變量的相關性相關關系散點圖線性相關關系正相關負相關

復習引入蘇教版同步教材名師課件線性回歸直線方程學習目標學習目標核心素養了解一元線性回歸模型的含義數據分析了解最小二乘原理數學運算掌握相關系數的含義數學建模學習目標學習目標:1.了解最小二乘法的思想,會求回歸直線方程,掌握回歸方程的性質

學科核心素養:1.通過回歸直線方程及相關關系的學習,體會數學建模與直觀想象的素養

2.借助回歸直線方程的求法,培養數學運算的素養

散點圖在一次對人體脂肪含量和年齡關系的研究中,研究人員獲得了一組樣本數據:其中各年齡對應的脂肪數據是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數.年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6探究新知探究新知借助坐標系,作出這些數據的散點圖：年齡脂肪020253035404550556065510152025303540●怎樣選擇恰當的直線反映兩個變量之間的線性相關關系？從圖可以看出,這些點在一條直線附近,但并不都在這條直線上,也就是說,上述直線并不能精確地反映x與y之間的關系,y的值不能由x確定,在此,我們將兩者之間的關系表示為y=a+bx+ε,其中a+bx是確定性函數,ε稱為隨機誤差.問題1：隨機誤差產生的主要原因有哪些？(1)所用的確定性函數不恰當引起的誤差;(2)忽略了某些因素的影響;(3)存在觀測誤差等.探究新知1.回歸直線的定義如果散點圖中的樣本點從整體上看,大致在一條直線附近,我們就稱這兩個變量之間具有線性相關關系,這條直線叫做回歸直線.2.線性回歸模型的定義我們將y=a+bx+ε稱為線性回歸模型,其中其中a+bx是確定性函數,ε稱為隨機誤差.探究新知問題2:對于y=a+bx+ε這樣的線性回歸模型,我們需要考慮哪些方面的問題？(1)模型是否合理？可用線性相關性檢驗的方法處理,本書對相關性檢驗的方法不作要求,只要根據相關系數作出判斷.探究新知(2)在模型合理的條件下,如何估計a,b？由于|ε1|+|ε2|+···+|εn|是絕對值之和的形式,這對于進一步的運算與推導帶來很多不便,而ε1+ε2+···+εn很小并不表示|ε1|+|ε2|+···+|εn|很小,因此通常用“ε12+ε22+···+εn2越小越好”來代替“|ε1|+|ε2|+···+|εn|越小越好”.

探究新知問題2:對于y=a+bx+ε這樣的線性回歸模型,我們需要考慮哪些方面的問題？

探究新知(2)在模型合理的條件下,如何估計a,b？問題2:對于y=a+bx+ε這樣的線性回歸模型,我們需要考慮哪些方面的問題？3.線性回歸方程的定義

探究新知4.最小二乘法的定義使樣本數據各點到回歸直線的距離的平方和最小來得到回歸直線的方法叫做最小二乘法.探究新知問題3：怎樣求解回歸直線的方程即線性回歸方程？有哪些方法？方案1：在散點圖中選兩點作直線,使直線兩側的點的個數基本相同;

方案2：如果多取幾對點,確定多條直線,再求出這些直線的斜率和截距的平均值作為回歸直線的斜率和截距,從而得到回歸方程;

方案3：先畫出一條直線,測量出各點與它的距離,再移動直線,到達一個使距離的和最小時,測出它的斜率和截距,從而得到回歸方程.方案4：(最小二乘法)回歸直線的方程是一次函數,即設為y=bx+a的形式,關鍵是求出斜率b和截距a.

探究新知探究新知

例1.下表提供了某廠節能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸標準煤)的幾組對照數據.x3456y2.5344.5

典例講解(1)散點圖如圖所示:典例講解

解析

典例講解

解析例2.有一個同學家開了一個小賣部,他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響,經過統計,得到一個賣出的熱飲杯數與當天氣溫的對比表:1.畫出散點圖?2.從散點圖中發現氣溫與熱飲銷售杯數之間關系的一般規律?3.求回歸方程?4.如果某天的氣溫是2攝氏度,預測這天賣出的熱飲杯數.典例講解1.散點圖2.從圖3?1看到,各點散布在從左上角到由下角的區域里,因此,氣溫與熱飲銷售杯數之間成負相關,即氣溫越高,賣出去的熱飲杯數越少.

典例講解

求線性回歸方程的步驟方法歸納244666778100.91.41.62.02.11.91.82.12.22.31.提倡節約,反對浪費.某年元旦前夕,某市統計局統計了該市10戶家庭的年收入和年飲食支出的統計資料如下表:

變式訓練(1)散點圖如圖:由散點圖可知,年收入越高,年飲食支出越高,圖中點的趨勢表明兩個變量間確實存在著線性相關關系.

變式訓練解析

變式訓練解析典例講解

解析AA方法歸納1.散點圖(越接近直線,相關性越強);2.相關系數(絕對值越大,相關性越強).線性相關強弱的判斷方法:2.如圖是具有相關關系的兩個變量的一組數據的散點圖和回歸直線,若去掉一個點使得余下的5個點所對應的數據的相關系數最大,則應當去掉的點是(

)A.DB.EC.F

D.A變式訓練因為相關系數的絕對值越大,越接近1,則說明兩個變量的相關性越強.因為點E到直線的距離最遠,所以去掉點E,余下的5個點所對應的數據的相關系數最大.解析B典例講解234562.23.85.56.57.0

典例講解

解析

246830405070

變式訓練變式訓練

解析

變式訓練

解析典例講解123456781126144.53530.5282524例5.某企業新研發了一種產品,產品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件產品的非原料成本y(元)與生產該產品的數量x(千件)有關,經統計得到如下數據:根據以上數據,繪制了散點圖.典例講解

183.40.340.1151.5336022385.561.40.135

典例講解(3)該企業采取訂單生產模式(根據訂單數量進行生產,即產品全部售出).根據市場調研數據,若該產品單價定為100元,則簽訂9千件訂單的概率為0.8,簽訂10千件訂單的概率為0.2;若單價定為90元,則簽訂10千件訂單的概率為0.3,簽訂11千件訂單的概率為0.7.已知每件產品的原料成本為10元,根據(2)的結果,企業要想獲得更高利潤,產品單價應選擇100元還是90元,請說明理由.

典例講解

解析典例講解

解析非線性回歸問題有時并不給出經驗公式,這時我們可以畫出已知數據的散點圖,把它與學過的各種函數(冪函數、指數函數、對數函數等)圖像作比較,挑選一種跟這些散點擬合得最好的函數,然后采用適當的變量變換,把問題化為線性回歸分析問題,使之得到解決.其一般步驟為:方法歸納變式訓練

234567201286.44.433.002.482.081.861.481.10

變式訓練(3)基于成本的考慮,該型號二手車的售價不得低于7118元,請根據(2)求出的回歸方程預測在收購該型號二手車時車輛的使用年數不得超過多少年？參考數據:

變式訓練

解析變式訓練

解析1.判斷變量的相關性通常有兩種方式:一是散點圖,二是相關系數r,前者只能粗略的說明變量間具有相關性,而后者從定量的角度分析變量相關性的強弱.素養提煉

對回歸直線與回歸方程的理解(1)回歸方程被樣本數據唯一確定,各樣本點大致分布在回歸直線附近,既有可能存在某些樣本點在回歸直線上,也有可能所有樣本點都不在回歸直線上.對同一個總體,不同的樣本數據對應不同的回歸直線,所以回歸直線也具有隨機性,千萬不要誤解為回歸直線一定是唯一的?但若只要樣本數據確定了,回歸直線方程也就唯一確定了.