4-1第四章

測量不確定度

4-2教學目標本章介紹用測量不確定度來評定和表示測量結(jié)果的基本概念和方法,要求正確掌握測量不確定度的若干名詞術(shù)語,會分析不確定度的來源,掌握標準不確定度的兩類評定、合成標準不確定度和擴展不確定度的求取方法,還應學會正確表示測量結(jié)果的方式。4-3教學重點和難點不確定度的基本概念

A類不確定度評定B類不確定度評定自由度有效自由度合成不確定度擴展不確定度測量結(jié)果的表示方法4-4

第一節(jié)

測量不確定度的基本概念

4-5一、概述誤差概念和誤差分析在用于評定測量結(jié)果時,有時顯得既不完備,也難于操作。

一種更為完備合理、可操作性強的評定測量結(jié)果的方法。

尋求誕生測量不確定度

1.研究不確定度的必要性：4-62.不確定度的由來1927年德國物理學家海森堡提出測不準關(guān)系,也稱為不確定度關(guān)系。1953年Y.Beers在《誤差理論導引》一書中給出實驗不確定度。

1970年C.F.Dietrich出版了《不確定度、校準和概率》。

1973年英國國家物理實驗室的J.E.Burns等指出,當討論測量準確度時,宜用不確定度。1978年國際計量局發(fā)出不確定度征求意見書,征求各國和國際組織的意見。1980年,國際計量局提出了實驗不確定度建議書INC-1（1980）。4-7不確定度的由來(續(xù))

1981年10月國際計量委員會提出了建議書（CI-1981）,同意INC-1。1986年組成國際不確定度工作組,負責制定用于計量、生產(chǎn)、科學研究中的不確定度指南。1993年出版了《測量不確定度表示指南》（GuidetotheExpressionofUncertaintyinMeasurement,簡稱GUM）。1999年中國人民解放軍總裝備部批準發(fā)布了GJB3756-99《測量不確定度的表示及評定》。1999年國家質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督局批準發(fā)布了JJF1059-1999《測量不確定度評定與表示》,這規(guī)范原則上等同采用了GUM的基本內(nèi)容。4-83.不確定度的應用領(lǐng)域（1）一些產(chǎn)品生產(chǎn)過程中的質(zhì)量檢測、質(zhì)量保證與控制,以及商品流通領(lǐng)域中的商品檢驗等有關(guān)質(zhì)量監(jiān)督、質(zhì)量控制和建立質(zhì)量保證體系的質(zhì)量認證活動；（2）建立、保存、比較溯源于國家標準的各級標準、儀器和測量系統(tǒng)的校準、檢定、封緘和標記等計量確認活動；4-9（3）基礎(chǔ)科學和應用科學領(lǐng)域中的研究、開發(fā)和試驗,以及實驗室認可活動；（4）科學研究與工程領(lǐng)域內(nèi)的測量,以及與貿(mào)易結(jié)算、醫(yī)療衛(wèi)生、安全防護、環(huán)境與資源監(jiān)測等有關(guān)的其他測量活動；（5）用于對可以用單值和非單值表征被測量的測量結(jié)果的評定,以及對測量和測量器具的設(shè)計和合格評定。不確定度的應用領(lǐng)域(續(xù))

4-10二、測量不確定度定義1.測量不確定度（uncertaintyofmeasurement）測量結(jié)果帶有的一個參數(shù),用于表征合理地賦予被測量值的分散性。該參數(shù)是一個表征分散性的參數(shù)。它可以是標準差或其倍數(shù),或說明了置信水平的區(qū)間半寬度。該參數(shù)一般由若干個分量組成,統(tǒng)稱為不確定度分量該參數(shù)是通過對所有若干個不確定度分量進行方差和協(xié)方差合成得到。所得該參數(shù)的可靠程度一般可用自由度的大小來表示

該參數(shù)是用于完整地表征測量結(jié)果的

4-112.不確定度的來源（1）對被測量的定義不完整或不完善

（2）復現(xiàn)被測量定義的方法不理想

（3）測量所取樣本的代表性不夠

（4）對測量過程受環(huán)境影響的認識不周全,或?qū)Νh(huán)境條件的測量與控制不完善（5）對模擬式儀器的讀數(shù)存在人為偏差

（6）儀器計量性能上的局限性

4-12（7）賦予測量標準和標準物質(zhì)的標準值的不準確

（8）引用常數(shù)或其它參量的不準確

（9）與測量原理、測量方法和測量程序有關(guān)的的近似性或假定性

（10）在相同的測量條件下,被測量重復觀測值的隨機變化不確定度的來源（續(xù)）

4-13（11）對一定系統(tǒng)誤差的修正不完善

（12）測量列中的粗大誤差因不明顯而未剔除

（13）在有的情況下,需要對某種測量條件變化,或者是在一個較長的規(guī)定時間內(nèi),對測量結(jié)果的變化作出評定。應把該相應變化所賦予測量值的分散性大小,作為該測量結(jié)果的不確定度。不確定度的來源（續(xù)）

4-143.不確定度評定方法的分類

A類評定（typeAevaluationofuncertainty）

指用對樣本觀測值的統(tǒng)計分析進行不確定度評定的方法。

B類評定（typeBevaluationofuncertainty）

指用不同于統(tǒng)計分析的其他方法進行不確定度評定的方法。

4-154.幾個相關(guān)的名詞與概念標準不確定度（standarduncertainty）

用標準差表示測量結(jié)果的不確定度,一般用符號u來表示。對于不確定度分量,常在u上加小腳標進行表示,如u1,u2,……un等。合成（標準）不確定度（combinedstandarduncertainty）

當測量結(jié)果由若干個其他量的值求得時,測量結(jié)果的合成標準不確定度等于這些量的方差和（或）協(xié)方差加權(quán)和的正平方根,其中權(quán)系數(shù)按測量結(jié)果隨這些量變化的情況而定。用符號uc表示。4-16擴展不確定度（expandeduncertainty）

規(guī)定了測量結(jié)果取值區(qū)間的半寬度,該區(qū)間包含了合理賦予被測量值的分布的大部分。用符號U或UP表示。包含因子（coveragefactor）

為獲得擴展不確定度,對合成標準不確定度所乘的倍數(shù)因子。常用符號k或kP來表示。在國內(nèi),有的也其稱為覆蓋因子,其取值一般在2與3之間。幾個相關(guān)的名詞與概念

4-17三、測量不確定度和誤差有區(qū)別,有聯(lián)系定義分類誤差是測量不確定度的基礎(chǔ)不確定度是對經(jīng)典誤差理論的補充4-184-19第二節(jié)

標準不確定度評定

4-20一、標準不確定度的A類評定采用統(tǒng)計分析的方法評定標準不確定度,用實驗標準差或樣本標準差表示。單次測量值作為被測量的估計值

當用n次測量的平均值作為被測量的估計值

單次測量的實驗標準差

n次測量的實驗標準差計算實驗標準差的方法:貝塞爾公式，極差法4-21二、標準不確定度的B類評定

B類評定方法獲得不確定度,不是依賴于對樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計,他必然要設(shè)法利用與被測量有關(guān)的其他先驗信息來進行估計。因此,如何獲取有用的先驗信息十分重要,而且如何利用好這些先驗信息也很重要4-22①

過去的測量數(shù)據(jù)⑤測量儀器的特性和其他相關(guān)資料等；⑥測量者的經(jīng)驗與知識；⑦假設(shè)的概率分布及其數(shù)字特征。

1.B類評定的信息來源②

校準證書、檢定證書、測試報告及其他證書文件③

生產(chǎn)廠家的技術(shù)說明書④

引用的手冊、技術(shù)文件、研究論文和實驗報告中給出的參考數(shù)據(jù)及不確定度值等4-232.B類評定的方法（1）若由先驗信息給出測量結(jié)果的概率分布,及其“置信區(qū)間”和“置信水平”置信區(qū)間的半寬度

置信水平的包含因子

（2）若由先驗信息給出的測量不確定度U為標準差的k倍時

（3）若由先驗信息給出測量結(jié)果的“置信區(qū)間”及其概率分布

置信區(qū)間的半寬度

置信水平接近1的包含因子

4-24幾種常見誤差的分布情形及其標準不確定度估計（1）舍入誤差

舍入誤差的最大誤差界限為0.5（末）,按均勻分布考慮,故標準不確定度為（2）引用誤差

測量上限為的級電表,其最大引用誤差限（即最大允許不確定度）為按均勻分布考慮,故標準不確定度為4-25（3）示值誤差

某些測量儀器是按符合“最大允許誤差”要求而制造的,經(jīng)檢驗合格,其最大允許誤差為按均勻分布考慮,故標準不確定度為（4）儀器基本誤差

設(shè)某儀器在指定條件下對某一被測量進行測量時,可能達到的最大誤差限為按均勻分布考慮,故標準不確定度為幾種常見誤差的分布情形及其標準不確定度估計4-26（5）儀器分辨力設(shè)儀器的分辨力為,則其區(qū)間半寬度為按均勻分布考慮,故標準不確定度為（6）儀器的滯后滯后引起的標準不確定度為幾種常見誤差的分布情形及其標準不確定度估計4-27設(shè)校準證書給出名義值10Ω的標準電阻器的電阻,測量結(jié)果服從正態(tài)分布,置信水平為99％。求其標準不確定度。【例7-1】【解】根據(jù)題意,該標準電阻器的置信區(qū)間半寬度查表得計算4-28三、自由度及其確定

4-291.研究自由度的意義由于不確定度是用標準差來表征,因此,不確定度的評定質(zhì)量就取決于標準差的可信賴程度。而標準差的信賴程度與自由度密切相關(guān),自由度愈大,標準差愈可信賴。所以,自由度的大小就直接反映了不確定度的評定質(zhì)量不確定度的評定質(zhì)量標準差的可信賴程度自由度4-302.自由度的概念對于一個測量樣本,自由度等于該樣本數(shù)據(jù)中n個獨立測量個數(shù)減去待求量個數(shù)1。對某量X進行n次獨立重復測量,用貝塞爾公式估計實驗標準差的自由度為n-1。按估計相對標準差來定義的自由度稱為有效自由度（或）情形1情形2情形3自由度（degreesoffreedom）

計算總和中獨立項個數(shù),即總和的項數(shù)減去其中受約束的項數(shù)。4-31A類評定的自由度

最常用的是按貝塞爾公式計算標準差的自由度公式

２34567891015201234567891419Bessel公式最大誤差法極差法1.92.63.33.94.65.25.86.46.98.39.50.91.82.73.64.55.36.06.87.510.513.1表7-3幾種A類評定不確定度的自由度

10.94-32B類評定的自由度

對于B類評定的不確定度,其自由度一般通過相對標準不確定度來折算。00.100.200.250.300.400.5050128632自由度表7-4相對標準不確定度與自由度的關(guān)系

相對標準不確定度4-33用游標卡尺對某一試樣的尺寸重復測量10次，得到的測量列如下（單位:mm）75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08求該重復測量中隨機變化引起的標準不確定度分量及其自由度。【例7-2】【解】本例估計的是重復測量中隨機變化引起的標準不確定度分量,可根據(jù)已知樣本數(shù)據(jù)進行Ａ類評定4-34按極差法求取極差

查表3-1得,則標準差

查表7-3其自由度

用兩種方法估計得到的標準差很接近,但自由度有明顯不同,可見用貝塞爾公式更好一些。由貝塞爾公式其自由度計算結(jié)果4-35某激光管發(fā)出的激光之波長,經(jīng)檢定為后來又用更精確的方法,測得該激光管的波長為,試估計原檢定波長的標準不確定度及其自由度。【例7-3】【解】查表7-3其自由度用了更精確的方法測量激光管的波長,故可認為約定真值為則原檢定波長的真誤差為可用最大誤差法進行Ａ類評定,因n=1,查表得則標準差即原檢定波長的標準不確定度

4-36第三節(jié)測量不確定度的合成

4-37一、

合成標準不確定度合成標準不確定度

當測量結(jié)果受多個因素影響而形成若干個不確定度分量時,測量結(jié)果的標準不確定度通過該多個標準不確定度分量合成得到的。第ｉ個標準不確定度分量

第ｉ和第j個標準不確定度分量之間的相關(guān)系數(shù)

不確定度分量的個數(shù)

合成標準不確定度

4-38間接測量的合成標準不確定度公式

輸出量估計值的標準不確定度

輸入量估計值和的標準不確定度

函數(shù)在處的偏導數(shù),稱為靈敏系數(shù),在誤差或不確定合成公式中稱其為傳遞系數(shù)；和在處的相關(guān)系數(shù)

1.標準不確定度傳播公式4-39不確定度分量合成公式直接測量的不確定度分量

直接測量的不確定度分量的合成公式記4-40簡化當和相互獨立時,

標準不確定度傳遞公式

4-41常見的間接測量函數(shù)模型（1）設(shè),各之間互不相關(guān),則有（2）設(shè),各之間互不相關(guān),則有相對標準不確定度的表示形式

4-422.有效自由度合成標準不確定度的自由度稱為有效自由度,一般用來表示。設(shè)被測量有個影響測量結(jié)果的分量,記為,當各分量均服從正態(tài)分布,且相互獨立時,可根據(jù)韋爾奇-薩特思韋特（Welch-Satterthwaite）公式來計算其合成標準不確定度的有效自由度。4-43【例7-4】某測量結(jié)果含5個不確定度分量,每個分量的大小及自由度見下表,它們之間的協(xié)方差均為零,求其合成標準不確定度和有效自由度。來源序號12345合成結(jié)果基準尺讀數(shù)電壓表電阻表溫度1.01.01.42.02.05104161不確定度符號數(shù)值符號數(shù)值自由度3.57.84-44【解】根據(jù)題意,按式(1)計算合成標準不確定度有效自由度計算結(jié)果4-45被測電壓的已修正結(jié)果為,其中重復測量6次的算術(shù)平均值=0.928571V,A類標準不確定度為。修正值,修正值的標準不確定度由B類評定方法得到,,估計的相對誤差25％。試求V的合成標準不確定度、相對標準不確定度及其自由度。【例7-5】【解】由合成標準不確定度的計算公式得

4-46自由度查B類評定自由度表得

有效自由度

相對標準不確定度為

計算結(jié)果4-47測量環(huán)路正弦交變電位差幅值V,電流幅值I,各重復測量5次,得到如下表所示的數(shù)據(jù),相關(guān)系數(shù)ρ=－0.36,試根據(jù)測量值,求阻抗R的最佳值及其合成標準不確定度。【例7-6】5.007次數(shù)123454.9945.0054.9904.99919.63919.663電位差幅值V電流幅值mA19.64019.68519.6754-48【解】根據(jù)算術(shù)平均值和標準差的計算公式得

算術(shù)平均值和標準差的計算4-49計算結(jié)果電阻的最佳值為

合成標準不確定度

相對標準不確定度為

4-50二、展伸不確定度概述展伸不確定度的兩種方法表示

在傳統(tǒng)場合多用合成標準不確定度來表示測量結(jié)果的分散性,但在許多領(lǐng)域,常要求用擴展不確定度來表示合成標準不確定度乘以包含因子

給定的置信概率或置信水平4-51包含因子的確定方法自由度法超越系數(shù)法簡易法擴展不確定度表示方法中,關(guān)鍵是確定包含因子常用方法4-52自由度法

有效自由度

置信水平,常取95%或99%擴展不確定度近似按下兩式表示

包含因子可取為

當足夠大時,或

4-53設(shè)，輸入量、、服從正態(tài)分布，分別用獨立重復測量了=10、=5.=15次的算術(shù)平均值、和作為它們的估計值，相對標準不確定度分別為=0.25%、=0.57%、=0.82%，試計算相對合成標準不確定度、有效自由度和擴展不確定度（置信水平為95%）。【例7-7】【解】根據(jù)合成標準不確定度的計算公式,得4-54由于

則根據(jù)有效自由度計算

查t分布表得

最后得相對擴展不確定度

計算結(jié)果4-55簡易法

不知道自由度和有關(guān)合成分布的信息,被測量值的估計區(qū)間及其置信水平。怎么辦？取包含因子k=2或3簡易法4-56【例7-9】用卡尺對某工件直徑重復測量了三次,結(jié)果為15.125,15.124和15.127mm。試寫出其測量的最佳估計值和測量重復性。已知該卡尺的產(chǎn)品合格證書上標明其最大允許誤差為0.025mm,假設(shè)測量服從三角分布（置信因子取）,估計其不可信賴程度為25%。試表示其測量結(jié)果。【解】（1）計算算術(shù)平均值和測量重復性

因,用極差法估計s,有4-57（2）用A類評定方法估計測量不確定度分量之一計算算術(shù)平均值的標準偏差,即多次測量的重復性（3）用B類評定方法估計測量不確定度分量之二

（4）求合成標準不確定度

合成不確定度的計算4-58求展伸不確定度自由度法

其不可信賴程度為25%,卡尺允許誤差極限分量的自由度為重復測量分量的自由度為

則有效自由度擴展不確定度

4-59簡易法取,有展伸不確定度的計算4-60三、不確定度的報告一個完整的測量結(jié)果被測量的最佳估計值,一般由算術(shù)平均值給出有關(guān)測量不確定度的信息

4-611.測量結(jié)果報告的基本內(nèi)容測量不確定度用合成標準不確定度表示

合成標準不確定度

自由度

測量不確定度用擴展不確定度表示

擴展不確定度U

合成標準不確定度

自由度

包含因子置信水平

＋＋＋＋＋4-622.測量結(jié)果的表示方式

4-63１）合成標準不確定度表示方式某標準砝碼的質(zhì)量,其測量的估計值合成標準不確定度,自由度(1),或,(2)(3)括號內(nèi)的數(shù)值按標準差給出,其末位與測量結(jié)果的最低位對齊括號內(nèi)的數(shù)值按標準差給出,單位同測量結(jié)果一樣4-642）擴展不確定度表示方式

某標準砝碼的質(zhì)量,其測量的估計值合成標準不確定度,自由度包含因子,擴展不確定度或或或4-65包含因子或或擴展不確定度表示方式

擴展不確定度4-663）數(shù)字位數(shù)與數(shù)據(jù)修約規(guī)則

在表示測量結(jié)果時，究竟取幾位數(shù)字為好呢？總結(jié)以下幾條原則(1)最后報告的不確定度有效位數(shù)一般不超過兩位當保留一位有效數(shù)字時,按“三分之一原則”進行修約。多余部分推薦當保留兩位有效數(shù)字時,按“不為零即進位”；0.0011010.0012

0.0010010.001

4-67多余部分按“四舍六入、逢五取偶”的原則進行舍棄截斷或進位截斷。

(2)被測量的估計值的位數(shù)也要進行相應的修約修約后的不確定度數(shù)值的位數(shù)對齊被測量的估計值

已修約的不確定度的數(shù)據(jù)修約的被測量的估計值20.000540.001220.000520.000560.001220.000620.000550.001220.0006四舍六入逢五取偶被測量的估計值的位數(shù)的修約4-68在最終表示測量結(jié)果的場合，規(guī)范和完整的表示方式有以下兩種:（1）區(qū)間半寬度表示方式:測量結(jié)果=最佳估計值±測不準部分（單位）（置信水平，自由度）（2）標準偏差表示方式:測量結(jié)果=最佳估計值（測不準部分）（單位）（自由度）測量結(jié)果的最終表示4-69【例7-10】

用數(shù)字電壓表測