第1頁/共1頁2023北京北師大實驗中學初三3月月考數學（滿分：100分時間：120分鐘）一、選擇題：（每小題2分，共16分）1.的相反數是（）A. B. C.2 D.2.北京故宮有著近六百年的歷史，是最受中外游客喜愛的景點之一，其年接待量在2019年首次突破19000000人次大關．將19000000用科學記數法可表示為（）A.0.19×108 B.0.19×107 C.1.9×107 D.19×1063.如圖是北京大興國際機場俯視圖的示意圖.下列說法正確的是（）A.這個圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形B.這個圖形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形C.這個圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形D.這個圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形4.一元二次方程的解的情況是（）A.方程有且只有一個實根 B.方程有兩個相等實根C.方程有兩個不等實根 D.方程無實根5.實數、在數軸上的位置如下圖所示，則下列不等關系正確的是（）A. B. C. D.6.如圖，與相切于點，連接并延長交于點，連接，若，則等于（）A. B. C. D.7.如圖，在平面直角坐標系中，，，，是正方形邊上的線段，點在其中某條線段上，若射線與軸正半軸的夾角為，且，則點所在的線段可以是A.和 B.和 C.和 D.和8.如圖，在平面直角坐標系中，點、點，點、點，，點為中點，則長度的最小值為（）A. B. C. D.二、填空題：（每小題2分，共16分）9.若在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是______．10.分解因式：=_________________________．11.為了豐富同學們的課余生活，某年級買了3個籃球和2個足球，共花費了474元，其中籃球的單價比足球的單價多8元，求籃球和足球的單價，如果設籃球的單價為x元，足球的單價為y元，依題意可列方程組為_____．12.若一個多邊形的每個外角都是，則該多邊形的邊數為________.13.一次函數的圖像過二、四象限，且與軸的夾角為，若其經過點，則一次函數解析式為________．14.矩形紙片中，厘米，厘米，按圖中方式折疊，使點與點重合，折痕為，則________厘米．15.如圖，在平行四邊形中，延長至點，使，連接與交于點，則的值是______．16.拋物線的圖像如圖所示，則下列結論中正確的有________.①；②；③；④三、解答題：（第17~22題各5分，第23-26題各6分，第27、28題各7分，共68分）17.計算：．18.解不等式組．19.先化簡,再求值:,其中,.20.我們在課上曾學習過等腰三角形三線合一；等腰三角形的底邊中線、底邊高線、頂角角平分線重合，如果某個三角形的一邊中線、高線及其對角的角平分線中，有兩條線重合，也可以證明這個三角形是等腰三角形，請你選擇下面一種情況，寫出證明過程．①已知：如圖，在中，于D，，求證：．②已知：如圖，在中，于，平分，求證：．③已知：如圖，在中，是中點，平分，求證：．21.如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，AB＝BC＝2CD，E為對角線AC的中點，F為邊BC的中點，連接DE，EF．（1）求證：四邊形CDEF為菱形；（2）連接DF交EC于G，若DF＝2，CD，求AD的長．22.在平面直角坐標系中，直線經過點，．（1）求和的值：（2）將點向右平移到軸上，得到點，設點關于原點的對稱點為，記線段與線段為圖形．若雙曲線與圖形恰有一個公共點，直接寫出的取值范圍．23.為迎接2022年冬奧會，鼓勵更多的學生參與到志愿服務中來，甲、乙兩所學校組織了志愿服務團隊選拔活動，經過初選，兩所學校各400名學生進入綜合素質展示環節．為了了解兩所學校學生的整體情況，從兩校進入綜合素質展示環節的學生中分別隨機抽取了50名學生的綜合素質展示成績（百分制），并對數據（成績）進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a．甲學校學生成績的頻數分布直方圖如下（數據分成6組：，，，，，）：b．甲學校學生成績在這一組的是：80808181.582838384858686.5878888.58989c．乙學校學生成績的平均數、中位數、眾數、優秀率（85分及以上為優秀）如下：平均數中位數眾數優秀率83.38478根據以上信息，回答下列問題：（1）甲學校學生A，乙學校學生B的綜合素質展示成績同為83分，這兩人在本校學生中的綜合素質展示排名更靠前的是_________（填“A”或“B”）；（2）根據上述信息，推斷______學校綜合素質展示的水平更高，理由為____________________________（至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性）；（3）若每所學校綜合素質展示的前120名學生將被選入志愿服務團隊，預估甲學校分數至少達到_________分的學生才可以入選．24.如圖，在中，，點為邊的中點，以為直徑作⊙，分別與交于點，過點作于．（1）求證：是的切線；（2）若，的半徑為5，求的長．25.我國著名科學家錢學森于20世紀40年代提出了一種新型導彈彈道設想，即“助推-滑翔”彈道，這種彈道可以讓導彈在大氣層中“打水漂”（如下圖），從而達到節省燃料，增加射程的目的，而且錢學森彈道在俯沖的最后階段，彈速可達音速的20倍，雷達幾乎無法捕捉.小明借鑒靈感改裝了模型飛機.設飛機飛行時間為秒，對應飛行高度為米，測量數據得：01234816404142434405898420.80.750.60.350（1）根據所給數據，畫出與的函數圖像；（2）利用初中所學的函數知識分析圖像，那么該函數圖像可以分為______段來研究；（3）請你選擇（2）中的一段圖像，用解析式法來表示與的函數關系，并注明自變量范圍.26.已知：拋物線過點.（1）用含代數式表示；（2）若拋物線與軸的另一個交點為點，且點在點的左側，求的取值范圍；（3）若，點、、在拋物線上，請比較、、的大小，并說明理由.27.如圖，在中，，，在線段上取點，作于，連接，點是中點，連接.（1）求線段與的位置關系和數量關系，并證明；（2）將繞點順時針旋轉（）；①在（1）中線段的位置關系和數量關系是否依然成立？請證明你的結論；②若點是的重心，直接寫出的值.28.在平面直角坐標系中，存在一個圖形為圖形上任意一點，線段（點與不重合）繞點逆時針旋轉得到線段，延長至點，使得，若點為線段上一點（點可與線段端點重合），則稱點為圖形的“二倍點”.已知點、點.（1）中，是線段的“二倍點”的是_______；（2）直線）存在線段的“二倍點”，求的取值范圍；（3）的半徑為1，是⊙的“二倍點”，直線與軸、軸分別交于兩點，點在線段上（可與線段端點重合），當點在線段上運動時，直接寫出線段的最大值和最小值.

參考答案一、選擇題：（每小題2分，共16分）1.【答案】C【解析】【分析】根據相反數的定義即可得到答案．【詳解】解：的相反數是2，故選：C．【點睛】本題考查了相反數，只有符號不同的兩個數，叫做互為相反數，熟練掌握該定義是解題的關鍵．2.【答案】C【解析】【分析】直接利用科學記數法的定義結合科學記數法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n為正整數，進而得出答案．【詳解】解：將19000000用科學記數法表示為：1.9×107．故選：C．【點睛】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．3.【答案】A【解析】【分析】根據軸對稱圖形定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形就是軸對稱圖形，根據中心對稱圖形的定義：繞對稱中心旋轉180°后得到的圖形與原圖形重合，那么這個圖形就是中心對稱圖形，即可判斷得出答案．【詳解】由圖可知，圖形關于中間軸折疊能完全重合，此圖形是軸對稱圖形，但繞中心旋轉180°后，圖形不能完全重合，此圖形不是中心對稱圖形．故選：A．【點睛】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，解題關鍵是熟練掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義．4.【答案】B【解析】【分析】先求出的值，再比較出其與的大小即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程，∴，，，∴，∴一元二次方程有兩個相等實根，故B正確．故選：B．【點睛】本題考查根的判別式．一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．上面的結論反過來也成立．理解和掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．5.【答案】D【解析】【分析】先由點n，m在數軸上的位置確定n，m的取值范圍，取符合條件的特殊值進行計算再比較即可．【詳解】解：根據數軸可以知道，令，可知，

A.，即，故此選項錯誤；B.，即，故此選項錯誤；C.，即，故此選項錯誤；

D.，兩邊同時乘以得，即，故此選項正確．故選D．【點睛】本題主要考查了實數與數軸之間的對應關系及大小比較問題，熟練掌握實數大小比較方法是解題的關鍵．6.【答案】C【解析】【分析】關于圓的習題只要提到切線，就必須構造半徑的切線形成的直角，已知條件欲求也就是求，在中，根據直角三角形的特殊性質即可求出，最后解出．【詳解】解：連接與相切于點又和是圓的半徑，在中，故答案選．【點睛】本題主要考查的是圓的切線性質定理推論和直角三角形的特殊性質．涉及到知識點有等腰三角形的性質．解題過程中能否通過切線性質和直角三角形特殊性質求出角度是解題的關鍵．7.【答案】D【解析】【分析】分情況考慮：先考慮點M分別在邊PQ上的線段AB和CD上的情況，根據正弦、余弦函數的定義判斷即可；再考慮點M分別在邊QR上的線段EF和GH上的情況，根據正弦、余弦函數的定義判斷即可．【詳解】如圖，當點在線段上時，連接．，，，，同法可證，點在上時，，如圖，當點在上時，作于．，，，，同法可證，點在上時，，故選：D．【點睛】本題考查了正方形的性質，三角函數中正弦和余弦的定義，涉及到分類討論，關鍵是構造直角三角形，從而可在直角三角形中利用正余弦的定義進行．8.【答案】B【解析】【分析】根據，得出點在以為圓心，2為半徑的圓上運動，由點為中點，取點，連接，根據點到圓的距離的最值問題求得三點共線時取得最小值，進而根據中位線的性質即可求解．【詳解】解：如圖所示，取點，點，連接，依題意，，∴，∵，得出點在以為圓心，2為半徑的圓上運動，∴三點共線時取得最小值，最小值為，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角相等，中位線的性質，勾股定理，坐標與圖形，點到圓的最值問題，兩點之間線段最短，數形結合是解題的關鍵．二、填空題：（每小題2分，共16分）9.【答案】x≥-1【解析】【分析】根據二次根式有意義的條件：被開方數為非負數，列不等式求解即可．【詳解】由題意可知x+1≥0，∴x≥-1．故答案為：x≥-1．【點睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，明確被開方數為非負數是解題關鍵．10.【答案】．【解析】【詳解】試題分析：原式==，故答案為．考點：提公因式法與公式法的綜合運用．11.【答案】【解析】【分析】根據“3個籃球的價錢+2個足球的價錢=474和籃球單價﹣足球的單價=8元”可列方程組．【詳解】設籃球的單價為x元，足球的單價為y元，根據題意可列方程組為，故答案為：．【點睛】考查了實際問題抽象出二元一次方程組，解題關鍵是理解題意，找到題目蘊含的相等關系，再設未知數，列出方程組．12.【答案】18【解析】【分析】利用外角和除以外角的度數即可得到邊數．【詳解】解：，故該多邊形的邊數為18．故答案為：18．【點睛】本題主要考查了多邊形的外角和，解題的關鍵是掌握任何多邊形的外角和都是．13.【答案】##【解析】【分析】首先根據題意得到，然后將代入求解即可．【詳解】∵一次函數的圖像過二、四象限，且與軸的夾角為，∴，∵經過點，∴，解得，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了一次函數解析式的求解方法，根據題意求出k的值是解題的關鍵．14.【答案】【解析】【分析】根據四邊形為矩形，得出，根據折疊可知，，設，則，根據勾股定理列出關于x的方程，解方程即可．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，根據折疊可知，，設，則，根據勾股定理可知，，即，解得：，即厘米．故答案為：．【點睛】本題主要考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，解題的關鍵是根據勾股定理列出關于x的方程．15.【答案】##0.5【解析】【分析】根據平行四邊形的性質及相似三角形的判定和性質得出，結合題意即可得出結論．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CE，AB=CD∴?ABF~?CEF，∴，∵DE=DC，∴，故答案為：．【點睛】題目主要考查平行四邊形的性質及相似三角形的判定和性質，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．16.【答案】②④##④②【解析】【分析】根據圖象開口方向，對稱軸位置，與y軸交點位置即可判斷①，根據拋物線經過點即可判斷②，根據，即可判斷③，根據和即可判斷④．【詳解】解：∵函數圖象開口向上，則，∵對稱軸在y軸左側，，∴a與b同號，即，∵拋物線與y軸交于負半軸，∴，∴，故①錯誤；∵函數圖象經過點，∴把點代入得，即，故②正確；∵，，∴，∴，故③錯誤；由圖象可知當時，，∵，∴，∴，∴，解得，故④正確，綜上可知，②④正確，故答案為：②④【點睛】此題考查了二次函數的圖象和性質，數形結合是解題的關鍵．三、解答題：（第17~22題各5分，第23-26題各6分，第27、28題各7分，共68分）17.【答案】【解析】【分析】先計算零指數冪，特殊角三角函數值，化簡二次根式，再根據實數的混合計算法則求解即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題主要考查了實數的混合計算，特殊角三角函數值，化簡二次根式，零指數冪，熟知相關計算法則是解題的關鍵．18.【答案】-2<x≤1【解析】【分析】根據不等式的性質，分別解出兩個不等式，再判斷其公共解集，即為所求.【詳解】解不等式組．解不等式①得，解不等式②得x，∴原不等式組的解集為-2<x≤1【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握不等式的解法是解題的關鍵.19.【答案】原式=;1【解析】【詳解】試題分析：先根據分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把a、b的值代入進行計算即可．試題解析：原式===，當，時，原式=．考點：分式的化簡求值．20.【答案】見解析【解析】【分析】①根據中垂線線的性質，即可得證；②證明三角形，即可得證；③作于，于，利用中線平分面積，利用等積法進行證明即可．【詳解】①證明：∵在中，于D，，∴垂直平分，．②證明：于，，平分，，又，（），；③證明：作于，于，平分，，是中點，即，．【點睛】本題考查中垂線的性質，全等三角形的判定和性質，角平分線的性質．熟練掌握相關知識點，并靈活運用，是解題的關鍵．21.【答案】（1）見詳解（2）【解析】【分析】（1）由三角形中位線定理可得EF=AB，EF∥AB，CF=BC，可得AB∥CD∥EF，EF=CF=CD，由菱形的判定可得結論；（2）由菱形的性質可得DG=1，DF⊥CE，EG=GC，由勾股定理可得EG=GC=，可求AG=AE+EG=4，由勾股定理可求AD的長．【小問1詳解】證明：∵E為對角線AC的中點，F為邊BC的中點，∴EF=AB，EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∵AB=BC=2CD，∴EF=CF=CD，∴四邊形DEFC是平行四邊形，且EF=CF，∴四邊形CDEF為菱形；【小問2詳解】解：如圖，DF與EC交于點G，∵四邊形CDEF為菱形，DF=2，∴DG=1，DF⊥CE，EG=GC，∴EG=GC=，∴AE=CE=2EG=，∴AG=AE+EG=4，∴AD=．【點睛】本題考查了菱形的性質，三角形中位線定理，勾股定理，熟練運用菱形的性質是本題的關鍵．22.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）把B的坐標代入即可求得b，然后代入，即可求得m，得出；

（2）根據平移的性質、軸對稱以及中心對稱的性質即可求得C、D的坐標；函數的圖象經過點A，，函數的圖象經過點D，，此時雙曲線也經過點B，根據圖象即可求得k的取值范圍．【小問1詳解】解：∵直線經過點，∴，直線的解析式為，又直線經過點，；【小問2詳解】解：由（1）得：點，，將點B向右平移到y軸上，得到點C，，點B關于原點的對稱點為；函數的圖象經過點A，，函數的圖象經過點D，，此時雙曲線也經過點B，由圖象可知：k的取值范圍是或．【點睛】本題考查了反比例函數和一次函數的綜合問題，待定系數法求一次函數、反比例函數解析式，數形結合結合思想的運用是解題的關鍵．23.【答案】（1）A；（2）乙；理由；乙校的中位數高于甲校，乙校的優秀率高于甲校；（3）88.5【解析】【分析】（1）先算出甲校的中位數，發現A的成績在中位數前，而讀表得出B的成績在中位線以下，以此判斷排名；（2）計算出甲校的中位數，優秀率，比較回答即可；（3）先計算90-100分的人數為96人，不夠120人，要從80-90分之間補充，設需要補充x個人，根據題意，得，解得x即可．【詳解】解：（1）甲校共有50名學生，則中位數為第25位和第26位的平均成績由直方圖和題干數據得，第25位和第26位的成績為：81和81.5∴中位數為：∵A成績為83分，高于中位數，則A排名在甲校為前半部分∵B成績為83分，低于乙校中位數84，則B排名在乙校為后半部分故A的排名更靠前；故答案為：A；（2）乙校，理由如下：甲校的優秀率為：，由（1）甲校的中位數是81.25分，乙校的中位數是84，優秀率為46%，從中位數，優秀率兩個方面比較看出，乙校都高于甲校，故乙校高，故答案為：乙校，乙校的中位數高于甲校，乙校的優秀率高于甲校；（3）根據題意，90-100分的人數為為：人，不夠120人，要從80-90分之間補充，設需要補充x個人，根據題意，得，解得x=3，而這個3個數依次為89，89，88.5，至少要88.5分，故答案為：88.5．【點睛】本題考查了中位數，數據的集中趨勢，直方圖，樣本估計總體，熟練掌握中位數的定義，直方圖的意義，用樣本估計總體的思想是解題的關鍵．24.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，根據直角三角形的性質可得，從而得到，再由，可得，即可；（2）連接，根據是直徑，可得，從而得到，進而得到，由勾股定理可得，再由，可得，即可求解．【小問1詳解】證明：連接，，，是中點，，，，∴，又，，即是的切線；【小問2詳解】解：連接，是直徑，，，的半徑為5，，，由勾股定理得，，，，又，，∴．【點睛】此題主要考查了圓的有關性質，切線的判定，直角三角形斜邊的中線是斜邊的一半，勾股定理，正弦的定義，綜合運用以上知識是解本題的關鍵．25.【答案】（1）見解析（2）3（3）（寫出其中一個即可）【解析】【分析】（1）先根據表格中的數據描點，然后再連線，畫出函數圖像即可；（2）根據畫出的函數圖像進行分析即可得出答案；（3）根據待定系數法求出函數關系式即可．【小問1詳解】解：與的函數圖像，如圖所示：【小問2詳解】解：根據函數圖像可知，當時，該函數圖像為二次函數圖像，當時，該函數圖像為反比例函數圖像，當時，該函數圖像為二次函數圖像，因此該函數圖像可以分為3段來研究；故答案為：3；【小問3詳解】解：當時，設該函數圖像的關系式為，，，分別代入得：，解得，∴此時函數解析式為；∴此時函數解析式為；當時，設該函數圖像的關系式為，把代入得：，∴此時函數解析式為；當時，設該函數圖像的關系式為，把把，，分別代入得：，解得，∴此時函數解析式．∴．【點睛】本題主要考查了畫函數圖像，求函數解析式，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法，準確計算．26.【答案】（1）（2）（3），理由見解析【解析】【分析】（1）將代入即可求解；（2）解一元二次方程，根據題意得出不等式，解不等式即可求解．（3）根據題意得出對稱軸，進而根據二次函數圖象的性質即可求解．【小問1詳解】將代入，得；【小問2詳解】，∴，解得：，，點在點左側，，解得；【小問3詳解】拋物線對稱軸為：直線，，，點關于對稱軸對稱的點為，點關于對稱軸對稱的點為，又點，，點到對稱軸的距離小于點到對稱軸的距離小于點到對稱軸的距離，又，拋物線開口向下，.【點睛】本題考查了二次函數的性質，二次函數與坐標軸交點問題，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．27.【答案】（1）垂直且相等；證明見解析（2）①成立；理由見解析；②【解析】【分析】（1）根據等腰三角形的性質，求出，根據直角三角形斜邊上的中線等腰斜邊的一半求出，從而證明點D、C、E在以為圓心、為半徑的圓上，根據圓周角定理，得出，即可證明與垂直且相等；（2）①延長到，使得，連接，如圖，設交于，交于，證明，得出，，證明，說明，證明，證明，得出，，證明為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質，即可得出答案；②連接交于點H，連接，證明，得出，設，則，求出，，根據三角函數的定義求出結果