第七講MATLAB的符號計算

所謂符號計算是指在運算時，無須事先對

變量賦便，而將所得到結果以標準的符號形

式來表不。

MathWorks公司以Maple的內核作為符號

計算引擎（Engine），依賴Maple已有的函

數庫，開發了實現符號計算的兩個工具箱:

基本符號工具箱和擴展符號工具箱。

、符號奸案基砒

、符號計算基礎

（一）定義符號變量

參與符號運算的對象可以是符號變量、

符號表達式或符號矩陣。符號變量要先定

義，后引用。可以用sym函數、syms函數

將運算量定義為符號型數據。引用符號運

算函數時，用戶可以指定函數執行過程中

的變量參數；若用戶沒有指定變量參數，

則使用Endsym函數默認的變量作為函數的

變量參數。

、符號計算基礎

（一）定義符號變量

1、sym函數

sym函數的主要功能是創建符號變量，以便進行符號

運算，也可以用于創建符號表達式或符號矩陣。用sym函

數創建符號變量的一般格式為：

x=sym('x')

其目的是將'X，創建為符號變量，以X作為輸出變量名。

每次調用該函數，可以定義一個符號變量。

、符號計算基礎

（一）定義符號變量

【例1】作符號計算：

ax-by=l

{ax+by=5

a,b,x,y均為符號運算量。在符號運算前,

應先將a,b,x,y定義為符號運算量

一、符號計算基礎

(一)定義符號變量

a=sym(6a,);%定義，，為符號運算量，輸出變量名為a

y=2/bb=sym(6b,);

x=sym('x');

尸ym(y);

[x,y]=solve(a*x-b*y-l,a*x+b*y-5,x,y)

%以2力為符號常數，x,y為符號變量

即可得到方程組的解：

x=3/a

y=2/b

、符號計算基礎

(一)定義符號變量

【例2】已知一復數表達式z=x+i*y,試

求其共輒復數,并求該表達式與其共甄復數

乘積的多項式。

為了使乘積表達式屐2+y-2非負，這

里，把變量x和y定義為實數。

x=sym(4x\^reaT);

y=sym('y'，'real');

、符號計算基礎

(一)定義符號變量

Z=x+i*y;%定義復數表達式

conj(z);%求共甄復數1

expand(z*conj(z))%求表達式與其共輾復數乘積的多項式

ans=

xA2+yA2

若要去掉'X，的屬性，可以使用下面語句

x=sym('x\'unreal')

將'X，創建為純格式的符號變量。

、符號計算基礎

（一）定義符號變量

2、syms函數

syms函數的功能與sym函數類似。syms

函數可以在一個語句中同時定義多個符號

變量，其一般格式為：

symsarglarg2...argN

用于將rgl,arg2,...,argN等符號創建為符

號型數據。

、符號計算基礎

（二）默認符號變量

在數學表達式中，一般習慣于使用排在

字母表中前面的字母作為變量的系數，而

用排在后面的字母表示變量。例如：

f=ax2+bx+c

表達式中的a,b,c通常被認為是常數，用

作變量的系數；而將x看作自變量。

一、符號計算基礎

(二)默認符號變量

例如，數學表達式

f=xn

g=sin(at+b)

根據數學式中表示自變量的習慣，默認a,b,c為符號常

數，x為符號變量。

若在MATLAB中表示上述表達式，首先用syms函數

定義a,b,n,t,x為符號對象。在進行導數運算時，由

于沒有指定符號變量，則系統采用數學習慣來確定表達

式中的自變量，默認a,b,c為符號常數，x,t為符號變量。

即：對函數俅導為：df/dx

對函數g求導為：dg/dt

一、符號計算基礎

(二)默認符號變量

為了了解函數引用過程中使用的符號變量個數及變量

名，可以用flndsym函數查詢默認的變量。該函數的引用

格式為：

flndsym(f,n)

說明：f為用戶定義的符號函數，

n為正整數，表示查詢變量的個數。

n=i,表示查詢i個系統默認變量。n值省略時表示查詢

符號函數中全部系統默認變量。

、符號計算基礎

(二)默認符號變量

［例3］查詢符號函數

f=xn

g=sin(at+b)

中的系統默認變量。

symsabntx%定義符號變量

f=xAn;%給定符號函數

g=sin(a*t+b);

findsym(f,l)%在￡函數中查詢1個系統默認變量

ans=x

表示f函數中查詢的1個系統默認變量為X。

-、符號計算基礎

(三)符號表達式

符號表達式由符號變量、函數、算術運算符等組成。

符號表達式的書寫格式與數值表達式相同。例如,數學表

達式

其符號裂決式晝產1+sqr(5*x))/2

注意，在定盤達式前應先將表達式中的字符x定義為

符號變量。

、符號計算基礎

（四）生成符號函數

將表達式中的自變量定義為符號變量后,

賦值給符號函數名，即可生成符號函數。

例如有一數學表達式：

ax2+,zby2

=-------1-----

、符號計算基礎

(四)生成符號函數

其用符號表達式生成符號函數fky的過程

為：

symsabcxy%定義符號運算量

fxy=(a*xA2+b*yA2)/cA2%生成符號函數

生成符號函數fxy后，即可用于微積分等

符號計算。

-、符號計算基礎

(四)生成符號函數

【例4】定義一個符號函數fxy=(a*x2+b*y2)/c2,分別求該

函數對x、y的導數和對x的積分。

symsabcxy%定義符號變量

fxy=(a*xA2+b*yA2)/cA2；%生成符號函數

diff(fxy,x)%符號函數fxy對x求導數

ans=2*a*x/cA2

diff(fxy,y)%符號函數fky對y求導數?

ans=2*b*y/cA2%符號函數fky對x求積分

int(fxy,x)

ans=l/cA2*(l/3*a*xA3+b*yA2*x)

二、微積分

（一）微積分函數

1.求極限

函數limit用于求符號函數f的極限。系統

可以根據用戶要求，計算變量從不同方向

趨近于指定值的極限值。該函數的格式及

功能：

、微積分

limit(f9x9a)：求符號函數f(X)的極限值。即計算當變量x趨近

于常數a時，f(x)函數的極限值。

limit(f9a)：求符號函數f(X)的極限值。由于沒有指定符號函

數f(X)的自變量，則使用該格式時，符號函數f(X)的變量為函數

findsym⑴確定的默認自變量，既變量x趨近于a。

limit(f)：求符號函數f(X)的極限值。符號函數f(X)的變量為

函數findsym⑴確定的默認變量；沒有指定變量的目標值時，系統默認變量

趨近于0,即a=0的情況。

!

limit(f9x9a/right)：求符號函數柏勺極限值。Tight，表示變量x

從右邊趨近于a。

f

limit(f9x9a/left)：求符號函數柏勺極限值。心田表示變量X從

左邊趨近于a。

二、微積分

【例5】求極限

x(esmx+l)-2(ezgx-l)

lim

x—>0si?n3x

symsx；%定義符號變量

f=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/sin(x)~3；%確定符號表達式

w二limit(f)%求函數的極限

w=-1/2

二、微積分

2.微分函數

diff函數用于對符號表達式S求微分。該函數的一般引

用格式為：

diff(s/v\n)

說明：

.應用diff(S)沒有指定微分變量和微分階數，則系統

按flndsym函數指示的默認變量對符號表達式S求一階微分。

應用diff(s,'v')或diff(s,sym(，'))格式,

表示以v為自變量，對符號表達式s求一階微分。

應用diff(s,n)格式，表示對符號表達式s求n階微

分，n為正整數。

應用diff(s,'v',n)diff(s,n,▽)格式，表

示以v為自變量，對符號表達式s求n階微分。

、微積分

【例6】求導數:

dsinx2

dx

x=sym('x');%定義符號變量

t=sym('t');

diff(sin(xA2))%求導運算

ans=

2*cos(xA2)*x

二、微積分

3.積分函數

積分函數int(s,v,a,b)可以對被積函

數或符號表達式s求積分。其引用格式為：

int(s,v,a,b)

說明：

應用int(s)格式，表示沒有指定積分變量和積分階數時，系統按

flndsym函數指示的默認變量對被積函數或符號表達式s求一階積分。

應用int(s,v)格式，表示以v為自變量，對被積函數或符號表達式

s求一階不定積分。

應用積分函數時，如果給定a、b兩項，表示是進行定積分運算。a、

b分別表示定積分的下限和上限。不指定積分的下限和上限表示求不

定積分。

、微積分

【例7】求下述積分。

求積分：

--------———djc

1+\2

symsx

int(l/(l+xA2))

ans二

atan(x)

、微積分

4.級數(級數求和)

級數求和運算是數學中常見的一種運算。

例如：

23n

f(x)=a0+a1x+a2x+a3x+...+anx

函數symsum可以用于此類對符號函數f的求和

運算。該函數的引用時，應確定級數的通項式s,

變量的變化范圍a和b。該函數的引用格式為：

symsum(s9a9b)

二、微積分

【例8】求級數的和：鍵入：

1/12+1/22+1/32+1/42+.......

symsk

symsum(1/kA2J,Inf)%1＜值為1到無窮大

ans=

l/6*piA2

其結果為：1/12+1/22+1/32+1/42+.......=TT2/6

三、荀化方程表達式

三、簡化方程表達式

1.因式分解

factor函數的功能為：把多項式S分解為多個因式，各

多項式的系數均為有理數。格式為：

factor(s)

【例9】將表達式(x八9-1)分解為多個因式。,

symsx

foctor(xA9-l)

ans=

(x-l)*(x^2+x+l)*(x八6+x八3+1)

三、簡化方程表達式

2.嵌套

將符號多項式S用嵌套形式表示，即用多層括號的形式

表示。Horner函數可以實現此功能。該函數的格式為：

homer(s)

【例10】將表達式*/\3-6*乂”+11*乂-6用嵌套形式表

7J\o

symsx

homer(xA3-6*xA2+ll*x-6)

ans=

-6+(ll+(-6+x)*x)*x

四、解方程

四、解方程