專題二十二：——二次函數中的等角問題（有答案）知識指引：二次函數中的等角度問題是一類較為常見的考題，所涉及的考點較為寬泛，是數形結合來轉化數量關系的一個良好體現，在平面直角坐標系中，結合函數的圖象特征，把數量關系轉化為圖形的性質，并利用性質來進行問題的解決，下面我們就來學習一下二次函數中的等角問題：輔助線方法指引：為了解決幾何問題，在原圖基礎之上另外添加的直線或線段稱為輔助線．輔助線通常畫成虛線．輔助線的原則：添加輔助線，構造新圖形，形成新關系，建立已知和未知之間的橋梁，把問題轉化成自己已經會解的情況．輔助線的作用：.把分散的條件轉為集中；.把復雜的圖形轉化為基本圖形．指出：添加輔助線的注意事項：明確目的，多次嘗試.>可添加的輔助線的特點.作已知直線的平行線來出現對等角；.構造全等或利用圖形的性質來進行角度的對等轉化；>典型例題類型一：作平行線來轉化等角的求取問題【例1】如圖，已知二次函數y=-x2+bx+c的圖象經過點A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點C.（1）求拋物線的解析式；并寫出拋物線的頂點D坐標.（2）拋物線上是否存在點P,使NPAB二ZABC,若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.【解析】(1)???二次函數y=-x2+bx+c的圖象經過點A(-1,0),B(3,0),—1—b+c=0,、-9+—1—b+c=0,、-9+3b+c=0,解得：fb=21c=3???拋物線解析式為y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,???頂點D坐標為(1,4).(2)拋物線上存在點P,使NPAB二NABC,如圖，當點P當點P是拋物線上與點C對稱的點時，則有NPAB二NABC,???點C(0,3)關于對稱軸x=1的對稱點坐標為(2,3),AP1(2,3),②當直線PA〃BC時，貝U有NPAB二NABC,設直線BC的解析式為y=kx+a,VB(3,0),CVB(3,0),C(0,3),'3k+a=0,、a=3,fk=-1解得、a=3,???直線BC的解析式為y=-x+3,???直線AP的解析式中一次項系數為-1,設與BC平行的直線AP2的解析式為y=-x+m,將A(-1,0)代入，得1+m=0,解得m=-1,二直線AP2的解析式為y=-x-1,

聯立拋物線解析式得y=-聯立拋物線解析式得y=-x-1,{y=-%2+2*+3,解得"1=4,X=-5，"2=-1，(舍5=0，去)，???P2(4，-5)?綜上所述，P1(2,3),P2(4,-5).【變式】在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(-1，0)和點B，與y軸交于點C，頂點D的坐標為(1，-4).(1)求拋物線的解析式；(2)若點P在拋物線上且滿足NPCB二NCBD,求點P的坐標;33k+e33k+e=0,“,{k+e=-4,解得{如圖，過點C作/D【解析】(1)二?頂點D的坐標為(1,-4),???設拋物線的解析式為y=a(x-1)2-4,將點A(-1,0)代入,(x-1)2-4=x2-2x-3；得0=a(-1-1)2-4,(x-1)2-4=x2-2x-3；(2)\?拋物線對稱軸為直線x=1,A(-1,0),AB(3,0),設直線BD解析式為丫=卜乂+6,,'k=2,???直線BD解析式為y=2x-6,、e=-6,CP1〃BD,交拋物線于點P1,

y=2x-3,設直線CP】的解析式為y=2x+d,將C(0,-3)代入,得-3=2X0+d,解得：d=-3,?,.直線CP］的解析式為y=2x-3,聯立y=X2—2x—3聯立<y=2x—3…=0,解得1…=0,解得1s=—3X2=4，故P(4,1yl=5，5),過點B作y軸平行線，過點C作x軸平行線交于點G,VOB=OC,ZBOC=ZOBG=ZOCG=9O°VOB=OC,ZBOC=ZOBG=ZOCG=9O°???四邊形OBGC是正方形,設CP］設CP］與x軸交于點E,則2x-3=0解得x=2,(3,0),2在x軸下方作NBCF=NBCE交BG于點F,在x軸下方作NBCF=NBCE交BG于點F,V?四邊形OBGC是正方形，.??OC=OG=BG=3,ZCOE=ZG=9O°,ZOCB=ZGCB=45???ZOCB-ZBCE=ZGCB-ZBCF,即NOCE二NGCF,AAOCE^AGCF(ASA),.??FG=OE=3,2ABF=BG-FG=3-3=3,AF(3,-3),22 2設直線CF解析式為y=kix+ei，VC(0,-3),F(3,-：),氣二—3,氣二—3,—1—一,2=-3,???直線CF解析式為y="，結合拋物線y=x2-2x-3,可得x2-2x-3=1結合拋物線y=x2-2x-3,可得x2-2x-3=1x-3,2解得：xi=0(舍)，x2=…(2,-7),綜上所述，符合條件的P點坐標為：P1(4,5)(2，-7).類型二：利用圖形特征進行全等構圖來處理等角問題【例2】如圖，拋物線y=x2+2x-3交坐標軸于A、B、C三點.(1)求A、B、C的坐標;(2)點D在拋物線上，且滿足NDAO二NBCO,試求D點坐標;【解析】（1）由y=x2+2x-3,令y=x2+2x-3=0,解得x=-3或1,令x=0,則y=-3,故點A、B、C的坐標分別為（—3,0）、（1,0）、（0,-3）,故答案為：（-3，0）、（1，0）、（0，-3）；（2）如圖，當點D在x軸上方時，設直線AB交y軸于點H,VOA=OC=3,ZDAO=ZBCO,ZCOB=ZAOH=90°,??.△COB04AOH(AAS),AOH=OB=1,由點A由點A、H的坐標得,直線AH的表達式為y=1x+1,3關、y=—x關、y=—x+1,y=x2+2x—3,解得?（y3=1393x=-3,人,或） （舍去），y=0,故點D的坐標為（3,故點D的坐標為（3,13)；9當點D在x軸下方時，同理可得點D(2,-11)；故點D的坐標為（4,313)或(3-11)【變式】如圖，拋物線丫=&乂2+。與x軸交于點A,B,與y軸交于點C,P為x軸下方拋物線上一點，若OC=2OA=4.

(1)求拋物線解析式；(2)若NABP=NACO,求點P的坐標;【解析】(1)：CO=4,故c=-4,則拋物線的解析式為y=ax2-4,???OC=2OA=4,故點A(-2,0),則0=4a-4,解得a=1.故拋物線的解析式為y=X2-4；(2)過點A作x軸的垂線交BP的延長線于點Q,AB=OC,在48慶、和4COA中，LqAB=zBOC,AABAQ^ACOA(AAS).ZABP=/ACO,VA,B關于x軸對稱，A(-2,0),，B(2,0).設直線BQ的解析式為y=kx+bVA,B關于x軸對稱，A(-2,0),，B(2,0).設直線BQ的解析式為y=kx+b1,將點B,Q的坐標代入,汨［k+b,=0,解得Jk=i,得{-2k+bi=-2,{bi=2-1.???直線BQ解析式為y=2x-L聯立卜二tx"1聯立卜二tx"1,y=x2-4解得］xi=2,口1=°.(x丫2A跟蹤訓練:1.如圖，已知拋物線y=2x2-4x-2與x軸正半軸交于點A,與y軸負半軸交于點3 3B,在拋物線上（AB的下方）是否存在點P,使NABO二NABP?若存在，求出點P的橫坐標；若不存在.請說明理由.【解析】如圖，過點P作PH，x軸于點H,交AB【解析】如圖，過點P作PH，x軸于點H,交AB于點Q,???PH〃y軸，貝UNBQP二ZABO二ZABP,二PB=PQ,設點P的坐標為(m,2m2-4m—2),則點Q(m,2m-2),貝om2+(2m2-4m-2+2)2=(2m2--m-2--m+2)2,解得m=0（舍去）或11,故點P的橫坐標為耳882.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,對稱軸為直線x=2,點A的坐標為（1,0）.（1）求該拋物線的表達式及頂點坐標;（2）點P為拋物線上一點（不與點A重合），連接PC.當ZPCB二ZACB時，求點P的坐標;【解析】(1)???對稱軸為直線x=2,點A的坐標為(1,0),???B(3,0),；.y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3,當x=2時，y=-1，；.頂點(2,-1),(2)如圖，作AD^BC于D,交CP于E,VB(3,0),C(0,3),AOB=OC,AZOBC=45°,ABD=V2,AD(2,1),VZPCB=ZACB,AAD=DE,AE(3,2),A直線CE的關系式為：y=-3x+3,A-：x+3=x2-4x+3,Ax1=0(舍)，x2=?，AP(寸，16),3.如圖，直線丫=-2x+c與x軸交于點…,0),與y軸交于點C,拋物線y=-產+bx+c經過點B,C,與x軸的另一個交點為A.(1)求拋物線的解析式；(2)若M是拋物線上一點，且NMCB=NABC,請直接寫出點M的坐標.

綜上所述：點M(17,50)或(3,-2).4.若一次函數y=-3x-3的圖象與x軸，y軸分別交于A,C兩點，點B的坐標為（3,0），二次函數y=ax2+bx+c的圖象過A，B，Cm點，如圖（1）.（1）求二次函數的表達式；（2）如圖（1）,過點C作CD〃x軸交拋物線于點D,點E在拋物線上（y軸左側），若BC恰好平分NDBE.求直線BE的表達式；【解析】（1）一次函數y=-3x-3的圖象與x軸，y軸分別交于A,C兩點，則點A、C的坐標分別為（-1,0）、（0,-3）,(a—b(a—b+c=0,9a+3b+c,

c=-3,a=1,解得｛b=—2,c=-3,故拋物線的表達式為：y=x2-2x-3；（2）設直線BE交y軸于點M,從拋物線表達式知，拋物線的對稱軸為x=1,,「CD〃x軸交拋物線于點D,故點D（2,-3）,由點B、C的坐標知，直線BC與AB的夾角為45°,即NMCB=NDCB=45°,?「BC恰好平分NDBE,AZMBC=ZDBC,又TBC=BC,A△BCD^^BCM(ASA),...CM二CD=2,故OM=3-2=1,故點M(0,-1),設直線BE的表達式為：y=設直線BE的表達式為：y=kx+b,(3k+b=0,b=-1,解得k=-3,b=—1,故直線BE的表達式為：y=#1;.如圖，已知拋物線y=1x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左2側)，與y軸交于點C,且OB=2OA=4.(1)求該拋物線的函數表達式；(2)設P是(1)中拋物線上的一個動點，當直線OC平分NACP時，求點P的坐標；【解析】(1)VOB=2OA=4,.A(-2,0),B(4,0),把A(-20),B(4,0)分別代入y=-x【解析】(1)VOB=2OA=4,.A(-2,0),B(4,0),把A(-20),B(4,0)分別代入y=-x2+bx+c得:22—2b+c=0聯立方程組｛8+4b+c=。可得b=—1,

c=-4,???拋物線的函數表達式為y=-x2-x-4；2(2)如圖，設CP與x軸相交于點D,依題意得1―1%2-%-4,、依題意得1―1%2-%-4,、y=2x-4,解得,%1=0,盟=-4,或?AP(6,8)；.如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于A(-3,0),B兩點，與y軸相交于點C(0,2)，對稱軸是直線x=-1，連接AC.(1)求該拋物線的表達式;(2)若過點B的直線l與拋物線相交于另一點D,當NABD二NBAC時，求直線l的表達式;04)04)【解析】(1)二?拋物線的對稱軸為x=-1,???-2^=-1,??.b=2a,??點C的坐標為(0,2),??.c=2,??拋物線的解析式為y=ax2+2ax+2,??點A(-3,0)在拋物線上，???9a-6a+2=0,Aa=-2,3

1.b=2a=-4,二拋物線的解析式為y=-3x2-4x+2(2)當點D在x軸上方時，如圖1,記BD與AC的交點為點E，???NABD=NBAC,AAE=BE,??直線x=-1垂直平分AB,??.點E在直線x=-1上，?,點A(-3,0),C(0,2),A直線AC的解析式為y=2x+2,當x=-1時，y=4,.,.點E(-1,4),??點A(-3,0)點B關于x=-1對稱，AB(1,0),A直線BD的解