第三篇函數及其圖象專題九平面直角坐標系一、考點掃描一、平面直角坐標系1.坐標平面上的點與有序實數對構成一一對應；2.各象限點的坐標的符號；3.坐標軸上的點的坐標特征。4.點P（a，b）關于對稱點的坐標5、兩點之間的距離6、線段AB的中點C，若則二、函數的概念1、概念：在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數。2.自變量的取值范圍：（1）使解析式有意義（2）實際問題具有實際意義3.函數的表示方法；（1）解析法（2）列表法 （3）圖象法二、考點訓練1、若點P（a，b）在第四象限，則點M（b－a，a－b）在（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限2、點P（－1，－3）關于y軸對稱的點的坐標是（）（A）（－1，3）（B）（1，3）（C）（3，－1）（D）（1，－3）3、（重慶市）點A（m-4，1-2m）在第三象限，則m的取值范圍是（）A．m>B．m<4C．<m<4D．m>44、（懷化市）放假了，小明和小麗去蔬菜加工廠社會實踐，兩人同時工作了一段時間后，休息時小明對小麗說：“我已加工了28千克，你呢？”小麗思考了一會兒說：“我來考考，圖（1）、圖（2）分別表示你和我的工作量與工作時間關系，你能算出我加工了多少千克嗎？”小明思考后回答：“你難不倒我，你現在加工了________千克．”5、菱形邊長為6，一個內角為120°，它的對角線與兩坐標軸重合，則菱形四個頂點的坐標分別是6、（南京市）在平面直角坐標系中，ABCD的頂點A、B、D的坐標分別是（0，0），（5，0），（2，3），則頂點C的坐標是（）A．（3，7）B．（5，3）C．（7，3）D．（8，2）(第6題)(第7題)7、（長春市）如圖，將△AOB繞點O逆時針旋轉90°，得到△A′OB′，若點A的坐標為（a，b），則點A′的坐標為（）A．（a，-b）B．（b，a）C．（-b，a）D．（-a，b）8、（貴陽市）小明根據鄰居家的故事寫了一道小詩：“兒子學成今日返，老父早早到車站，兒子到后細端詳，父子高興把家還．”如果用縱軸y表示父親與兒子行進中離家的距離，用橫軸x表示父親離家的時間，那么下面的圖象與上述詩的含義大致吻合的是（）三、例題剖析1、（06年益陽）在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為A（-2，1），B（-3，-1），C（1，-1）．若四邊形ABCD為平行四邊形，那么點D的坐標是________．2、（紹興市）如圖，將邊長為1的正方形OAPB沿x軸正方向連續翻轉2006次，點P依次落在點P1，P2，P3，P4，…P2006的位置，則P2006的橫坐標X2006=_______．3、（茂名市）如圖，在平面直角坐標系XOY中，直角梯形OABC，BC∥AO，A（-2，0），B（-1，1），將直角梯形OABC繞點O順時針旋轉90°后，點A、B、C分別落在A′、B′、C′處．請你解答下列問題：（1）在如圖直角坐標系XOY中畫出旋轉后的梯形O′A′B′C′．（2）求點A旋轉到A′所經過的弧形路線長．4、（煙臺市）先將一矩形ABCD置于直角坐標系中，使點A與坐標系中原點重合，邊AB、AD分別落在x軸、y軸上（如圖1），再將此矩形在坐標平面內按逆時針方向繞原點旋轉30°（如圖2），若AB=4，BC=3，則圖1和圖2中點B的坐標為______，點C的坐標為_______．四、綜合應用1、常州市）在平面直角坐標系中描出下列各點A（2，1），B（0，1），C（-4，3），D（6，3），并將各點用線段依次連接構成一個四邊形ABCD．（1）四邊形ABCD是什么特殊的四邊形？（2）在四邊形ABCD內找一點P，使得△APB、△BPC、△CPD、△APD都是等腰三角形，請寫出P點的坐標．專題十一次函數及反比例函數其應用一、考點掃描1、一次函數(1)、一次函數及其圖象如果y=kx+b（k，b是常數，k≠0），那么，y叫做x的一次函數。特別地，如果y=kx（k是常數，k≠0），那么，y叫做x的正比例函數一次函數的圖象是直線，畫一次函數的圖象，只要先描出兩點，再連成直線(2)、一次函數的性質當k>0時y隨x的增大而增大，當k<0時，y隨x的增大而減小。1、反比例函數(1)反比例函數及其圖象如果,那么，y是x的反比例函數。反比例函數的圖象是雙曲線，它有兩個分支，可用描點法畫出反比例函數的圖象（2）反比例函數的性質

當K>0時，圖象的兩個分支分別在一、二、三象限內，在每個象限內，y隨x的增大而減小；當K<0時，圖象的兩個分支分別在二、四象限內，在每個象限內，y隨x的增大而增大。3.待定系數法先設出式子中的未知數，再根據條件求出未知系數，從而寫出這個式子的方法叫做待定系數法可用待定系數法求一次函數、二次函數和反比例函數的解析式二、考點訓練1、若函數y=（m2-1）x為反比例函數，則m=________．2、若一次函數y=2x+m-2的圖象經過第一、第二、三象限，則m=．3、（常德市）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）是反比例函數y=的圖象上的三點，且x1<x2<0<x3，則y1，y2，y3的大小關系是（）A．y3<y2<y1B．y1<y2<y3C．y2<y1<y3D．y2<y3<y14、已知矩形的面積為10，則它的長y與寬x之間的關系用圖象大致可表示為（）5、（威海市）如圖，過原點的一條直線與反比例函數y=（k<0）的圖像分別交于A、B兩點，若A點的坐標為（a，b），則B點的坐標為（）A．（a，b）B．（b，a）C．（-b，-a）D．（-a，-b）（第5題）（第6題）6、（06年長春市）如圖，雙曲線y=的一個分支為（）A．①B．②C．③D．④7、如圖，一次函數y=kx+b的圖象經過A、B兩點，則kx+b>0的解集是（）A．x>0B．x>2C．x>-3D．-3<x<28、（貴陽市）函數y1=x+1與y2=ax+b的圖象如圖所示，這兩個函數的交點在y軸上，那么y1、y2的值都大于零的x的取值范圍是_______．9、（杭州市）已知一次函數y=kx-k，若y隨x的增大而減小，則該函數的圖像經過（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限10、（紹興市）如圖，一次函數y=x+5的圖象經過點P（a，b）和點Q（c，d），則a（c-d）-b（c-d）的值為________．11、（重慶市）如圖，已知函數y=ax+b和y=kx的圖象交于點P，則根據圖象可得，關于的二元一次方程組的解是________．12、（安徽省）一次函數的圖象過點（-1，0），且函數值隨著自變量的增大而減小，寫出一個符合這個條件的一次函數的解析式：___________．三、例題剖析1、（南京市）某塊試驗田里的農作物每天的需水量y（千克）與生長時間x（天）之間的關系如折線圖所示．這些農作物在第10天、第30天的需水量分別為2000千克、3000千克，在第40天后每天的需水量比前一天增加100千克．（1）分別求出x≤40和x≥40時y與x之間的關系式；（2）如果這些農作物每天的需水量大于或等于4000千克時，需要進行人工灌溉，那么應從第幾天開始進行人工灌溉？2、（吉林省）小明受《烏鴉喝水》故事的啟發，利用量筒和體積相同的小球進行了如下操作：請根據圖中給出的信息，解答下列問題：（1）放入一個小球量筒中水面升高_______cm；（2）求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）與小球個數x（個）之間的一次函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）量筒中至少放入幾個小球時有水溢出？3、（06年煙臺市）如圖，一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數y=圖象交于A（-2，1），B（1，n）兩點．（1）求反比例函數和一次函數的解析式；（2）根據圖象寫出使一次函數的值大于反比例函數的值的x的取值范圍．4、（重慶市）如圖，矩形AOCB的兩邊OC、OA分別位于x軸、y軸上，點B的坐標為B（-，5），D是AB邊上的一點，將△ADO沿直線OD翻折，使A點恰好落在對角線OB上的點E處，若點E在一反比例函數的圖像上，那么該函數的解析式是_________．5、（伊春市）某工廠用一種自動控制加工機制作一批工件，該機器運行過程分為加油過程和加工過程；加工過程中，當油箱中油量為10升時，機器自動停止加工進入加油過程，將油箱加滿后繼續加工，如此往復．已知機器需運行185分鐘才能將這批工件加工完．下圖是油箱中油量y（升）與機器運行時間x（分）之間的函數圖象．根據圖象回答下列問題：（1）求在第一個加工過程中，油箱中油量y（升）與機器運行時間x（分）之間的函數關系式（不必寫出自變量x的取值范圍）；（2）機器運行多少分鐘時，第一個加工過程停止？（3）加工完這批工件，機器耗油多少升？應用與探究1、某廠從起開始投入技術改進資金，經技術改進后，某產品的生產成本不斷降低，具體數據如下表：年度2002200320042005投入技改資金x（萬元）2.5344.5產品成本y（萬元/件）7.264.54（1）請你認真分析表中數據，從你所學習過的一次函數、二次函數和反比例函數中確定哪種函數能表示其變化規律，說明確定是這種函數而不是其他函數的理由，并求出它的解析式；（2）按照這種變化規律，若已投入技改資金5萬元．①預計生產成本每件比降低多少萬元？②如果打算在把每件產品成本降低到3.2萬元，則還需投入技改資金多少萬元？（結果精確到0.01萬元）專題十一二次函數圖象及其性質一、考點掃描1、理解二次函數的概念：y=ax2+bx+c(a,b,c是常數，a≠0)2、會把二次函數的一般式化為頂點式，確定圖象的頂點坐標、對稱軸和開口方向，會用描點法畫二次函數的圖象；3、會平移二次函數y＝ax2(a≠0)的圖象得到二次函數y＝a(x＋k)2＋h的圖象，了解特殊與一般相互聯系和轉化的思想；4、會用待定系數法求二次函數的解析式；5、利用二次函數的圖象，了解二次函數的增減性，會求二次函數的圖象與x軸的交點坐標和函數的最大值、最小值，了解二次函數與一元二次方程和不等式之間的聯系。二、考點訓練1、二次函數y=ax2+bx+c的圖像如圖，則點M（b，）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2、（武漢市）已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示，則下列結論：①a、b同號；②當x=1和x=3時，函數值相等；③4a+b=0；④當y=-2時，x的值只能取0.其中正確的個數是（）A．1個B．2個C．3個D．4個3、二次函數y=x2的圖象向右平移3個單位，得到新的圖象的函數表達式是（）A.y=x2+3B.y=x2-3C.y=（x+3）2D.y=（x-3）24、二次函數y=-（x-1）2+3圖像的頂點坐標是（）A．（-1，3）B．（1，3）C．（-1，-3）D．（1，-3）5、（南充市）二次函數y=ax2+bx+c，b2=ac，且x=0時y=-4則y的最值是（）A．最大值-4B．最小值-4C．最大值-3D．最小值-36、二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結論：①a>0；②c>0；③b2-4ac>0，其中正確的個數是（）A．0個B．1個C．2個D．3個7、（常德市）根據下列表格中二次函數y=ax2+bx+c的自變量x與函數值y的對應值，判斷方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的一個解x的范圍是（）x6.176.186.196.20y=ax2+bx+c-0.03-0.010.020.04A．6<x<6.17B．6.17<x<6.18C．6.18<x<6.19D．6.19<x<6.208、（06年長春）函數y=x2+bx-c的圖象經過點（1，2），則b-c的值為______．9、（06年宿遷市）將一拋物線向左平移4個單位后，再向下平移2個單位得拋物線y=x2，則平移前拋物線的解析式是________．10、（06年錦州市）已知二次函數的圖象開口向上，且頂點在y軸的負半軸上，請你寫出一個滿足條件的二次函數的表達式________．三、例題剖析1、如圖，在坐標系中，二次函數y=ax2+c（a≠0）的圖象過正方形ABOC的三個頂點A，B，C，則ac的值是________．2、觀察下面的表格：x012ax22ax2+bx+c46（1）求a，b，c的值，并在表格內的空格中填上正確的數；（2）求二次函數y=ax2+bx+c圖象的頂點坐標與對稱軸．3、13．（南通市）已知拋物線y=ax2+bx+c經過A，B，C三點，當x≥0時，其圖象如圖所示．（1）求拋物線的解析式，寫出拋物線的頂點坐標；（2）畫出拋物線y=ax2+bx+c當x<0時的圖象；（3）利用拋物線y=ax2+bx+c，寫出x為何值時，y>0．4、（06年長春市）如圖，P為拋物線y=x2-x+上對稱軸右側的一點，且點P在x軸上方，過點P作PA垂直x軸于點A，PB垂直y軸于點B，得到矩形PAOB．若AP=1，求矩形PAOB的面積．四、綜合應用1、（煙臺市）如圖（單位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直線L向正方形移動，直到AB與CD重合．設x秒時，三角形與正方形重疊部分的面積為ym2．（1）寫出y與x的關系式；（2）當x=2，3.5時，y分別是多少？（3）當重疊部分的面積是正方形面積的一半時，三角形移動了多長時間？求拋物線頂點坐標、對稱軸.2、（06年常州市）在平面直角坐標系中，已知二次函數y=a（x-1）2+k的圖像與x軸相交于點A、B，頂點為C，點D在這個二次函數圖像的對稱軸上，若四邊形ABCD是一個邊長為2且有一個內角為60°的菱形，求此二次函數的表達式．專題十二二次函數的應用一、考點掃描二次函數應用二、例題剖析1、（旅順口區）已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2，BF=1．試在AB上求一點P，使矩形PNDM有最大面積．2、某產品每件成本10元，試銷階段每件產品的銷售價x（元）與產品的日銷售量y（件）之間的關系如下表：x（元）152030…y（件）252010…若日銷售量y是銷售價x的一次函數．（1）求出日銷售量y（件）與銷售價x（元）的函數關系式；（2）要使每日的銷售利潤最大，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？3、在距離地面2m高的某處把一物體以初速度V0（m/s）豎直向上拋出，在不計空氣阻力的情況下，其上升高度s（m）與拋出時間t（s）滿足：S=V0t-gt2（其中g是常數，通常取10m/s2），若V0=10m/s，則該物體在運動過程中最高點距離地面________m．4、影響剎車距離的最主要因素是汽車行駛的速度及路面的摩擦系數．有研究表明，晴天在某段公路上行駛上，速度為V（km/h）的汽車的剎車距離S（m）可由公式S=V2確定；雨天行駛時，這一公式為S=V2．如果車行駛的速度是60km/h，那么在雨天行駛和晴天行駛相比，剎車距離相差_________米．5、（06年南京市）如圖，在矩形ABCD中，AB=2AD，線段EF=10．在EF上取一點M，分別以EM、MF為一邊作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN～矩形ABCD．令MN=x，當x為何值時，矩形EMNH的面積S有最大值？最大值是多少？6、（青島市）在青島嶗山北宅櫻桃節前夕，某果品批發公司為指導今年的櫻桃銷售，對往年的市場銷售情況進行了調查統計，得到如下數據：銷售價x（元/千克）…25242322…銷售量y（千克）…2000250030003500…（1）在直角坐標系內，作出各組有序數對（x，y）所對應的點．連接各點并觀察所得的圖形，判斷y與x之間的函數關系，并求出y與x之間的函數關系式；（2）若櫻桃進價為13元/千克，試求銷售利潤P（元）與銷售價x（元/千克）之間的函數關系式，并求出當x取何值時，P的值最大？7、施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為6米，寬度OM為12米，現在O點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系（如圖所示）．（1）直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標；（2）求出這條拋物線的函數解析式；（3）施工隊計劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”ABCD，使A、D點在拋物線上，B、C點在地面OM上．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、DC的長度之和的最大值是多少？請你幫施工隊計算一下．三、綜合應用1、如圖10，點在拋物線上，過點A作與軸平行的直線交拋物線于點B，延長AO,BO分別與拋物線相交于點C,D，連接AD,BC，設點A的橫坐標為m，且m>0．（1）當m=1時，求點A,B,D的坐標；（2）當m為何值時，四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直；（3）猜想線段AB與CD之間的數量關系，并證明你的結論．AAxyBCOD圖102、如圖，已知拋物線與坐標軸交于A、B、C三點，點A的橫坐標為-1，過點C(0,3)的直線與軸交于點Q，點P是線段BC上的一個動點，PH⊥OB于點H．若PB=5t，且0<t<1．（1）確定的值：；（2）寫出點的坐標（其中用含的式子表示）：；（第28題圖）（3）依點P的變化，是否存在的值，使為等腰三角形？若存在，求出所有的值；若不存在，說明理由．（第28題圖）專題十三函數的綜合應用一、考點掃描函數應用二、考點訓練1．在函數y=，y=x+5，y=x2的圖象中是中心對稱圖形，且對稱中心是原點的有（）A．0個B．1個C．2個D．3個2．下列四個函數中，y隨x的增大而減少的是（）A．y=2xB．y=-2x+5C．y=-D．y=-x2-2x-13．函數y=ax2-a與y=（a≠0）在同一直角坐標系中的圖象可能是（）4．函數y=kx-2與y=（k≠0）在同一坐標系內的圖象可能是（）5．如圖是二次函數y1=ax2+bx+c和一次函數y2=mx+n的圖象，觀察圖象寫出y2≥y1時，x的取值范圍__________．(第5題)(第6題)6．（旅順口）如圖是一次函數y1=kx+b和反比例函數y2=的圖象，觀察圖象寫出y1>y2時，x的取值范圍是_________．7．（十堰市）在同一平面直角坐標系中，函數y=kx+k，y=（k>0）的圖像大致是（）8．（太原市）在反比例函數y=中，當x>0時，y隨x的增大而增大，則二次函數y=kx2+2kx的圖像大致是（）三、例題剖析1、（海門市）某校八年級（1）班共有學生50人，據統計原來每人每年用于購買飲料的平均支出是a元．經測算和市場調查，若該班學生集體改飲某品牌的桶裝純凈水，則年總費用由兩部分組成，一部分是購買純凈水的費用，另一部分是其他費用780元，其中，純凈水的銷售價（元/桶）與年購買總量y（桶）之間滿足如圖所示關系．（1）求y與x的函數關系式；（2）若該班每年需要純凈水380桶，且a為120時，請你根據提供的信息分析一下：該班學生集體改飲桶裝純凈水與個人買材料，哪一種花錢更少？（3）當a至少為多少時，該班學生集體改飲桶裝純凈水一定合算？從計算結果看，你有何感想（不超過30字）？2、一蔬菜基地種植的某種綠色蔬菜，根據今年的市場行情，預計從5月1日起的50天內，它的市場售價y1與上市時間x的關系可用圖（a）的一條線段表示；它的種植成本y2與上市時間x的關系可用圖（b）中的拋物線的一部分來表示．（1）求出圖（a）中表示的市場售價y1與上市時間x的函數關系式．（2）求出圖（b）中表示的種植成本y2與上市時間x的函數關系式．（3）假定市場售價減去種植成本為純利潤，問哪天上市的這種綠色蔬菜既不賠本也不賺錢？（市場售價和種植成本的單位：元/千克，時間單位：天）3、如圖，一次函數y=ax+b的圖象與反比例函數y=的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D．已知OA=，tan∠AOC=，點B的坐標為（，-4）．（1）求反比例函數和一次函數的解析式；（2）求△AOB的面積．三、綜合應用1、（濰坊市）為保證交通完全，汽車駕駛員必須知道汽車剎車后的停止距離（開始剎車到車輛停止車輛行駛的距離）與汽車行駛速度（開始剎車時的速度）的關系，以便及時剎車．下表是某款車在平坦道路上路況良好剎車后的停止距離與汽車行駛速度的對應值表：行駛速度（千米/時）406080…停止距離（米）163048…（1）設汽車剎車后的停止距離y（米）是關于汽車行駛速度x（千米/時）的函數．給出以下三個函數①y=ax+b；②y=（k≠0）；③y=ax2+bx，請選擇恰當的函數來描述停止距離y（米）與汽車行駛速度x（千米/時）的關系，說明選擇理由,并求出符合要求的函數的解析式；（2）根據你所選擇的函數解析式，若汽車剎車后的停止距離為70米，求汽車行駛速度．專題十四用函數的觀點看方程（組）或不等式一、考點掃描二、考點訓練1．（廣西省）已知y=-2x+m，當x=3時，y=1，則直線y=-2x+m與x軸的交點坐標為_______．2．若直線y=x-2與直線y=-x+a相交于x軸，則直線y=-x+a不經過的象限是_____．3．若不等式kx+b>0的解集為x>-2，則直線y=kx+b與x軸的交點為_____．4．（衡陽市）如圖，直線y1=k1x+b1與直線y2=k2x+b2交于點（-2，2），則當x____時，y1<y2．(第4題)(第7題)5．若方程2x2+bx+c=0有兩個不相等的實數根，則拋物線y=2x2+bx+c與x軸有____個交點．6．直線y=ax+b與y=ax2+bx+c（a≠0）的交點為（-1，2）和（3，-4），則方程組的解為_________．7．函數y=kx+b（k、b為常數）的圖象如圖，則關于x的不等式kx+b>0的解集為（）A．x>0B．x<0C．x<2D．x>28．（安徽省）已知甲、乙兩彈簧的長度y（cm）與所掛物體質量x（kg）之間的函數解析式分別為y1=k1x+a1和y2=k2x+a2，圖象如圖所示，設所掛物體質量為2kg時，甲彈簧長為y1，乙彈簧長為y2，則y1與y2的大小關系為（）A．y1>y2B．y1=y2C．y1<y2D．不能確定(第8題)(第9題)9．如圖是甲、乙兩家商店銷售同一種產品的銷售價y（元）與銷售量x（件）之間的函數圖象．下列說法：①售2件時甲、乙兩家售價一樣；②買1件時買乙家的合算；③買3件時買甲家的合算；④買乙家的1件售價約為3元，其中正確的說法是（）A．①②B．②③④C．②③D．①②③10．（江蘇省）如圖，L1反映了某公司的銷售