第2章電阻電路分析2.1支路電流法

一、支路電流法二、獨立方程的列寫2.2網孔分析法

一、網孔電流二、網孔電流法2.3節點電位法

一、節點電位二、節點電位法2.4疊加定理、齊次定理和替代定理

一、疊加定理二、齊次定理三、替代定理將僅包含電阻、獨立源和受控源的電路稱為電阻電路。返回本章目錄下一頁前一頁第2-1

頁2.5等效電源定理

一、戴維寧定理二、諾頓定理2.6最大功率傳輸定理一、最大功率傳輸問題二、最大功率傳輸定理(本章共113頁)P104P2P22P45P66P83點擊目錄中各節后頁碼即可打開該節在一個支路中的各元件上流經的只能是同一個電流，支路兩端電壓等于該支路上相串聯各元件上電壓的代數和，由元件約束關系(VAR)不難得到每個支路上的電流與支路兩端電壓的關系，即支路的VAR。如圖2.1-1所示。

圖2.1-1電路中一條支路(2.1-1)返回本章目錄下一頁前一頁第2-2

頁2.1支路電流法它的VAR為一、支路電流法

如圖2.1-2電路，圖2.1-2支路電流法分析用圖它有3條支路，設各支路電流分別為i1,i2,i3,其參考方向標示在圖上。就本例而言，問題是如何找到包含未知量i1,i2,i3

的3個相互獨立的方程組呢？根據KCL，對節點a

和

b

分別建立電流方程。設流出節點的電流取正號，則有節點a

(2.1-2)節點

b

(2.1-3)返回本章目錄下一頁前一頁第2-3

頁2.1支路電流法

根據KVL，按圖中所標巡行方向(或稱繞行方向)對回路Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分別列寫KVL方程(注意：在列寫方程中，若遇到電阻，兩端電壓就應用歐姆定律表示為電阻與電流乘積)，得回路Ⅰ(2.1-4)圖2.1-2支路電流法分析用圖回路Ⅱ(2.1-5)回路Ⅲ

(2.1-6)返回本章目錄下一頁前一頁第2-4

頁2.1支路電流法

當未知變量數目與獨立方程數目相等時，未知變量才可能有唯一解。我們從上述5個方程中選取出3個相互獨立的方程如下：(2.1-7)(2.1-7)式即是圖2.1-2所示電路以支路電流為未知量的足夠的相互獨立的方程組之一，它完整地描述了該電路中各支路電流和支路電壓之間的相互約束關系。

應用克萊姆法則求解(2.1-7)式。系數行列式Δ和各未知量所對應的行列式Δj(j=1,2,3)分別為返回本章目錄下一頁前一頁第2-5

頁2.1支路電流法返回本章目錄下一頁前一頁第2-6

頁2.1支路電流法返回本章目錄下一頁前一頁第2-7

頁2.1支路電流法所以求得支路電流返回本章目錄下一頁前一頁第2-8

頁2.1支路電流法解出支路電流之后，再要求解電路中任何兩點之間的電壓或任何元件上消耗功率那就是很容易的事了。

例如，若再要求解圖2.1-2電路中的c點與d點之間電壓ucd及電壓源us1所產生的功率ps1，可由解出的電流i1、i2、i3方便地求得為2.1.2獨立方程的列寫(1)從n

個節點中任意擇其n-1個節點，依KCL列節點電流方程，則n-1個方程將是相互獨立的。這一點是不難理解的，因為任一條支路一定與電路中兩個節點相連，它上面的電流總是從一個節點流出，流向另一個節點。如果對所有n

個節點列KCL方程時，規定流出節點的電流取正號，流入節點的電流取負號，每一個支路電流在n個方程中一定出現兩次，一次為正號(+ij),一次為負號(-ij),若把這n個方程相加，它一定是等于零的恒等式，即(2.1-8)式中：n表示節點數；(∑i)k

表示第

k

個節點電流代數和；返回本章目錄下一頁前一頁第2-9

頁2.1支路電流法表示對

n

個節點電流和再求和；表示b條支路一次取正號，一次取負號的電流和。

(2.1-8)式說明依KCL列出的n個KCL方程不是相互獨立的。但從這n個方程中任意去掉一個節點電流方程，那么與該節點相連的各支路電流在余下的

n－1個節點電流方程中只出現一次。如果將剩下的

n－1個節點電流方程相加，其結果不可能恒為零，所以這n－1個節點電流方程是相互獨立的。習慣上把電路中所列方程相互獨立的節點稱為獨立節點。返回本章目錄下一頁前一頁第2-10

頁2.1支路電流法(2)n個節點b

條支路的電路，用支路電流法分析時需b個相互獨立的方程，由KCL已經列出了n－1個相互獨立的KCL方程，那么剩下的b－(n－1)個獨立方程當然應該由KVL列出。可以證明，由KVL能列寫且僅能列寫的獨立方程數為b－n+1個。

習慣上把能列寫獨立方程的回路稱為獨立回路。獨立回路可以這樣選取：

使所選各回路都包含一條其他回路所沒有的新支路。對平面電路，如果它有

n

個節點、b

條支路，也可以證明它的網孔數恰為b－n+1個，按網孔由KVL列出的電壓方程相互獨立。

歸納、明確支路電流法分析電路的步驟：返回本章目錄下一頁前一頁第2-11

頁2.1支路電流法

第一步：設出各支路電流，標明參考方向。任取n－1個節點，依KCL列獨立節點電流方程(n

為電路節點數)。

第二步：選取獨立回路(平面電路一般選網孔)，并選定巡行方向，依KVL列寫出所選獨立回路電壓方程。

第三步：如若電路中含有受控源，還應將控制量用未知電流表示，多加一個輔助方程。

第四步：求解一、二、三步列寫的聯立方程組，就得到各支路電流。

第五步：如果需要，再根據元件約束關系計算電路中任何處的電壓、功率。

下面舉幾個例子。返回本章目錄下一頁前一頁第2-12

頁2.1支路電流法

例2.1-1圖示2.1-3電路中，已知R1=15Ω，R2=1.5Ω，R3=1Ω,us1=15V，us2=4.5V,us3=9V。求電壓uab及各電源產生的功率。

圖2.1-3例2.1-1用圖解設支路電流i1,i2,i3

參考方向如圖中所標。依KCL列寫節點a

的電流方程為(2.1-9)

選網孔作為獨立回路，并設繞行方向于圖上，由KVL列寫網孔Ⅰ、Ⅱ的電壓方程分別為網孔Ⅰ(2.1-10)返回本章目錄下一頁前一頁第2-13

頁2.1支路電流法網孔Ⅱ(2.1-11)用克萊姆法則求解(2.1-9)、(2.1-10)、(2.1-11)三元一次方程組。Δ與Δj分別為返回本章目錄下一頁前一頁第2-14

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頁2.1支路電流法所以電流i1,i2,i3分別為電壓設電源us1,us2,us3

產生的功率分別為ps1,ps2,ps3,由求得的支路電流，可算得返回本章目錄下一頁前一頁第2-16

頁2.1支路電流法圖2.1-3例2.1-1用圖例2.1-2如圖2.1-4所示電路中含有一電流控制電壓源，求電流i1、i2和電壓u。圖2.1-4例2.1-2用圖解

本電路雖有3個支路，但有一個支路的電流是6A的電流源，所以只有兩個未知電流i1、i2。(二者的參考方向在圖中已經標出，勿需自行再標)。另外，雖然本電路中含有受控電壓源，但它的控制量是電路中的一個未知電流，不需要再另外增加輔助方程。

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頁2.1支路電流法對b點列寫KCL方程，有

i2=i1+6

(2.1-12)

對回路A列寫KVL方程(注意把受控電壓源視為獨立電壓源一樣看待參與列寫基本方程)，有

1×i1+3i2+2i1=12

(2.1-13)

聯立(2.1-12)式和(2.1-13)式,解得i1=－1A，

i2=5A

再應用KVL求得電壓為

u=3i2+2i1=3×5+2×(－1)=13V返回本章目錄下一頁前一頁第2-18

頁2.1支路電流法圖2.1-4例2.1-2用圖

例2.1-3如圖2.1-5所示電路中包含有電壓控制的電壓源，試以支路電流作為求解變量，列寫出求解本電路所必需的獨立方程組。(對所列方程不必求解。)圖2.1-5例2.1-3用圖解

設各支路電流、各網孔繞向如圖所示。應用KCL、KVL及元件VAR列寫方程為

對節點a

－i1+i2+i3=0

對網孔Ⅰ

R1i1+R2i2+0=us

對網孔Ⅱ

－R2i2+(R3+R4)i3=μu1

上述3個方程有i1、i2、i3及u14個未知量，無法求解，還必須尋求另一個獨立方程。將控制量u1用支路電流表示,即

u1=R1i1返回本章目錄下一頁前一頁第2-19

頁2.1支路電流法補充例：用支路法求解下圖所示電路中各支路電流及各電阻吸收的功率。解：(1)標出支路電流的參考方向，如圖所示。(2)選定獨立回路，這里選網孔，如圖所示。(3)對無伴電流源(沒有電阻與之并聯)的處理方法：在其兩端設定一電壓U；(4)對獨立節點a，列KCL方程為：i2–i1–2=0(1)(5)對兩個網孔，利用KVL和OL列回路方程為：2i1+U–12=0(2)

2i2+2u1–U=0(3)返回本章目錄下一頁前一頁第2-20

頁2.1支路電流法(6)上面三個方程，四個未知量。補一個方程：將受控源控制量u1用支路電流表示，有

u1=2i1(4)(7)解式(1)(2)(3)(4)得支路電流為

i1=1A，i2=3A(8)求電阻吸收的功率為

P1=i12×2=2(W)，P2=i22×2=18(W)返回本章目錄下一頁前一頁第2-21

頁2.1支路電流法2.2.1網孔電流欲使方程數目減少，必使求解的未知量數目減少。

在一個平面電路里，因為網孔是由若干條支路構成的閉合回路，所以它的網孔個數必定少于支路個數。

如果我們設想在電路的每個網孔里有一假想的電流沿著構成該網孔的各支路循環流動，如圖2.2-1中實線箭頭所示，把這一假想的電流稱作網孔電流。圖2.2-1網孔法分析用圖返回本章目錄下一頁前一頁第2-22

頁2.2網孔分析法網孔電流是完備的電路變量例如圖2.2-1電路中圖2.2-1網孔法分析用圖

如果某支路屬于兩個網孔所共有，則該支路上的電流就等于流經該支路二網孔電流的代數和。例如圖2.2-1電路中支路電流i4,它等于流經該支路的A、C

網孔電流的代數和。與支路電流方向一致的網孔電流取正號，反之取負號，即有返回本章目錄下一頁前一頁第2-23

頁2.2網孔分析法網孔電流是相互獨立的變量

如圖2.2-1電路中的3個網孔電流iA,iB,iC,知其中任意兩個求不出第三個。圖2.2-1網孔法分析用圖

這是因為每個網孔電流在它流進某一節點的同時又流出該節點，它自身滿足了KCL，所以不能通過節點KCL方程建立各網孔電流之間的關系，也就說明了網孔電流是相互獨立的變量。2.2.2網孔電流法

對平面電路，以假想的網孔電流作未知量，依KVL列出網孔電壓方程式(網孔內電阻上電壓通過歐姆定律換算為電阻乘電流表示)，求解出網孔電流，進而求得各支路電流、電壓、功率等，這種求解電路的方法稱網孔電流法(簡稱網孔法)。

應用網孔法分析電路的關鍵是如何簡便、正確地列寫出網孔電壓方程(在2.1中已經明確過網孔電壓方程是相互獨立的)。返回本章目錄下一頁前一頁第2-24

頁2.2網孔分析法設圖2.2-1電路中網孔電流

iA,iB,iC,其參考方向即作為列寫方程的巡行方向。按網孔列寫KVL方程如下：圖2.2-1網孔法分析用圖網孔A網孔B網孔C

R3iC-R4iA+R4iC+R6iC+R6iB-us4-us3=0

為了便于應用克萊姆法則求解(或在計算機上應用MATLAB工具軟件求解)上述3個方程，需要按未知量順序排列并加以整理，同時將已知激勵源也移至等式右端。這樣，整理改寫上述3個式子得返回本章目錄下一頁前一頁第2-25

頁2.2網孔分析法(2.2-1)(2.2-2)(2.2-3)觀察(2.2-1)式，可以看出：

(1)iA前的系數(R1+R4+R5)恰好是網孔A

內所有電阻之和，稱它為網孔A的自電阻，以符號R11

表示；(2)iB

前的系數(+R5)是網孔A

和網孔B

公共支路上的電阻，稱它為網孔

A

與網孔B

的互電阻，以符號R12表示。由于流過R5

的網孔電流iA、iB

方向相同，故R5前為“+”號；

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頁2.2網孔分析法(3)iC

前系數(－R4)是網孔

A

和網孔C

公共支路上的電阻，稱它為網孔A

與網孔C

的互電阻，以符號

R13表示。由于流經R4

的網孔電流iA、iC

方向相反，故R4

前取“－”號；(4)等式右端us1－us4表示網孔

A

中電壓源的代數和，以符號us11表示。計算us11時遇到各電壓源的取號法則是，在巡行中先遇到電壓源正極性端取負號，反之取正號。

用同樣的方法可求出(2.2-2)、(2.2-3)式的自電阻、互電阻及網孔等效電壓源，即返回本章目錄下一頁前一頁第2-27

頁2.2網孔分析法圖2.2-1網孔法分析用圖

歸納總結得到應用網孔法分析具有3個網孔電路的方程通式(一般式)，即(2.2-4)如果電路有m

個網孔，也不難得到列寫網孔方程的通式為

(2.2-5)返回本章目錄下一頁前一頁第2-28

頁2.2網孔分析法

有了方程通式，只需設出網孔電流，觀察電路，求出自電阻、互電阻及等效電壓源并代入(2.2-4)式或(2.2-5)式,即得到按未知量順序排列的相互獨立的方程組，這當然對求解電路是方便的。

在應用方程通式列方程時要特別注意“取號”問題：(1)因取網孔電流方向作為列寫KVL方程的巡行方向，所以各網孔的自電阻恒為正；

(2)為了使方程通式形式整齊統一，故把公共支路電阻上電壓的正負號歸納在有關的互電阻中，使(2.2-4)式或(2.2-5)式的左端各項前都是“+”號，但求互電阻時就要注意取正號或取負號的問題。兩網孔電流在流經公共支路時方向一致，互電阻等于公共支路上電阻相加取正號，反之，取負號；返回本章目錄下一頁前一頁第2-29

頁2.2網孔分析法

(3)求等效電壓源時遇電壓源的取號法則表面上看起來與應用∑u=0列方程時遇電壓源的取號法則相反，實際上二者是完全一致的，因為網孔方程的us11(或us22、

us33)是直接放在等式右端的。下面通過具體例子說明應用網孔法分析電路的步驟。例2.2-1如圖2.2-2所示電路，求各支路電流。圖2.2-2例2.2-1用圖解

本問題有6個支路，3個網孔，用上節講的支路電流法需解6元方程組，而用網孔法只需解3元方程，顯然網孔法要比支路電流法簡單得多，今后用手解算電路的話，一般用網孔法而不用支路電流法。返回本章目錄下一頁前一頁第2-30

頁2.2網孔分析法

第一步：設網孔電流iA,iB,iC

如圖所示。一般網孔電流方向即認為是列KVL方程時的巡行方向。

圖2.2-2例2.2-1用圖

第二步：觀察電路直接列寫方程。觀察電路心算求自電阻、互電阻、等效電壓源數值，代入方程通式即寫出所需要的方程組。就本例，把自電阻、互電阻、等效電壓源寫出如下：

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頁2.2網孔分析法代入(2.2-4)式得(2.2-6)

第三步：解方程得各網孔電流。用克萊姆法則解(2.2-6)式方程組，各相應行列式為返回本章目錄下一頁前一頁第2-32

頁2.2網孔分析法圖2.2-2例2.2-1用圖于是各網孔電流分別為

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頁2.2網孔分析法

第四步：由網孔電流求各支路電流。設各支路電流參考方向如圖所示，根據支路電流與網孔電流之間的關系，得

第五步：如果需要，可由支路電流求電路中任何處的電壓、功率。例2.2-2對圖2.2-3所示電路，求電阻

R上消耗的功率pR。返回本章目錄下一頁前一頁第2-34

頁2.2網孔分析法圖2.2-3例2.2-2用圖

解本題并不需要求出所有支路電流，為求得R上消耗的功率，只需求出R上的電流即可。

如果按圖2.2-3(a)設網孔電流，需解出iA、

iC兩個網孔電流才能求得R上的電流，即iR=iA－iC。返回本章目錄下一頁前一頁第2-35

頁2.2網孔分析法

若對電路做伸縮扭動變形，由圖2.2-3(a)變換為圖2.2-3(b)(注意節點2、4的變化),按圖2.2-3(b)設網孔電流iA、iB、iC，使所求支路電流iR恰為網孔C的網孔電流。按(2.2-4)式列寫方程:(2.2-7)化簡(2.2-7)式(第二個方程可兩端相約化簡)得返回本章目錄下一頁前一頁第2-36

頁2.2網孔分析法由化簡的方程組求得進而可求得說明：(1)網孔法是回路法的特殊情況。網孔只是平面電路的一組獨立回路，不過許多實際電路都屬于平面電路，選取網孔作獨立回路方便易行，所以把這種特殊條件下的回路法歸納為網孔法。

返回本章目錄下一頁前一頁第2-37

頁2.2網孔分析法(2)回路法更具有一般性，它不僅適用于分析平面電路，而且也適用于分析非平面電路，在使用中還具有一定的靈活性

。

例2.2-3求圖2.2-4所示電路中的電壓uab。圖2.2-4例2.2-3用圖解設網孔電流iA,iB

如圖中所標，觀察電路，應用方程通式列基本方程為（2.2-8）返回本章目錄下一頁前一頁第2-38

頁2.2網孔分析法由圖可以看出控制量ux

僅與回路電流iB

有關，故有輔助方程（2.2-9）將(2.2-9)式代入(2.2-8)式并經化簡整理，得（2.2-10）解(2.2-10)方程組，得所以

返回本章目錄下一頁前一頁第2-39

頁2.2網孔分析法例2.2-4對圖2.2-5所示電路，求各支路電流。圖2.2-5例2.2-4用圖

解本題圖2.2-5(a)所示的兩個網孔的公共支路上有一理想電流源。如果按圖2.2-5(a)所示電路設出網孔電流，如何列寫網孔方程呢？

這里需注意，網孔方程實際上是依KVL列寫的回路電壓方程，即網孔內各元件上電壓代數和等于零，那么在巡行中遇到理想電流源(或受控電流源)，它兩端電壓取多大呢？返回本章目錄下一頁前一頁第2-40

頁2.2網孔分析法

根據電流源特性，它的端電壓與外電路有關，在電路未求解出之前是未知的。

這時可先假設該電流源兩端電壓為ux，把ux當做理想電壓源一樣看待列寫基本方程。因為引入了電流源兩端電壓ux這個未知量，所以列出的基本方程就少于未知量數，必須再找一個與之相互獨立的方程才可求解。

這個方程也是不難找到的，因為理想電流源所在支路的支路電流i3等于is，i3又等于二網孔電流代數和，這樣就可寫輔助方程，即

iB－iA=is

用網孔法求解圖(a)電路所需的方程為

(2.2-11)返回本章目錄下一頁前一頁第2-41

頁2.2網孔分析法

將圖2.2-5(a)電路伸縮扭動變形，使理想電流源所在支路單獨屬于某一網孔，如圖2.2-5(b)電路所示。理想電流源支路單獨屬于網孔B，設B

網孔電流iB

與is方向一致，則所以只需列出網孔

A

一個方程即可求解。網孔A

的方程為所以進一步可求得電流返回本章目錄下一頁前一頁第2-42

頁2.2網孔分析法(2.2-12)補充例:如圖電路，用回路法求電壓u。解：如圖中所標回路電流，可知：i1=0.1u，

i3=4A返回本章目錄下一頁前一頁第2-43

頁2.2網孔分析法

補例圖對回路2列方程為26i2–2i1–20i3=12

對上方程中出現的受控源的控制變量u，用回路電流表示該控制變量，有u=20(i3–i2)=20(4-i2)=80-20i2解得i2=3.6(A)，u=8(V)。小結：對受控源首先將它看成獨立電源；列出基本方程后，再補一個方程將控制量用回路電流表示。返回本章目錄下一頁前一頁第2-44

頁2.2網孔分析法

補例圖即2.3.1節點電位

在電路中，任選一節點作參考點，其余各節點到參考點之間的電壓稱為相應各節點的電位。圖2.3-1節點法分析用圖

如圖2.3-1所示電路，選節點4作參考點(亦可選其他節點作參考點)，設節點1、2、3的電位分別為v1、v2、v3。返回本章目錄下一頁前一頁第2-45

頁2.3節點電位法

顯然，這個電路中任何兩點間的電壓，任何一支路上的電流，都可應用已知的節點電位求出。例如，支路電流電導G5

吸收的功率

這就說明了:節點電位是完備的變量。返回本章目錄下一頁前一頁第2-46

頁2.3節點電位法

圖2.3-1節點法分析用圖

觀察圖2.3-1可見，對電路中任何一個回路列寫KVL方程，回路中的節點，其電位一定出現一次正號一次負號。

例如圖中

A

回路，由KVL列寫方程為圖2.3-1節點法分析用圖

將上式中各電壓寫為電位差表示，即有這說明：節點電位變量是相互獨立的變量。

返回本章目錄下一頁前一頁第2-47

頁2.3節點電位法

2.3.2節點電位法

以各節點電位為未知量，將各支路電流通過支路VAR用未知節點電位表示，依KCL列節點電流方程(簡稱節點方程)，求解出各節點電位變量，進而求得電路中需要求的電流、電壓、功率等，這種分析法稱為節點電位法。

下面我們以圖2.3-1電路為例來看方程的列寫過程，并從中歸納總結出簡便列寫方程的方法。參考點與各節點電位如圖中所標，設出各支路電流，由支路VAR將各支路電流用節點電位表示，即返回本章目錄下一頁前一頁第2-48

頁2.3節點電位法

圖2.3-1節點法分析用圖(2.3-2)圖2.3-1節點法分析用圖返回本章目錄下一頁前一頁第2-49

頁2.3節點電位法

現在依KCL列出節點1，2，3的KCL方程，設流出節點的電流取正號，流入節點的電流取負號，可得節點1節點2節點3

圖2.3-1節點法分析用圖(2.3-3)將(2.3-2)式代入(2.3-3)式，得(2.3-4)返回本章目錄下一頁前一頁第2-50

頁2.3節點電位法

為了方便應用克萊姆法則求解，將(2.3-4)式按未知量順序重新排列，已知的電流源移至等式右端并加以整理，得

(2.3-5)(2.3-6)(2.3-7)

觀察整理后的方程，以(2.3-5)式為例，變量v1前的系數(G1+G5)恰是與第一個節點相連各支路的電導之和，稱為節點1的自電導，以符號G11表示。

變量v2前系數(-G1),它是1與2節點間的互電導，以符號G12表示，它等于與該兩節點相連的公共支路上電導之和，并取負號。v3

前系數(-G5)是節點1與節點3之間的互電導，以G13表示，它等于與節點1、3相連的公共支路上電導之和，并取負號。

等式右端is1-is2

是流入節點1的電流源的代數和，以符號is11

表示，稱為等效電流源。返回本章目錄下一頁前一頁第2-51

頁2.3節點電位法

圖2.3-1節點法分析用圖計算is11

時是以流入節點1的電流源為正，流出節點1的電流源為負。同理可找出(2.3-6)、(2.3-7)式的自電導、互電導、等效電流源，即歸納總結得到應用節點法分析具有3個獨立節點電路的方程通式(一般式)，即(2.3-8)返回本章目錄下一頁前一頁第2-52

頁2.3節點電位法

圖2.3-1節點法分析用圖如果電路有

n

個獨立節點，也不難得到列寫節點方程的通式為(2.3-9)例2.3-1如圖2.3-2所示電路，求電導G1、G2、G3

中的電流及圖中3個電流源分別產生的功率。圖2.3-2例2.3-1用圖返回本章目錄下一頁前一頁第2-53

頁2.3節點電位法

解

采用節點電位法求解。第一步：選參考點，設節點電位。圖2.3-2例2.3-1用圖對本問題，選節點4為參考點，設節點1、2、3的電位分別為v1、v2,v3。若電路接地點已給出，就不需要再選參考點，只需設出節點電位就算完成了這一步。

第二步：觀察電路，應用(2.3-8)或(2.3-9)式直接列寫方程。一般心算求出各節點的自電導、互電導和等效電流源數值，代入通式寫出方程。

當然寫出求自電導、互電導、等效電流源的過程亦可以。對本例電路，有返回本章目錄下一頁前一頁第2-54

頁2.3節點電位法

將求得的自電導、互電導、等效電流源代入式(2.3-8)，得(2.3-10)

第三步：解方程，求得各節點電位。用克萊姆法則解(2.3-10)方程組

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頁2.3節點電位法

所以，各節點電位分別為第四步：由求得的各節點電位，求題目中需要求的各量。我們先求3個電導上的電流。設通過電導G1、G2、G3

的電流分別為i1、i2、i3,參考方向如圖中所標，由歐姆定律電導形式可算得3個電流分別為

再求電流源產生功率。設ps1、ps2、ps3分別代表電流源is1、is2、is3產生的功率。由計算一段電路產生功率的公式，算得返回本章目錄下一頁前一頁第2-56

頁2.3節點電位法

圖2.3-2例2.3-1用圖例2.3-2如圖2.3-3(a)所示電路中，各電壓源、電阻的數值如圖上所標，求各支路上的電流。圖2.3-3例2.3-2用圖解

在一些電路里，常給出電阻參數和電壓源形式的激勵。在這種情況下應用節點法分析時，可先應用電源互換將電壓源形式變換為電流源形式，各電阻參數換算為電導參數，如圖(2.3-3)(b)所示。返回本章目錄下一頁前一頁第2-57

頁2.3節點電位法

在(b)圖中，設節點3為參考點，并設節點1、2的電位分別為v1,v2,可得方程組為化簡上方程組，得(2.3-11)解(2.3-11)方程組，得返回本章目錄下一頁前一頁第2-58

頁2.3節點電位法

圖2.3-3例2.3-2用圖所以，各節點電位分別為(b)圖所求的各節點電位數值也就是(a)圖相應節點的電位值。在圖2.3-3(a)中設出各支路電流，由支路VAR,得返回本章目錄下一頁前一頁第2-59

頁2.3節點電位法應特別注意：列寫方程時電阻要換算為電導；計算節點等效電流源時，該電流源的數值等于電壓除以該支路的電阻，若電壓源正極性端向著該節點則取正號，反之取負號。例2.3-3對圖2.3-4所示電路，求

u與

i。返回本章目錄下一頁前一頁第2-60

頁2.3節點電位法

圖2.3-3例2.3-2用圖圖2.3-4例2.3-3用圖解本問題電路的1、4節點間有一理想電壓源支路，用節點法分析時可按下列步驟處理：(1)

若原電路沒有指定參考點，可選擇其理想電壓源支路所連的兩個節點之一作參考點，譬如本問題，選節點4作為參考點，這時節點1的電位v1=2V，可作為已知量，這樣可少列一個方程。設節點2、3的電位分別為v2、v3,由電路可寫方程組(2.3-12)返回本章目錄下一頁前一頁第2-61

頁2.3節點電位法

寫(2.3-12)方程組時，把v1=2V當作已知量直接代入了方程組。因為對求電路的節點電位來說，可以把電路中1Ω電阻與4A電流源相串聯的支路等效為一個4A電流源支路，所以與4A電流源串聯的1Ω電阻不能計入節點2、節點3自電導里，也不能計入節點2、3之間的互電導里。解(2.3-12)式方程組，得由歐姆定律，求得電流因為電壓所以電壓返回本章目錄下一頁前一頁第2-62

頁2.3節點電位法

(2)若指定3為參考節點(如圖中所標)，設節點4的電位為v4,并對2V理想電壓源支路設電流ix(將該支路視為理想電流源ix支路)，對這個電路列寫的方程組為圖2.3-4例2.3-3用圖解上4元方程組，得解的結果與(1)相同，但解的過程要比(1)情況麻煩很多！返回本章目錄下一頁前一頁第2-63

頁2.3節點電位法

例2.3-4對圖2.3-5(a)所示電路，求v1,i1。圖2.3-5例2.3-4用圖解應用電導串聯等效及電源互換等效將(a)圖等效為(b)圖。先將受控電流源視為獨立電流源參與列寫基本方程，然后再補一個輔助方程，于是所列方程組為化簡得(輔助方程)

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頁2.3節點電位法

6S和3S串聯等效電導為2S呦！應用克萊姆法則求該方程組返回本章目錄下一頁前一頁第2-65

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頁2.3節點電位法

返回本章目錄下一頁前一頁一、疊加定理1、基本內容：對于具有唯一解的線性電路，多個激勵源共同作用時引起的響應（電路中各處的電流、電壓）等于各個激勵源單獨作用時（其它激勵源的值置零）所引起的響應之和。2、舉例說明：(a)圖所示電路求u。先用節點法求(a)電路與用節點法算的結果完全相同。確信這個結果正確！第2-66

頁前一頁2.4疊加定理、齊次定理、置換定理電流源開路電壓源短路返回本章目錄下一頁前一頁第2-67

頁

上面這個例子的計算只能說驗證了疊加定理對這個具體電路是正確的，下面證明對于具有唯一解的任意線性電路，疊加定理均是正確的。3、證明：設具有唯一解的任意線性電路的網孔方程為（若含有電流源，可仿（2.2-11）式列方程）(1)應用克萊姆法則解上方程組求i1,分別求特征行列式及相應的代數余子式為,第2-67

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頁2.4疊加定理、齊次定理、置換定理返回本章目錄下一頁前一頁第2-68

頁式中：Δj1為Δ中第一列第j行元素對應的代數余子式，j=1，2，…，m，例如usjj為第j個網孔獨立電壓源的代數和，所以第2-68

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頁(2)2.4疊加定理、齊次定理、置換定理返回本章目錄下一頁前一頁若令k11=Δ11/Δ，k21=Δ21/Δ，…，km1=Δm1/Δ，代入（2）式中，得式中，k11，k21，…，km1是與電路結構、元件參數及線性受控源有關的常數。（3）式說明了第一個網孔中的電流i1可以看作是各網孔等效獨立電壓源分別單獨作用時在第一個網孔所產生電流的代數和。同理，其他網孔電流都可如此看待。

因電路中任意支路的電流是流經該支路網孔電流的代數和，又各網孔等效獨立電壓源等于各網孔內獨立電壓源的代數和，所以電路中任意支路的電流都可以看作是電路中各獨立源單獨作用時在該支路中產生電流的代數和；

電路中任意支路的電壓與支路電流呈一次函數關系，所以電路中任一支路的電壓也可看作是電路中各獨立源單獨作用時在該支路兩端產生電壓的代數和。由此可見，對任意線性電路疊加定理都是成立的。(3)第2-69

頁返回本章目錄返回本章目錄返回本章目錄下一頁返回本章目錄下一頁2.4

疊加定理、齊次定理、置換定理返回本章目錄下一頁第2-70

頁前一頁4、在應用疊加定理時應注意：(1)疊加定理僅適用于線性電路求解電壓和電流響應而不能用來計算功率.(2)應用疊加定理求電壓、電流是代數量的疊加，應特別注意各代數量的符號.(3)當一獨立源作用時，其他獨立源都應等于零(即獨立理想電壓源短路，獨立理想電流源開路)。(4)若電路中含有受控源，應用疊加定理時，受控源不要單獨作用(這是勸告!若要單獨作用只會使問題的分析求解更復雜化)，在獨立源每次單獨作用時受控源要保留其中，其數值隨每一獨立源單獨作用時控制量數值的變化而變化。

(5)疊加的方式是任意的，可以一次使一個獨立源單獨作用，也可以一次使幾個獨立源同時作用，方式的選擇取決于對分析計算問題簡便與否。例2.4–1如圖(a)所示電路，求電壓uab和電流i1。第2-70

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頁2.4疊加定理、齊次定理、置換定理返回本章目錄下一頁前一頁第2-71

頁解將(a)圖電路作分解如(b)、(c)電路所示。在(b)、(c)圖中分別求得uab’、i1’，uab”、i1”由疊加定理得第2-71

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頁2.4疊加定理、齊次定理、置換定理返回本章目錄下一頁前一頁第2-72

頁例2.4-2如圖(a)電路，含有一受控源，求電流i,電壓u。解將(a)圖電路作分解如(b)、(c)電路所示。特別注意在(b)與(c)圖中保留受控源。在(b)圖中應用歐姆定律，求得A對(c)圖中回路A列KVL方程，有第2-72

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頁2.4疊加定理、齊次定理、置換定理返回本章目錄下一頁前一頁第2-73

頁二、齊次定理1、基本內容:對于具有唯一解的線性電路，當只有一個激勵源（獨立電壓源或獨立電流源）作用時，其響應（電路任意處的電壓或電流）與激勵成正比。io=K1uS(常量K1單位為S)uo=K2uS(常量K2無單位)io=K3iS(常量K3無單位)uo=K4iS(常量K4單位為Ω)齊次定理內容的文字敘述可歸納圖示為下列兩種情況第2-73

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頁2.4疊加定理、齊次定理、置換定理返回本章目錄下一頁前一頁第2-74

頁2、應用舉例2.4-5如圖電路，N是不含獨立源的線性電路，當US=100V時，I1=3A，U2=50V，R3消耗功率P3=60W，今若US降為50V，試求相應的I1’、U2’和P3’。解：

電路中N是不知內部結構的無獨立源的網絡，所以列寫方程的各種方法均不能用來求解該問題。但該電路只有一個獨立源，根據齊次定理，各處響應與該激勵成正比，即激勵增加或減少多少倍，則各處電流電壓也相應增加或減少多少倍。現激勵降為原來的50/100=0.5倍，所以有I1’=0.5I1=0.5×3=1.5(A)；U2’=0.5U2=0.5×50=25V;I3計算功率就不能簡單的正比例關系計算，但可這樣處理：第2-74

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頁2.4疊加定理、齊次定理、置換定理返回本章目錄下一頁前一頁第2-75

頁例2.4-6如圖梯形電阻電路，求電流I1。解：

該電路只有一個獨立源，看起來是電阻串并聯簡單問題，但真要求出總電流再經3次分流求I1，過程相當麻煩。根據齊次定理，各處響應與該激勵成正比。故采用逆推方式，設定I1推出US，找出I1與US之間的比例常數。再代入現給出的Us數值求得I1。I7=I5+I6=15+41=56AUS=2I7+Uc=2×56+41=153V故k=I1/US=1/153S所以，當US=306V時電流

I1=kUS=306/153=2A提醒：逆推思維方式與齊次定理的結合，巧妙地解答了本問題。就本問題你可用串并聯等效、經多次分流計算計算，與本例的計算做個比較。設I1=1A，則利用OL，KCL，KVL逐次求得

Ua=(2+1)I1=3V

I2=Ua/1=3AI3=I1+I2=1+3=4A

Ub=2I3+Ua=2×4+3=11VI4=Ub/1=11A

I5=I3+I4=4+11=15AUC=2I5+Ub=2×15+11=41V

2.4疊加定理、齊次定理、置換定理I6=Uc/1=41A返回本章目錄下一頁前一頁第2-76

頁3、論述齊次定理的正確性在證明疊加定理時得到的式(3)中，令us11=us，us22=0、…、usmm=0，則有i1=k11us顯然，電流i1只與激勵源us成正比例關系。同理可證其他的響應電流或電壓也只與勵源us成正比例關系。4、應用齊次定理時注意：(1)齊次定理只適用于具有唯一解的線性電路，不能用于非線性電路。(2)電路的響應(response)也稱為輸出(output)，指電路中任意處的電流或電壓；功率不是電路響應，與激勵源之間不存在線性關系。(3)激勵源(excitation)也稱為輸入(input)，指電路中的獨立電壓源或獨立電流源；受控源不是激勵源。(4)齊次定理常與疊加定理相結合求解一類典型的問題。請看例2.4-7。第2-76

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頁2.4疊加定理、齊次定理、置換定理返回本章目錄下一頁前一頁第2-77

頁例2.4-7

如圖電路，N是含有獨立源的線性電路，已知當us=6V，iS=0時，開路電壓uo=4V；當us=0V，iS=4A時，uo=0V；當us=-3V，iS=-2A時，uo=2V；求當us=3V，iS=3A時的電壓uo解：此類型的問題，只能應用齊次定理與疊加定理相結合求解。將激勵源分為三組：①電壓源uS,②電流源iS,③N內的全部獨立源。設僅由電壓源uS單獨作用時引起的響應為uo’，根據齊次定理，令uo’=K1

uS僅由電流源iS單獨作用時引起的響應為uo”，根據齊次定理，令uo”=K2

iS；僅由N內部所有獨立源引起的響應記為uo”’，于是，根據疊加定理，有uo=K1

uS+K2

iS+uo”’(1)將已知條件代入得6K1+uo”’=44K2+uo”’=0-3K1-2K2+uo”’=2解得uo”’=2VK2=-1/2ΩK1=1/3前一頁下一頁前一頁2.4疊加定理、齊次定理、置換定理將K1、K2、uo”’及us=3V、is=3A代入式(1)，得uo=K1

uS+K2

iS+uo”’=(1/3)×3＋（－1/2）×3＋2＝1.5V返回本章目錄下一頁前一頁第2-78

頁三、替代定理替代定理也稱為置換定理，它對于簡化電路的分析非常有用。它既可用于線性電路，也可用于非線性電路。1、替代定理的基本內容具有唯一解的電路中，若知某支路k的電壓為uk，電流為ik，且該支路與電路中其他支路無耦合,則無論該支路是由什么元件組成的，都可用下列任何一個元件去替代：(1)電壓等于uk的理想電壓源；(2)電流等于ik的理想電流源；(3)阻值為uk/ik的電阻。替代以后該電路中其余部分的電壓、電流、功率均保持不變。右圖為替代定理三種情況的示意圖第2-78

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頁2.4疊加定理、齊次定理、置換定理返回本章目錄下一頁前一頁第2-79

頁2、替代定理的正確性可作如下理解：(1)在數學中我們知道，對給定的有唯一解的一組方程，其中任何一個未知量，如用它的解答值來代替，不會引起方程中其他任何未知量的解答在量值上有所攺變。(2)對于電路問題，依KCL、KVL列出方程，考慮電路是有唯一解的，即所列方程組有唯一解，電路中的支路電流、電壓是未知量，把k支路用其值等于k支路唯一解電壓值的理想電壓源替代（參見示意圖），就相當于把方程組中某未知量用其解答來代替。

(3)而理想電壓源的輸出電流可以是任意的，它可以滿足該電路對支路電流的約束要求。所以，這種替代不會使其余任何一個支路電壓、電流發生變化。同理，也可推斷替代定理其他兩種形式亦是正確的。

3、應用舉例例2.4-8圖（a）所示電路，求電流i1。第2-79

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頁2.4疊加定理、齊次定理、置換定理返回本章目錄下一頁前一頁第2-80

頁

解

這個電路看起來比較復雜，但如果將短路線壓縮，ab合并為一點，3Ω與6Ω電阻并聯等效為一個2Ω的電阻，如圖（b）所示。

再把（b）圖中虛線框起來的部分看作一個支路k，且知這個支路的電流為4A（由（b）圖中下方4A理想電流源限定），應用替代定理把支路k用4A理想電流源替代，如（c）圖所示。

再應用電源互換將（c）圖等效為（d）圖，即可解得如果等效概念熟練之后，在求解問題時并不需要畫出這么多等效圖，有些過程只需心算即可。第2-80

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頁2.4疊加定理、齊次定理、置換定理返回本章目錄下一頁前一頁第2-81

頁

例2.4-9如圖(a)所示電路，巳知uab=0,求電阻R。解本電路中有一個未知電阻R，直接應用網孔法或節點法求解比較麻煩。這是因為未知電阻R在所列方程的系數里，整理化簡方程的工作量比較大。

如果根據已知的條件求得ab支路電流，即先用1A理想電流源替代ab支路，如（b）圖所示。再應用節點電位法求解就比較簡便。

第2-81

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頁2.4疊加定理、齊次定理、置換定理返回本章目錄下一頁前一頁第2-82

頁對(b)圖列寫節點方程因uab=0，∴vb＝va＝8V在（a）圖中設出支路電流i1,iR電壓uR。由歐姆定律及KCL，得說明:(1)在分析電路時，常用替代定理化簡電路，輔助其他方法求解問題

。(2)在推導一些新的定理與等效變換方法時也常用到它

。(3)實際工程中，在測試電路或試驗設備中采用假負載（或稱模擬負載）的理論根據，就是替代定理。(4)替代定理并不滿足等效一般定義中的等效條件。因被替代的k支路與替代電路元件不具有相同的VAR。第2-82

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頁2.4疊加定理、齊次定理、置換定理返回本章目錄下一頁前一頁第2-83

頁2.5等效電源定理等效電源定理說明的就是如何將一個線性有源二端電路等效成一個電源的重要定理。如果將有源二端電路等效成電壓源形式，應用的則是戴維寧定理；如果將有源二端電路等效成電流源形式，應用的則是諾頓定理。一、戴維寧定理1、基本內容：一個含獨立源、線性受控源、線性電阻的二端電路N，對其兩個端子來說都可等效為一個理想電壓源串聯內阻的模型。其理想電壓源的數值為有源二端電路N的兩個端子間的開路電壓uoc，串聯的內阻為N內部所有獨立源等于零（理想電壓源短路，理想電流源開路），受控源保留時兩端子間的等效電阻Req，常記為Ro。以上的表述可用圖1來表示。N負載ab負載abR0uoc(b)(a)第2-83

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頁圖1戴維寧2.5等效電源定理返回本章目錄下一頁前一頁第2-84

頁2.如何求uoc？(1)先將負載支路斷開，設出uoc的參考方向，如圖2所示。Nabuoc(2)計算該電路的端電壓uoc

：原則上前所學方法均可使用。但視具體電路形式①或采用串、并聯等效，分流分壓關系結合KCL、KVL求；②或采用電源互換，疊加定理，替代定理求；

③或采用網孔法，節點法求。3.求R0常用下述方法：(1)開路、短路法。

①在求得電路N兩端子間開路電壓uoc后，將兩端子短路，并設端子短路電流isc參考方向，如圖3所示。②應用所學的任何方法求出isc。

③等效內阻abiscN注意：若uoc參考方向a為高電位端，則isc的參考方向設成從a流向b

第2-84

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頁N內所有的獨立源、受控源均保留。第2-84

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頁圖2

圖32.5等效電源定理返回本章目錄下一頁前一頁第2-85

頁(2)外加電源法。

①令N內所有的獨立源為0（理想電壓源短路，理想電流源開路），若含有受控源，受控源要保留，這時的二端電路用N0表示；②在N0兩端子間外加電源

若加電壓源u，就求電流i

，如(a)圖所示。若加電流源i

，就求電壓u

，如(b)圖所示。N0i(b)uN0iu(a)③

N0兩端子間等效電阻說明:(1)上述講的求R0的兩種方法具有一般性。即是說無論N內含不含受控源都可用這兩種辦法求R0。

(2)若二端電路N內不含受控源，則由N變為N0的電路是不含受控源的純電阻二端電路，這種情況的絕大多數都是可用電阻串、并聯等效更為簡單的方法求得R0的，而不再用前述的“開路、短路法”、“外加電源法”求R0。

(3)若N內含有受控源，這種情況一般使用“開路、短路法”或“外加電源法”求等效內阻R0

。注意！u、i參考方向對N0為關聯假設。

圖42.5等效電源定理返回本章目錄下一頁前一頁第2-86

頁4、證明

圖5為線性有源二端電路N與負載相連，設負載上電流為i，電壓為u。

N負載abui圖5二端電路N接負載電路

根據置換定理將負載用理想電流源i置換，如圖6（a）所示，置換后應不影響N中各處的電壓、電流。由疊加定理，電壓u可分成兩部分，寫為N(b)uN(a)iN0(c)iu’u’’圖6證明戴維寧定理用圖(1)第2-86

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頁2.5等效電源定理返回本章目錄下一頁前一頁第2-87

頁u′由N內所有獨立源共同作用時在端子間產生的電壓即是端子間的開路電壓，如圖6（b）所示。所以

u″是N內所有獨立源為零，僅由電流源i作用在端子間產生的電壓，如圖6（c）所示。對N0二端電路來說，把它看成一個等效電阻Ro，且u″與i對Ro參考方向非關聯，由歐姆定律可得(2)(3)將u′、u″代入（1）式，得(4)根據（4）式可畫出電路模型如圖7所示。

負載Rouocui圖7戴維南等效源模型圖戴維寧定理得證。第2-87

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頁2.5等效電源定理返回本章目錄下一頁前一頁第2-88

頁二、諾頓定理1、基本內容：一個含獨立電源、線性受控源和線性電阻的二端電路N，對兩個端子來說都可等效為一個理想電流源并聯內阻的模型。其理想電流源的數值為有源二端電路N的兩個端子短路時其上的電流isc，并聯的內阻等于N內部所有獨立源為零時電路兩端子間的等效電阻，記為Ro。

以上的表述可用圖8來表示。N負載(a)負載isc(b)R0uiui

圖8isc電流源并聯Ro模型稱二端電路N的諾頓等效源。求isc，Ro的示意圖分別如圖9(a)、(b)所示，求法與戴維南定理中講述的方法相同。這里從略。NiscN0R0(a)(b)

圖9第2-88

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頁2.5等效電源定理返回本章目錄下一頁前一頁第2-89

頁2、證明：諾頓定理可采用與戴維寧定理類似的方法證明。用理想電壓源u置換負載，再應用疊加定理求電流i即可證明。

這里采用更簡便的方法證明，即根據二端電路N的等效電壓源形式，通過電源互換即可得到諾頓等效電源形式，如圖10所示。

NabuocRouocRoabab(a)(b)(c)

圖10

應用戴維寧定理、諾頓定理分析電路的關鍵是求二端電路N的開路電壓uoc、等效內阻Ro、短路電流isc。第2-89

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頁下面舉幾個典型的例子進一步說明這兩個定理的應用，并從中歸納出這兩個定理分析電路的簡明步驟。2.5等效電源定理返回本章目錄下一頁前一頁第2-90

頁三、等效電源定理應用舉例例2.5-1圖（a）所示電路，負載電阻RL可以改變，求RL=1Ω時其上的電流i；若RL改變為6Ω，再求電流i。24V4Ω4Ω6Ω3Ω1V1ΩRLab24V4Ω4Ω6Ω3Ωab4Ω4Ω6Ω3ΩabR0uocabRL1V(a)(b)(c)(d)iuocu1u2i

例2.5-1用圖第2-90

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頁前一頁返回本章目錄2.5等效電源定理返回本章目錄下一頁前一頁第2-91

頁解:（1）求開路電壓uoc。自a、b處斷開待求支路，設uoc，u1，u2的參考方向如圖（b）所示。分壓求得（2）求等效內阻Ro。

將（b）圖中電壓源短路，電路變為（c）圖。應用電阻串、并聯等效，求得（3）由求得的uoc、Ro畫出等效電壓源,接上待求支路，求待求量。由（d）圖求得第2-91

頁返回本章目錄2.5等效電源定理返回本章目錄下一頁前一頁第2-92

頁由于RL在二端電路之外，故當RL改變為6Ω時，二端電路的uoc、Ro均不變化，所以只需將圖（d）中RL由1Ω變為6Ω，從而可以非常方便地求得此時電