明，由全等三角形的性質(zhì)可知，再結(jié)合垂徑定理即可求得的長；（3）①連接，設(shè)半徑為，由勾股定理可解得，，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知；當經(jīng)過點，即、重合時，此時，再證明，由相似三角形的性質(zhì)可解得，即當中有一個角與相等時，即當時，的長為3；②若點關(guān)于的對稱點落在的內(nèi)部（不包括的邊界），可分別計算出當落在邊上時和當落在邊上時的長，即可獲得答案．【詳解】（1）證明：如下圖，連接，∵是的直徑，，∴，∴，∴，∵，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴；（2）如下圖，連接并延長，交于點，若與相切，∵為半徑，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，又∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴；（3）①連接，如下圖，∵，，設(shè)半徑為，則，，∴在中，由勾股定理可得，即，解得，∴，∴，∴在中，由勾股定理可得；∵四邊形內(nèi)接于，∴；當經(jīng)過點，即、重合時，如下圖，此時，，∴，又∵，∴，∵，又∵，，∴，，∴，∴，即，∴，∴當中有一個角與相等時，即當時，的長為3；②若點關(guān)于的對稱點落在的內(nèi)部（不包括的邊界），則的取值范圍為，理由如下：當落在邊上時，如下圖，連接交于點，連接，∵點與點關(guān)于的對稱，∴，，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴經(jīng)過圓心，，∴在中，，∴，∴在中，；當落在邊上時，如下圖，連接交于點，連接交于點，∵點與點關(guān)于的對稱，由軸對稱的性質(zhì)可知，，，∴，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∴四邊形為菱形，∴，且，∵經(jīng)過點，∴在中，，∴，∴在中，，∵四邊形為菱形，∴，∵，∴．綜上所述，若點關(guān)于的對稱點落在的內(nèi)部（不包括的邊界），則的取值范圍為：．2．（2022·浙江寧波·校考一模）等腰三角形中，，且內(nèi)接于圓，、為邊上兩點（在、之間），分別延長、交圓于、兩點（如圖），記，．(1)求的大小（用，表示）；(2)連接，交于（如圖），若，且，求證：；(3)在（2）的條件下，取中點，連接、（如圖），若，①求證：，；②請直接寫出的值．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)①證明見解析；②或．【分析】（1）如圖中，連接，利用同弧或等弧所對的圓周角相等即可求出的大小；（2）利用同弧或等弧所對的圓周角相等，可證，得到，再根據(jù)，得到，進而得到，，即可證明結(jié)論；（3）①如圖中，連接，延長交于點，證明≌，推出，，再證明，得到中位線，即可證明結(jié)論；連接，，設(shè)，則，，設(shè)，利用勾股定理求出，之間的關(guān)系，即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖中，連接，，，，，，；（2）解：證明：如圖中，，，，，，，，，，，∴，，，；（3）解：①證明：如圖中，連接，延長交于點．，，，，，，是直徑，，，，，，在和中，，≌，，，，，，，，，，為的中位線，，，；解：連接，，又，為的中位線，，，，，，，，設(shè)，則，，設(shè)，，，，，，，，整理得，或，或．3．（2022·河北邯鄲·校考三模）如圖1，菱形ABCD的邊長為12cm，∠B＝60°，M，N分別在邊AB，CD．上，AM＝3cm，DN＝4cm，點P從點M出發(fā)，沿折線MB﹣BC以1cm/s的速度向點C勻速運動（不與點C重合）；△APC的外接圓⊙O與CD相交于點E，連接PE交AC于點F．設(shè)點P的運動時間為ts．(1)∠APE＝°；(2)若⊙O與AD相切，①判斷⊙O與CD的位置關(guān)系；②求的長；(3)如圖3，當點P在BC上運動時，求CF的最大值，并判斷此時PE與AC的位置關(guān)系；(4)若點N在⊙O的內(nèi)部，直接寫出t的取值范圍．【答案】(1)60°(2)①⊙O與CD相切；②(3)CF的最大值為3cm，此時AC⊥PE(4)當0<t<1時或17<t<21時，點N在圓內(nèi)部；【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)易證△ACD為等邊三角形，根據(jù)同弧所對的圓周角相等即可得到∠APE的度數(shù)；（2）①先找出⊙O與AD相切時的情況，根據(jù)切線長定理即可證明⊙O與CD相切；②根據(jù)切線長定理和菱形的性質(zhì)，可求得圓的半徑，根據(jù)弧長公式即可求解；（3）要使CF取得最大值，則AF應(yīng)該取最小值，當AC⊥PE時，AF最小，此時CF取得最大值，求出即可；（4）分兩種情況進行討論，當P在AB上時和當點P在BC上時．【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD為菱形，∠B＝60°，∴∠D=∠B＝60°，AD=CD，∴△ACD為等邊三角形，∴∠ACE=60°，∴∠APE=∠ACE=60°，故答案為：60°．（2）如圖，當點P運動到點B時，⊙O與AD相切，①∵四邊形ABCD為菱形，∴AD=CD，∵⊙O與AD相切，∴⊙O與CD相切；②連接OD，由（1）可知，∠ADC=60°，∵AD、CD分別與⊙O相切，∴∠ADO=∠ADC=30°，∴AO==，∴；（3）由圖可知：CF=AC-AF，∵AB=BC，∠B=60°，∴△ABC為等邊三角形，則AC=12cm，∠ACB=60°，∴要使CF取得最大值，則AF應(yīng)該取最小值，當AC⊥PE時，AF最小，此時CF取得最大值，∵點O為△APC外接圓圓心，∴OA=OC=OP==6cm，∵∠ACB=60°，∴CF==3cm，綜上：CF的最大值為3cm，此時AC⊥PE．（4）①當點P在AB上時，∵四邊形APCE為圓的內(nèi)接四邊形，∴∠APC+∠AEC=180°，∵∠AED++∠AEC=180°，∴∠APC=∠AED，在△APC和△DEA中，AC=AD，∠PAC=∠D，∠APC=∠AED，∴△APC≌△DEA，∴AP=DE，當點E與點N重合時，DE=DN=AP=4，∴MP=4-3=1cm，∴t=1s，當0<t<1時，點N在圓內(nèi)部；②當點P在BC上運動時，∵∠AEP=∠ACP=60°，∴△APE為等邊三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∵∠BAC=60°，∴∠BAP=∠CAE，在△BAP和△CAE中，AB=AC，∠BAP=∠CAE，AP=AE，∴△BAP≌△CAE，∴BP=CE，當點E與帶你N重合時，CE=CN=BP=12-4=8cm，此時t==9+8=17s，當點P到達點C時，t=21s，當17<t<21時，點N在圓內(nèi)部；綜上：當0<t<1時或17<t<21時，點N在圓內(nèi)部．4．（2022·上海楊浦·統(tǒng)考二模）已知在扇形中，點C、D是上的兩點，且．(1)如圖1，當時，求弦的長；(2)如圖2，聯(lián)結(jié)，交半徑于點E，當//時，求的值；(3)當四邊形是梯形時，試判斷線段能否成為內(nèi)接正多邊形的邊？如果能，請求出這個正多邊形的邊數(shù)；如果不能，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)線段能成為的內(nèi)接正多邊形的邊，邊數(shù)為18【分析】（1）取的中點，連接，根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)可得，然后由余角的性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)可得答案；（2）由平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得．然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得答案；（3）根據(jù)圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理分兩種情況進行解答：①；②．【詳解】（1）解：設(shè)，取的中點E，連接，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，又，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，在中，∵，∴，∴，∴，∴，在中，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴．解之得，∴；（3）解：當四邊形是梯形時，①，∴，∵，∴，∵，∴，在中，∵，∴，∴．當時，，不合題意，舍去．②，∴，∵，∴，在中，∵，∴，∴，∴．∴線段能成為的內(nèi)接正多邊形的邊，邊數(shù)為18．5．（2022·黑龍江哈爾濱·哈爾濱風華中學校考三模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦，垂足為H，P為弧AD上一點．(1)如圖1，連接AC、PC、PA，求證：；(2)如圖2，連接PB，PB交CD于E，過點P作⊙O的切線交CD的延長線與點F，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接AE，且，過點A作，垂足為G，若，，求BH的長．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)【分析】（1）連接AD，根據(jù)同弧或等弧所對圓周角相等即可證明；（2）連接OP，根據(jù)切線性質(zhì)以及余角的性質(zhì)即可證明，從而證得；（3