榆林市2023—2024年度高三第一次模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（文科）考生注意：1.本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.2.請(qǐng)將各題答案填寫(xiě)在答題卡上.第I卷一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.設(shè)集合，則（）A B. C. D.3.3.已知向量，，則（）A. B. C.2 D.-24.等比數(shù)列中，，則（）A. B. C.16 D.85.某圓錐的側(cè)面積為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（）A.2 B.4 C. D.6.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線，若關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值是（）A. B. C. D.7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的（）A.18 B.22 C.25 D.8.已知，則（）A. B.C. D.9.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則取值范圍是（）A. B. C. D.10.下圖是由兩個(gè)邊長(zhǎng)不相等的正方形構(gòu)成的，在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自的概率分別記為，則（）A. B.C D.11.如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)，其中點(diǎn)在該拋物線上，點(diǎn)在軸上，若，則（）A. B. C. D.312.已知是球的直徑上一點(diǎn)，，平面，為垂足，截球所得截面的面積為，為上的一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作球的截面，則所得的截面面積最小的圓的半徑為（）A B. C. D.第II卷二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.已知直線是雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為_(kāi)_________.14.若滿(mǎn)足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為_(kāi)_.15.已知為奇函數(shù)，則__________.16.某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)了商品近30天的日銷(xiāo)售量，日銷(xiāo)售量依次構(gòu)成數(shù)列，已知，且，則商品近30天的總銷(xiāo)量為_(kāi)_________.三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.在三棱錐中，為的中點(diǎn).（1）證明：⊥平面.（2）若，平面平面，求點(diǎn)到平面的距離.18.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的周長(zhǎng)為.（1）求的值；（2）求的最大值.19.某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將100個(gè)樣本數(shù)據(jù)按分成6組，并整理得到如下頻率分布直方圖.（1）請(qǐng)通過(guò)頻率分布直方圖估計(jì)這100份樣本數(shù)據(jù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.（2）該市決定表彰知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)排名前的市民，某市民知識(shí)競(jìng)賽的成績(jī)是，請(qǐng)估計(jì)該市民能否得到表彰20.設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求；（2）證明：.21.已知橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn).（1）求的方程；（2）斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)A不在上，，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，記的面積為，的面積為，求.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，曲線和的參數(shù)方程分別為（為參數(shù)），（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線和的極坐標(biāo)方程；（2）已知直線，且與曲線相交于、兩點(diǎn)，與曲線相交于、兩點(diǎn)，則當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值.[選修4-5：不等式選講]23.已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.榆林市2023—2024年度高三第一次模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（文科）考生注意：1.本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.2.請(qǐng)將各題答案填寫(xiě)在答題卡上.第I卷一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方及復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】，所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)在第三象限.故選：C.2.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】解不等式求出，根據(jù)交集概念求出答案.【詳解】依題意得，則.故選：D3.3.已知向量，，則（）A. B. C.2 D.-2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行關(guān)系得到方程，求出.【詳解】由題意可知，則.故選：B4.在等比數(shù)列中，，則（）A B. C.16 D.8【答案】A【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，即，由，可得，即，所以.故選：A5.某圓錐的側(cè)面積為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（）A.2 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，由題意得到求解.【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，即側(cè)面展開(kāi)圖的半徑為，側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)為.又圓錐的底面周長(zhǎng)為，所以，即圓錐的母線長(zhǎng).所以圓錐的側(cè)面積為，解得.故選：D6.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線，若關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得曲線為，又關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以，根據(jù)即可得解.【詳解】曲線為，又關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以，解得，又，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：B7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的（）A.18 B.22 C.25 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)程序框圖的功能，一一循環(huán)驗(yàn)證即可.【詳解】解：執(zhí)行該程序框圖，成立，成立，成立，，不滿(mǎn)足，輸出的.故選：C8.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小可得答案.【詳解】因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕?故選：D.9.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意得在上恒成立，分離參數(shù)即可得解.【詳解】在上恒成立，即，所以，則的取值范圍是.故選：B.10.下圖是由兩個(gè)邊長(zhǎng)不相等的正方形構(gòu)成的，在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自的概率分別記為，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用幾何概型公式求得的值，進(jìn)而得到三者之間的關(guān)系.【詳解】設(shè)，從而，因?yàn)椋裕鶕?jù)面積型幾何概型的概率公式，可以得到，，則故選：A.11.如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)，其中點(diǎn)在該拋物線上，點(diǎn)在軸上，若，則（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線定義可求出，根據(jù)三角形相似即可求出.【詳解】設(shè),，由，根據(jù)拋物線定義可得，故，，過(guò)，分別作軸的垂線，過(guò)作軸的垂線，垂足為，明顯，所以.故選：D12.已知是球的直徑上一點(diǎn)，，平面，為垂足，截球所得截面的面積為，為上的一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作球的截面，則所得的截面面積最小的圓的半徑為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)截得的截面圓的半徑為，球的半徑為，由平面幾何知識(shí)得截面與球心的距離為，利用勾股定理求得的值，由題意可知球心到所求截面的距離最大時(shí)截面面積最小，利用面積公式，即可得答案.【詳解】如圖，設(shè)截得的截面圓的半徑為，球的半徑為，因?yàn)椋?由勾股定理，得，由題意得，所以，解得，此時(shí)過(guò)點(diǎn)作球的截面，若要所得的截面面積最小，只需所求截面圓的半徑最小.設(shè)球心到所求截面的距離為，所求截面的半徑為，則，所以只需球心到所求截面的距離最大即可，而當(dāng)且僅當(dāng)與所求截面垂直時(shí)，球心到所求截面的距離最大，即，所以故選：C第II卷二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.已知直線是雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得，由即可得解.【詳解】由題意可知，所以.故答案為：.14.若滿(mǎn)足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為_(kāi)_.【答案】【解析】【分析】作出約束條件的可行域，利用幾何意義即可求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】畫(huà)出約束條件的可行域，由，可得，由，可得，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)時(shí)，，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)時(shí)，，故目標(biāo)函數(shù)的最大值為.故答案為：15.已知為奇函數(shù)，則__________.【答案】-6【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，得到，從而得到，求出答案.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，所以，故，即.故答案為：-616.某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)了商品近30天的日銷(xiāo)售量，日銷(xiāo)售量依次構(gòu)成數(shù)列，已知，且，則商品近30天的總銷(xiāo)量為_(kāi)_________.【答案】1020【解析】【分析】根據(jù)題目所給遞推關(guān)系找到數(shù)列的規(guī)律，進(jìn)而求和.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，中奇數(shù)項(xiàng)是公差為2，首項(xiàng)為20的等差數(shù)列，.商品近30天的總銷(xiāo)量為.故答案為：.三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.在三棱錐中，為的中點(diǎn).（1）證明：⊥平面.（2）若，平面平面，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由三線合一得到線線垂直，進(jìn)而得到線面垂直；（2）由面面垂直得到線面垂直，求出，利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫浴推矫?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫妫矫妫云矫妫驗(yàn)椋跃鶠榈冗吶切危剩剩裕驗(yàn)槠矫妫矫妫裕晒垂啥ɡ淼茫〉闹悬c(diǎn)，連接，在中，，故⊥，故，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以，解得.18.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的周長(zhǎng)為.（1）求的值；（2）求的最大值.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）由題意結(jié)合數(shù)量積定義、余弦定理即可求解.（2）由題意結(jié)合余弦定理以及基本不等式相關(guān)推論即可求解.【小問(wèn)1詳解】，即因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為6，所以，解得.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故當(dāng)時(shí)，取得最大值.19.某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將100個(gè)樣本數(shù)據(jù)按分成6組，并整理得到如下頻率分布直方圖.（1）請(qǐng)通過(guò)頻率分布直方圖估計(jì)這100份樣本數(shù)據(jù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.（2）該市決定表彰知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)排名前的市民，某市民知識(shí)競(jìng)賽的成績(jī)是，請(qǐng)估計(jì)該市民能否得到表彰【答案】（1）68.3（2）估計(jì)該市民能得到表彰【解析】【分析】（1）用每組中點(diǎn)值為代表，估算平均值；（2）估算排名在的成績(jī)，和比較，得到結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】100份樣本數(shù)據(jù)的平均值為：【小問(wèn)2詳解】成績(jī)低于70分的頻率為0.45，成績(jī)低于80分的頻率為0.77，則被表彰的最低成績(jī)?yōu)椋怨烙?jì)該市民能得到表彰.20.設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求；（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)切線方程，求得切點(diǎn)與切線斜率，建立方程，可得答案；（2）由（1）寫(xiě)出函數(shù)解析式，化簡(jiǎn)整理不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，可得答案.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?將代入，解得，即，由切線方程，則切線斜率.故，解得.【小問(wèn)2詳解】證明：由（1）知，從而等價(jià)于.設(shè)函數(shù)，則.所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而在上的最小值為.設(shè)函數(shù)，從而在上的最大值為.故，即.21.已知橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn).（1）求的方程；（2）斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)A不在上，，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，記的面積為，的面積為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）待定系數(shù)法求出，得到橢圓方程；（2）先得到直線軸時(shí)，為鈍角三角形，不合題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，由得到，得到直線恒過(guò)點(diǎn)，求出，從而得到.【小問(wèn)1詳解】將代入橢圓方程中，，解得則橢圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線軸時(shí)，為鈍角三角形，且，不滿(mǎn)足題意.設(shè)，由，可得，所以，所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)A不在上，所以，由化簡(jiǎn)得，.，所以，則，整理得，因?yàn)椋裕灾本€的方程為，恒過(guò)點(diǎn).由題意和對(duì)稱(chēng)性可知，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，【點(diǎn)睛】處理定點(diǎn)問(wèn)題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為），（2）利用條件找到與過(guò)定點(diǎn)的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式，（3）所謂定點(diǎn)，是指存在一個(gè)特殊的點(diǎn)，使得無(wú)論的值如何變化，等式恒成立，此時(shí)要將關(guān)于與的等式進(jìn)行變形，直至找到，①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號(hào)中式子等于0，求出定點(diǎn)；②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關(guān)系，可消去變?yōu)槌?shù).（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，曲線和的參數(shù)方程分別為