學年復旦大學附中高三數學上學期期中考試卷2024.11.12時間:120分鐘滿分:150分一、填空題（本大題共有12小題，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果.1.函數的定義域為_____________．2.二項式的展開式中常數項的值為________．3.已知為虛數單位，復數滿足，則復數虛部為______．4.已知圓錐的側面展開圖是一個圓心角為120°且面積為3π的扇形，則該圓錐的體積等于_______.5.已知樣本，，的平均數為2，方差為1，則，，的平均數為_____________．6.設斜率為3的直線是曲線的切線，則直線的方程為___________.7.若橢圓的焦距是2，則其離心率為___________.8.若直線經過點，則直線l在x軸和y軸上的截距之和取最小值時，_________.9.在平面四邊形中，、分別是、中點.若，，且，則__________________10.函數是定義在上的偶函數，其圖像如下圖所示，滿足，設是的導函數，則關于的不等式的解集是__________.11.如圖，B地在A地的正東方向，相距4km；C地在B地的北偏東30°方向，相距2km，河流沿岸PQ（曲線）上任意一點到A的距離比它到B的距離遠2km，現要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向B、C兩地轉運貨物.經測算，從M到B地修建公路費用是25萬元/km，從M到C地修建公路的費用為50萬元/km.選擇合適的點M，可使修建的兩條公路總費用最低，則總費用最低是______萬元.12.一個項數為的正整數數列滿足，且，若為不大于10的偶數，則符合條件的數列共有_________個.二、選擇題（本大題共有4小題，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分，滿分18分）每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相應位置，將正確選項用2B鉛筆涂黑.13.拋擲一枚質地均勻的骰子一次，記事件A：“出現偶數點”，事件B：“出現3點或4點”，則事件A與事件B的關系為（）A.是相互獨立事件，不是互斥事件 B.是互斥事件，不是相互獨立事件C.既是相互獨立事件又是互斥事件 D.既不是互斥事件也不是相互獨立事件14.如圖，將正方形沿對角線折成直二面角，則對于翻折后的幾何圖形，下列結論不正確的是（）A.B.與平面所成角為60°C.等邊三角形D.二面角的平面角的正切值是15.設集合，且，函數（），下列四個命題：①對任意，存在，使得增函數;②存在，對任意，是減函數;⑧對任意，存在，使得是奇函數;④存在，對任意，是偶函數.其中真命題的個數是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個16.已知是平面直角坐標系中的點集.設是中兩點間距離的最大值，是中所有點構成的圖形的面積，則（）A.， B.，C.， D.，三、解答題（本大題共5題，滿分78分）解答下列各題須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.17.在等差數列中，已知，．（1）求數列的通項公式；（2）若數列是首項為1，公比為3的等比數列，求數列的前項和．18.如圖，在三棱錐中，，，，.（1）求，并說明異面直線與所成的角的大小在棱長度增大時是怎樣變化的；（2）判斷點在平面上的射影是否可能在直線上，給出你的結論并加以證明.19.某路口轉彎處受地域限制，設計了一條單向雙排直角拐彎車道，平面設計如圖所示，每條車道寬為4米，現有一輛大卡車，在里側車道，其車體水平截面圖為矩形ABCD，它的寬AD為2.4米，車廂的左側直線CD與雙車道的分界線相交于E、F，記（1）若大卡車在轉彎的某一刻，恰好，且A、B也都在雙車道的分界線上，直線CD也恰好過路口邊界O，求大卡車的車長AB；（2）為保證行車安全，在里側車道轉彎時，車體不能越過雙車道分界線.求此大卡車的車長AB的最大值.20.在平面直角坐標系中，已知拋物線:的焦點為，點是拋物線上的一點.（1）若求點A的坐標；（2）已知是軸上的點，若線段的最小值為4，求實數的值；（3）如圖，已知點在拋物線上，滿足作，為垂足.問：是否存在定點，使得為定值?若存在，求出點坐標以及的值；若不存在，說明理由.21.已知定義域均為的函數，，是的非空子集.若對任意當時，總有則稱y=fx是y=gx的一個“S關聯函數”.（1）求的所有{1}關聯函數；（