2021年中學教師資格(數學學科知識與教學能力)考試題庫

(完整版)

一、單選題

設，(力可微，則下列等式成立的是

J/Xx)dx=/(x)

A.

Jd/(x)=/(x)

B.」

dj/(x)dx=/(x)

?

f/(x)dx=/(x)

1.,

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：D

A選項，Jr(x)dx=f(x)+cd

B選項，jd/(x)=j/'(x)dx=/(x)+c^

C選項，dj/(x)dx=/(x)dx^

D選項，/_j/(x)dx=f(x)正確。“

解析：dx」

2若QeH，貝!J"。=1"是"。(。-1)=0"的()

A、充分而不必要條件

B、必要而不充分條件

C、充要條件

D、既不充分又不必要條件

答案：C

解析：

4=1成立能得到。(。-1)二0成立，〃

反之，。1)=0成立，則Q=1或Q=0,所以Q=1不成立。

3.新課程標準將義務教育階段的數學課程目標分為()。

A、過程性目標和結果性目標

B、總體目標和學段目標

C、學段目標和過程性目標

D、總體目標和結果性目標

答案：B

解析：義務教育階段數學課程目標分為總體目標和學段目標，總體目標是義務教

育階段數學課程的終極目標，而學段目標則是總體目標的細化和學段化，故選B。

A(77?1/i7i?1/17*

B(7Z^7*)xT-Tx^iTx7*

c)(^.T；2-(7fxT/-?V

D|(i^xT)x,<?1-(#-^)^-(7?7*)-^

4.下列關系不正確的是()。

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：B

解析：

本題主要考查向量的基徒知識.

A項：向量數量稅的運算滿足分配律,A項正確,耳滁.

B項：日向量的性質可知，(寸+7*)xT="xT,,xf,B項不正確.

055:6-丁產+(寸.硝，-WE,MG+Im產|了『3尸6-,邛國產一it中,C我正確，排除.

D項：等式左邊(J，*?>|=7xN|=0;等式右邊聞“：了-(Tr)-)=0,所以左邊等于右邊，D項正

n階行列式,力的展開式中含有演的項數為()

A

(I)!

B

n\

C

m-仔

D

,

rT

5.

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：A

方法1:因為含有勺1的項的一般形式是生洶2/2…°或，〃

苴中JiJy力是“一1皴全排列的全體，所以共有5-1)!1頁.“

方法2:由行列式展開定理“

anaUain

Q”’2a,2n=4i4+/&+…十知&>'

4?1a“2。加

而中不再含有a”，而,4n共有(，一1)!項,

所以含有陽的項數是(?-1)!.。

解析：注意：含有任何元素%的項數都是伽一1)!1

6.下列陳述可以作為數學定義的有（）.①不同在任何一個平面內的兩條直線叫

異面直線②無窮小量是無限趨向于0的量③漸近線是與曲線很接近的直線

A、①

B、②

C、①②

D、①②③

答案：A

解析：本題考查對數學定義的理解。？異面直線：不同在任何一個平面內的兩條

直線；？無窮小量：極限為零的變量稱為無窮小量；？漸近線：當曲線上一點M

沿曲線無限遠離原點時，如果到一條直線的距離無限趨近于零，那么這條直線稱

為這條曲線的漸近線；其中原題目將?漸近線的定義描述為與曲線很接近的直線，

“很接近”無法標準定義曲線與漸近線的接近程度,且??為性質，不能作為定義。

7.

若多項式〃上）一T'I.

（A）r+l

Br+3

?1

Dr-2

A、A

B、B

C、C

DxD

答案：A

本塞主要考查代率的分類，即多項式的囚式分解.

根據選項可知則/（，）和心）的公因式為-r+a"的形式，將/⑺和心迸行二分解，

f（jr）=4-1）-3"I）-（1+I）=（*+1）（/-Xr-I）.

0=*、/?1-1>=旖?!）<?-”=（X*l）a（r-I）,則/"）和.（出的公因式為:+1.

解析：項確答案為A.

8.數學歸納法的推理方式屬于（）。

A、歸納推理

B、演繹推理

C、類比推理

D、合情推理

答案：B

解析：數學歸納法是一種證明命題的方法，因此推理方式是演繹推理。B項正確。

9.創立解析幾何的主要數學家是（）.

A、笛卡爾，費馬

B、笛卡爾，拉格朗日

C、萊布尼茨，牛頓

D、柯西，牛頓

答案：A

解析：本題主要考查數學常識。笛卡爾于1637年，在創立了坐標系后，不僅提

出了解析幾何學的主要思想方法，還指明了其發展方向。笛卡爾引入了坐標系以

及線段的運算概念，他創新地將幾何圖形'轉譯'代數方程式，從而將幾何問題

以代數方法求解，這就是今日的“解析幾何”或稱“坐標幾何”。笛卡爾成功地

創立了解析幾何學，他的這一成就也為微積分的創立奠定了基礎。費馬獨立于笛

卡兒發現了解析幾何的基本原理，笛卡兒是從一個軌跡來尋找它的方程的，而費

馬則是從方程出發來研究軌跡的，這正是解析幾何基本原則的兩個相反的方面。

費馬于1630年用拉丁文撰寫了僅有八頁的論文《平面與立體軌跡引論》。

10.如圖是一個算法流程圖，則輸出的X的值是（）

A、37

B、42

C、59

D、65

答案：C

解析：模擬程序的運行，可得x=1,y=1滿足條件yV50,執行循環體，x=3,y=

7滿足條件yV50,執行循環體，x=13,y=33滿足條件yV50,執行循環體，x=

59,y=151不滿足條件yV50,退出循環，輸出x的值為59.故選：0.

11.

已知曲線C”Y=2COSXTC2：y=V3sin2x-cos2x,則下面笠

把Cl各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，，

A再把得到的曲線向右平移等個單位長度，得到曲線（

把J上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變

、

再把得到的曲線向左平移至gJT個單.位長度，得到曲線

B.3

把C1上各點的橫坐標縮短到原來的5倍，縱坐標不變:

再把得到的曲線向右平移等個單位長度，得到曲線（

c.J

把C1上各點的橫坐標縮短到原來的之倍，縱坐標不變

再把得到的曲線向右平移等個單位長度，得到曲線G

D.J

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：D

;已知曲線。：y=2cosx,v

C2：y=V3sin2x-cos2x=2sin(2x-〃

~,2冗)、今,今2九、

=2cos(―-----2x)=2cos(2x-------"

故把Cl上各點的橫坐標縮短到原來的之，縱坐標不變，，

可得y=2cos2x的圖像，"

再把得到的曲線向右平移g7T個單位長度，得到曲線C2的圖像

解析：故選：D."

設A和B為任意兩個事件，八U",P(B)>0,則下列選項正確的是().

12.A.P(B)P(A|

A、

B、P

C、2P(A|

D、

答案：B

解析：本題主要考查條件概率公式的應用。

由于打,且P(B)<1,可得P(A)=P(AB)=P(B)P(A|B)<P(A|B).

A0

B1

C3

Inn-------的值是()o

n->0xcosrD

13.

A、A

B、B

c、c

答案：c

解析：

tan3r

本題主要考查極限的知識.由常用等價無窮小可知，當工，。時，tan3x~3x,即=P%

='1=3.CJ5IE確。

A、B、D三項：均為干擾項，與題干不符，排除。

14設函數/(x)=|x|,則函數在點x=0處()。

A、連續且可導

B、連續且可微

C、連續不可導

D、不連續不可微

答案：C

函數/(x)=|x|在X=0處有定義。〃

并且觸/(x)=/(0)=0,所以函數“X)在后0處連續c

/(x)在點x=0處的右導數：〃

f701-lim〃0+&)一/(0)Km131”

J+(uj—hm--------------=lim----=19〃

Ax->0*AxAx->0*△x

/(x)在點x=0處的左導數："

廣(0)-lim"0+-)一/(0)*131“

J-(u)-iim---------------=lim----=-1,

AXT°-AXAXT。-AX

皿匚則f/(O)Wf'(0)，所以在點x=0處不可導。一

解析：

若/（X）為（-1.1）內的可導奇函數，則f（x）（）.

15.

A是（-1,1）內的偎函數

B是（-1,1）內的奇函數

C是（-1,1）內的非奇非偶因數

D可能是奇兇數，也可能是偶函數

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：A

解析：

本題主要考查因數奇偶性的判斷及求導，關腱是掌握函數奇偶性的判斷方法與復合函數求導法則.

依題意，設/是定義域內的任一實數，則/（-X）--/（X）,兩邊對/求尋得r（-r）--r（x）.所以r（-x）-r（

是偶函數.

16.下列關于反證法的認識，錯誤的是o.

A、反證法是一種間接證明命題的方法

B、反證法是邏輯依據之一是排中律

C、反證法的邏輯依據之一是矛盾律

D、反證法就是證明一個命題的逆否命題

答案：D

解析：本題主要考查推理與證明。反證法是“間接證明法”一類，是從反方向證

明的證明方法，即：肯定題設而否定結論，從而得出矛盾。反證法就是從反論題

入手,把命題結論的否定當作條件，使之得到與條件相矛盾,肯定了命題的結論，

從而使命題獲得了證明。由此可知，反證法的理論依據可概括成形式邏輯的兩個

基本規律一矛盾律和排中律。故A、B、C三項正確。

若既約分數二是整系敖多項式/(工)的根，貝嚇面結論另昨正確(

S

A.s+

B.s+rl/(l),$+"(-l)

C.s+r|/(-l),s-r|/(l)

17D.s++

AxA

B、B

C、C

D、D

答案：C

光滑座數/(，)圖像就下圖所示，以下關系式正確的是()?

18.

A0<f(2)<r(3)</(3)-/(2)

[B)o</*(3)<-/(2|<

1C；0</*(3)<r(2)</(3)-/(2)

D0<f(：l)-/(2?<y<2|</<(3|

A、A

B、B

c、c

D、D

答案：B

解析：

本飄主要考查導致與函數單調性的關系.另外還考查讀圖能力，從圖中獲取信息的能力.對于近擇期，還可

以選擇特值法.

rm為的線斜至，由圖可以看出/"）的斜至逐漸減小，所以八用<r（2）,所以A項、D項錯誤.

，（3）-/門可以看成/?）在2與口禍壟,所以八同〈/（引一,2）</*（2）

所以B項正鵬.

Anf>?*

Bx*><?

C"%”"htf/ytl

Dhff2>Wkt!

當。>1,0<工<〃<1,則下列關系式正確的是（）.

19.

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：C

解析：本題是基礎題，根據指數函數、鬲函數的性質，對數函數的性質，即可得

出正確結論。注意函數的單調性，是解題的關鍵。對于選擇題，還可以選擇特值

法。

AI5：因為a>1.0<x<r<1.所以.“=/諾道.錯誤.

B項:因為“>1,0<工<。<I,所以.v=J'遞增，錯誤.

C項：因為<0.I”<0,底數大于零小于T1.真數相司，底數不同，底數越小，對數越大,所以向”>a

,正逢.

D項：因為。>1,0<x<><1,所以,y=向j遞增，錯誤。

故正諦答案為C.

法2:特值法，令“■2,/二：,y=；.則

A項：蚯<0，錯民

B項:（卜<1；尸，錯誤.

6：，叫2>log^2,正確.

D項：，峭4<^2，錯誤.

20下列內容屬于高中數學必修課程內容的是（）。

A、風險與決策

B、平面向量

C、數列與差分

D、矩陣與變換

答案：B

解析：本題主要考查普通高中課程標準的內容。平面向量是高中數學必修課程主

題三”幾何與代數”中的內容；風險與決策、數列與差分和矩陣與變換都為高中

數學選修課程。

21.與意大利傳教士利瑪竇共同翻譯了《幾何原本》（I-VI卷）的我國數學家是（）。

A、徐光啟

B、劉徽

C、祖沖之

D、楊輝

答案：A

解析：本題主要考查數理知識。A項：《幾何原本》是意大利傳教士利瑪竇和徐

光啟根據德國人克拉維烏斯校訂增補的拉丁文本《歐幾里得原本》（15卷）合譯

所得，定名為《幾何原本》。B項:劉徽是我國古典數學理論的奠基人之一，代

表作品有《九章算術注》和《海島算經》。C項:祖沖之是南北朝數學家，首次

將圓周率精確到小數點后第七位。D項:楊輝為南宋數學家和數學教育家，著有

數學著作《詳解九章算法》《日用算法》《乘除通變本末》《田畝比類乘除捷法》

《續古摘奇算法》，后三本合稱為《楊輝算法》。

已知（1+2i）z=3-i（i為虛數單位）,則復數2為（）

A.1-7i

17

D.-I

22.55

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：B

3?i(3?i)=(l?2i)l?7i1

解析：z二^^5二丁二F

23.

已知卿度量A?服從正態分布.V如，J）,設隨機變量X_23-3,則，.服從的分布是（）。

2

A.V（2M3.la3）

B.V(2p3.

C).V3”

DN(2M3.Ur-9)

A、A

B、B

C、C

D、D

答案:B

解析：

本題考查隨嘰交量的期望和方差。當隨機變量.V的期望為E.V=〃,方差為DX=，,隨磯變量丁=a.V+b的期望為E

加工+S)=aEX+6,D(o.V+6)=aV.

設隨嘰變量，=廿一3的期望為EX=〃，貝!JE(2.V-3)=如一3:DX=D(2.V-3)=4M.

332

矩陣11-2的屬于特征根4的特征向量是()。

-3-10

24.

Ac?-(a.a.-a),afeR

B7r—(2a,a,€R

C<?=(a.—a.a).afcR

D才=(-2。,一3%。),。￡K

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：A

本題主要考查根據方陣的特征值求特征向量的方法。

因為特征矩陣A的一個特征值為4,所以(IE-A)?m-0

1-3-2U

010100

則有000I)

解析,即特征司量為N=(“.a.-a).

25.下列命題正確的是()。

A、若三階行列式D=。，那么D中有兩行元素相同

B、若三階行列式D=O,那么D中有兩行元素對應成比例

C、若三階行列式口中有6個元素為零，則D=。

D、若三階行列式D中有7個元素為零，則D=。

答案:D

解析：本題考查行列式的性質。若三階行列式中D有7個元素為。，則它至少有

一行或一列的元素全為。，即D=O。

A

B

C

D

26.下列圖形符號中表示算法程序“判斷框”的是()。

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：D

解析：本題主要考查算法與框圖的基礎知識。A項：代表終止框（起止框），A

項不正確，排除；B項：代表輸入、輸出框，B項不正確，排除；C項：代表處

理框（執行框），C項不正確，排除；D項：代表判斷框，D項正確。

數列（5——--IMS—1.2,3…），則數列&）中的最4項為（）.

27.

A、第4項

B、第5項

C、第6項

D、第4項和第5項

答案：D

解析：

本期主要考查的是求數列的最大項最小項問我，它的主要彝決方法有；一利用性數圖像，二利用函數的單調性.

因為”-斷100二（n-）2-4,當。1時，數列｛““）單調遞減；當”>5時,數列｛““｝單調遞W所以,數

列｛“八）最小項為第4和5項。

28.為研究7至10歲少年兒童的身高情況，甲、乙兩名研究人員分別隨機抽取了

某城市100名和1000名兩組調查樣本，若甲、乙抽取的兩組樣本平均身高分別

記為、1。、3（

A、（單位:cm）則

c。和3|

B、

C、的大小關系為（）。

Aa>3

Ba<3

Ca—3

D不能琬走

D、

答案:D

解析：

本題主要考查統計的基礎知識。

根據統計原理,甲乙二人的統計數據相差不大，樣本容量達到100后，三均數受樣本容量大小影晌小,但是不一定完

同，所以兩個樣本均值即。和,3的大小關系無法確定。

29.

從集合｛123...,11）中任選兩個元素作為間B方程三十￡=1中的m和n,則能組成落在矩形區域

且用<9｝內的桶因個數為

A、43

B、72

C、86

D、90

答案：B

30.最早記載勾股定理的我國古代名著是（）。

A、《九章算術》

B、《孫子算經》

C、《周髀算經》

D、《綴術》

答案：C

31.

格函數>=而（A的的圖象下向右平移個單位長度得崛象。若尸的一條對稱軸是直線x=:則

8的一個可能取值是（）

B.一工；r

A、A

B、B

CKC

D、D

答案：A

(3a-l)x4-4a,x<1

已知/住）是（f田）上的減函數，另必“的取值范圍是

、3戶

A.(0,1)

B.(0.1)

C.[1.1)

A、A

B、B

C、C

DvD

答案：D

A21“34-*3

B+必+￡；+2X1

c2z]3]”3+式+1

D3r；+2x2J,3--1X1X3

33.以下多項式是二次型。.

A、A

B、B

C、C

DxD

答案：D

解析：本題主要考查二次型的相關內容。二次型是指含有n個變量的二次齊次函

數。四個選項中只有D項為二次齊次的，其他均含有常數項或一次項。

34.

不等式的解集是{X[z>3處<-2},則二^函數產2?+”的表達式是（）

A?>-br+2?*l2

B.}=2x:-2x+12

C.><=2x:*2x-12*

D?>fi=2r-2x-12

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：D

35.

如圖，圓周上按順時針方向標有1,2,3,4,5五個點，一只青蛙按順時針方向繞圓從一個點S

另一點；若停在奇數點上，則下一次只能跳一個點；若停在偶數點上，則下一次可以跳兩個點，

蛙從5這點四摑，跳2008次后它將停在的點是()

B、2

C、3

D、4

答案：A

36.

已知集合A={xx2-3x-4<0},B={x|0WxW5},則AUB二

A、[0,4)

B、[0,4]

Cv[-1,5]

D、(-1,5]

答案：D

解析：VA={x|x2-3x-4<0}={x|-1<x<4},B={x|0^x^5},AAUB={x|-1

<x<4)U{x|0WxW5}二(-1,5].

37.命題P的逆命題和命題P的否命題的關系是。

Av同真同假

B、同真不同假

C、同假不同真

D、不確定

答案：A

解析：本題主要考查命題的知識。命題P的逆命題和命題P的否命題互為逆否命

題，而互為逆否命題的兩個命題同真同假。A項正確。。B、C、D三項：均為干

擾項，與題干不符，排除。

38.

5.r=2+3(.

jy=-IT.(FWR)

已知直線L的參數方程是12=3+2/平面口的方程為2T+珈+z+3=0,則直經

置關系是()°

A、平行

B、直線在平面內

C、垂直

D、相交但不垂直

答案：A

解析：

本題考查空間直線與平面的位置關系的判定.

r—2“+1r—3

直設L的標準方程為一十=二~2~，方向向量痔,平面口的法向量"=(2,8,1),可得方J

點(2,-1,3)不在平面II內，故直淺L與平面H平行.

39.《普通高中數學課程標準:實驗)》提出五種基本能力，沒有包含在其中的是

A、推理論證能力

B、運算求解能力

C、數據處理能力

D、幾何作圖能力

答案：D

解析：五種基本能力為空間想象、抽象概括、推理論證、運算求解、數據處理。

40.一布袋中有紅球8個，白球5個和黑球12個，它們除顏色外沒有其他區別，

81

A.—B

255

1213

C.一D.—

2525

隨機地從袋中取出1球不是黑球的概率為。

A、A

B、B

CvC

D、D

答案：D

41.某中學高一年級560人，高二年級540人，高三年級520人，用分層抽樣的

方法抽取容量為81的樣本，則在高一、高二、高三三個年級抽取的人數分別是

()

A、28、27、26

B、28、26、24

C、26、27、28

D、27、26、25

答案：A

解析：

根據題意得，用分層抽樣在各層中的抽樣比為訴熹訴

560+540+52020

則在高一年級抽取的人數是560X焉=28人，，

乙x/

高二年級抽取的人數是540義焉=27人，“

高三年級抽取的人數是520義焉=26人，〃

乙V

故選，A.一

42.

把正奇數數列依次按第一個括號一個數，第二個括號兩例，第三個括號三個數，第四個括號一

數，…，依次循環的規律分為

(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19f

23),(25)，…，則第50個括號內各數之和為()

A、98

B、197

C、390

D、392

答案：D

43.

?r設S為離散型隨機變量，取值{力皿,…，.…，。"兩兩不同)，已知事件代

n

(￡&=1,0w&w1),記￡的數學期望為E,則弋的方差是()。

k=l

n

2

A￡((小E)pk}

Jt=l

2

B￡廂E)Pk

1t=l

n

CEg

k=l

_n

2

DE)pk)

t=i

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：B

本題考查淘散型隨機變量的期望與方差。

nw

2

的+二由已知，得E(W)=七，所以方差。⑹-上麗E)Pk

解析：

44.數學的三個基本思想不包括。。

A、建模

B、抽象

G猜想

D、推理

答案：C

解析：數學的三個基本思想：抽象、推理、建模。人們通過抽象，從客觀世界中

得到數學的概念和法則，建立了數學學科；通過推理，進一步得到更多的結論,

促進數學內部的發展；通過數學建模把數學應用到客觀世界去，就產生了巨大的

效益，反過來又促進了數學學科的發展。

45.《義務教育數學課程標準（2011年版）》從四個方面闡述了課程目標，這四

個目標是（）o

A、知識技能、數學思考、問題解決、情感態度

B、基礎知識、基本技能、問題解決、情感態度

C、基礎知識、基本技能、數學思考、情感態度

D、知識技能、問題解決、數學創新、情感態度

答案：A

解析：本題主要考查課標的相關知識。《義務教育數學課程標準（2011年版）》

指出，義務教育階段數學課程目標分為總目標和學段目標，從知識技能、數學思

考、問題解決和情感態度等四個方面加以闡述。A項正確。B、C、D三項：均為

干擾項。與題干不符，排除。

與向量/=（2,3,1）平行的平面是（）.

46.

A、x-2y+z=1

B、2x+y+3z=3

C、2x+3y+z=3

D、x-y+z=3

答案：D

解析：本題主要考查空間解析幾何中平面的法向量的相關知識。平面的法向量是

垂直于平面的非零向量。在直角坐標系中，平面Ax+By+Cz+D=0（A,B,C不同時

為零）的一個法向量為"7八團。.本題是求向量/一".3.1平行的平面，則向

量,72?3.1與該平面的法向量垂直，即點乘為0。D項正確。A項：對應的平面

的法向量為（1,-2,1）,則2X1+3X（-2）+1X1=3。與題干不符，排除。B

項：對應的平面的法向量為（2,1,3）,則2X2+3X1+1X3=10。與題干不符,

排除。C項：對應的平面的法向量為（2,3,1）,則2*2+3X3+1X1=14；與題

干不符，排除。

設函數/"）=加（2I產岫,則/'（『）的零點個數為（）.

Jo

47.

A、0

B、1

C、2

D、3

答案：B

解析：本題主要考查定積分的應用。求函數零點的方法：令原函數的導函數等于

零求出駐點，判斷原函數與坐標橫軸的交點，由題可知，

r⑺,則/⑷一加a?力?2工？>°恒成立，所以川”在定義域內單調遞增，所以/'⑺的零點

48.設f（x）=acosx+bsinx是R到R的函數，V={f（x）|f（x）=acosx+bsinx,

a,b￡R}是線形空間，則V的維數是（）。

A、1

B、2

C、3

D、8

答案：B

解析：本題主要考查線性代數的知識。由題意知，線性空間V中的每一個元素都

是cosx和sinx的線性組合。而cosx和sinx是線性無關（如果存在實數m,n,

使得mcosx+nsins）=0對任意x￡R都成立，則m=n=0）。因此cosx和sinx是

線性空間V的一組基，所以V的維數是2。B項正確。A、C、D三項：均為干擾

項，與題干不符，排除。

sin(9X2-16

計算lim—-----------=(

X、3x-4

49.

A、6

B、7

C、8

D、9

答案：C

令3x-4=f,則（9x?-16）=（3x+4）（3x-4）=r?+8）

于是，原式可轉化為，

sin（9X2-16）.snr（t+8）

lim-------------=lim----------

x-43x-4t~

3

=lim（2r+8）cosr（r+8）=8…

解析：小）x'

50.教師要積極利用各種教學資源，創造性地使用教材，學會（）。

A、教教材

B、用教材教

C、不確定

答案：B

解析：##

51.邊長為4的正方體木塊，各面均涂成紅色，將其鋸成64個邊長為1的小正方

體，并將它們攪勻混在一起，隨機取出一個小正方體，恰有兩面為紅色的概率是

A

8

B

8

9

C

3

D正

0O

A、A

B、B

CvC

D、D

答案：A

解析：本題主要考查概率的計算及空間想象能力。根據題意，是將大正方體分成

四層，每層16個小正方體，兩個面都為紅色的處于上（除過頂點處），每條棱

有2個，12條棱共有24個符合條件的小正方體，因此取到面為紅色的小正方體

的概率為

cos9—sin0

siu"con8

52.下面4個矩陣中，不是正交矩陣的是（）.

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：C

解析:

主題土要考查的是正父矩陣的定義及具判定力法.

正交矩陣的判定方法：1、定義：-1是一個“階方陣，H是.1的轉置，如果有.1M-L（單位陣）,即A^A我

.1是正交矩陣.2、正交矩陣每一行（列）n個元的平方和等于1,兩個不同行（列）的對應元乘積之和等于0.E

斷，A、B、C三項正確.

1-lip1_2O"

選項C:11-11=02結果不是單位矩陣，錯誤。

012

矩陣301的秩為（）o

-120

53.

A、0

B、1

C、2

D、3

答案：D

解析：

本題考查的是矩法的秩的求法，對于矩除的秩有3種求法：

1.利用初等變換將矩陣化為階梯形矩陣，由于階梯形矩陣的秩就是其非零行（或列）的個數，而初等變換不改變?

秩，所以化得的階梯形矩陣中非零行（或列）的個數就是原矩陣的秩；

2.計算矩陣的各階子式，從階數最高的子式開始，找到不等于零的子式中階數最大的一個子式，則這個子式的階菱

陣的秩（很少用）：

3.如果是低階方陣可以求出對應行列式的值,如果行列式不為零，那么矩陣是滿秩。采用第一種方法，利用初等至

0120120110

301Z06\?001

陣化為階梯型矩陡，由此得到下面的式子：-120120-100,觀察可以發現矩年

?lI?12<*13

"21023

行數為3行，所以矩陣的秩為3.采用第三種方法，本題中矩陣的行列式為3階行列式，根免公式：，必“32曲*

。11。22。33+212a23a31+3a21。32一。13a22a31一。12a21a33一<*11。23a32本題中矩陣的仃列式為0-1+12-11/。r可;

滿秩，即矩陣的秩為3.

n

B?f(x)=￡(-1)-'/9n.M21,則f(i)=().

”=ii-

54.

A、-1

B、0

C、1

D、n

答案：B

解析：

-3-5-2tn-1f7M(U2mtl

(-1)

本塞主要考查泰勒公式的相關知識."“上一/一1+而一…十存=m+(一)(2m+l)!

8戶吁I81

、、_______、、(_］)?一I'2H-1

二白⑵…沙，所以的0=W(2w-D!=sinnx,f(l)=sinn=0.B項正確.

A、C、D三項：均為干擾項.與題干不符,琲除.

//(加=0,且/(x)在［明，上隹旗，則在［?3］上().

Ja

55.

A/U)-o

B必存在r使/(z)=0

(C)存在唯一的r■使/3=0

D不一定存在.r使/U)=0

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：B

解析：本題主要考查定積分的應用。

則［：/*）公=41一4+4

設/⑺在區間I*，，上連續,定積分（/m"的幾何意義是介于，軸.函數"I的圖像以及直線

，一”.，一。之間各部分面積的代數租."七I:表示上圖中陰影部分的面積，因為L/3'心一0,所以

I-I.-L.此時存在兩個點八」.滿足/"?二.3二。，則至少存在T.r■使得/"）=（）.

56.下列函數不屬于初中數學課程內容的是。。

A、一次函數

B、二次函數

0\指數函數

D、反比例函數

答案：C

解析：本題主要考查義務教育階段課程標準的內容。一次函數、二次函數和反比

例函數是初中數學的內容。指數函數是高中數學必修1的內容。

57.

函整型」｛/“(?｝與函數都是在閉區間四目上有定義，則在上，(/￡/))一致收斂于/")的充

().

A3r>0,<h.??].1正整數N,使得當”>、.時，有|/，G)r(/)|<r

B3r>0,Vzo€[<i,fc],3IE^N,使得當，，>.V時,有|/“(0-/(r)|<e

cm正整數N,Vf>o.，w,使得蘭〃〉.v時，有|/?(八)/uo)l<?

DVr>0,UE^IN,使得當”v時，Yz€la.b],有|/,G)-〃/)|<r

AxA

B、B

C、C

D、D

答案：D

解析：本題主要考察函數的性質。本題根據函數的一致收斂定義即可知道結果,

考杳一致收斂的概念。

若a>0,b>0M+b=2,則科①ab<l；②邪&&；③a:-d3>2；

“0J+b、3；OLI",對一切滿足條件的。石恒成立的所有正確命題是()

58.ab

A、①②③

B、①③⑤

C、①②④

D、③④⑤

答案：B

函數/（X）=sinx-cosx的最大值為（）

A.1

B.五

c.G

59.D.2

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：B

已知數列q,為等比數列，且囁+限=晨43小,

則4）14（馬012+2%<+4（）16）的值為---------。?

60.

,

71’

A"2"

n

B3

D.7r

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：D

由積分的幾何意義可得積分￡-一-女表示圓x2+/=4,

在第一象限的圖形的面積，即四分之一圓的面積，一

故可得叼013+a2O15=(X2dx=—X7TX22=7T°

Jo4

所以一

叫(7012+2*+02016)=*2+2020M2+.心

癡匚=。2013+2a2013a2015+a2015=(^2013+^15)=冗

解析：

當xw[oR時,宙數/3=++4(。-1)工-3在"2時取得最大值，則a的取值厄圍是

Ar1、

B.[0,-MD)

C.[1,+?)

D.[p4CD)

61.

AxA

B、B

C、C

D、D

答案：D

62.

P-11\

若矩陣A=z4/y有三個線性無關的特征向量，A=2是A的二重特征根，則（）°

y-3—35J

A、x=-2,y=2

B、x=1,y=-1

C\x—2,y-—2

Dxx=-1,y=1

答案：C

解析：

r本題主要考查矩除的相似對角化的相關知識.由題急知，走陣A可以同以對角化，且入=2對應兩個線性無關的

r1-1）p1

|一1-2—J/I-?I2

量，所以（2E-A）x=0有兩個線性無關的解，即有3-r（2E-A）=2。2E-A=\33-3/\00

11-1

使r（2E-A）=1,則有7=2=V-可得x=2,y=-2.C項正確.

A、B、D三項：均為干擾項.與題干不符，排除.

63.在集合、三角函數、導數及其應用、平面向量和空間向量五個內容中，屬于

高中數學必須的課程內容的有。。

Av1個

B、2個

C、3個

D、4個

答案：C

解析：本題考查高中知識必修系列課程內容。集合、三角函數和平面向量是必修

系列中的內容，是高中課程必須的課程內容，而導數及其應用和空間向量是選修

的內容。因此是3方面。

64.某種電熱水器的水箱盛滿水是200升，加熱到一定溫度，即可用來洗浴。洗

浴時，已知每分鐘放水34升，在放水的同時按4升/分鐘的勻加速度自動注水。

當水箱內的水量達到最小值時，放水程序自動停止，現假定每人洗浴用水量為6

5升，則該熱水器一次至多可供

A、3人洗浴

B、4人洗浴

C、5人洗浴

D、6人洗浴

答案：B

65.

若矩陣（:J與（::，的秩均為2,貝（I線性方程組｛魯髯二,，解的個數是（）.

A、0

B、1

C、2

D、無窮多個

答案：B

解析：

本題主要考查送性方程組解的結構.n壽E齊次線性方程組Ax=b,(1)無解的充分必要條件是r(A)<r(A,b);

唯一解的充分必要條件是r(A)=r(A,b)=n;(3)有無窮多解的充分必要條件

”+如="(ah\(abA

是r(A)=r(A,b)<n0本題中，線性方程組(a+曲=r，的系數矩陣〃與塔廣矩陣dt)的秩均為2

于未知量的個數，所以此非弁次線性方程組有唯一解。

已知數列｛%｝與數列也,｝,n=1,2.3...,則下列結論不正確的是()。

66.

@若對任意的正整數〃，修/餌，覘*二明膽如=心且心I),則av。

若ab=b,且,則對任意的正整數”，a<b

B“lTim8n"T=OOo,lim?av6nn

?若覘廝^且存名E=.v,使得ev,3%,則aAb

D若對于任意的正整數n,有5%,膽心=3.兒3且QO，則。>。

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：B

解析:

本題主要考查數列極限的基址知識.

A項：艱據L攵斂數據的保號性，存在任意的正整數M，有%W4，J典「叱出二°,則a<u,A項正確，

{0.n=1

2.n>2,若”比。“=。，翹耳,=b,滿足“<6,但不是對任意正整數“，都爺

Un<九，比如"1一bl,所以B項不正確.

C項：根據收斂數據的保號性，若/里0an=a，屈2%="且存在正整數N,使得。,N,aw2%，則la>b

確,排除.

D項：根據收斂數據的保號性，存在任意的正整數n,^an>bn,Jhn=。，）如M。，則。>（）rD項正琬，

67.

當XTO時，與無窮小量/+/鬲―1同階的無窮小蚩是（

cd

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：C

-----3x^+廣

「x3+vx+l-12JY+1

A選項>lim--------s-------=lim---------y-----=8,.

XT)/XT)3x2

所以X34-4+1-1是X3的低階無窮小。一

B選項，產所河=8一

x-x)<x^o2x

所以/+Jx+1-1是X2的低階無窮小。V

___3x2+」

…A3+Vx+l-l2/+11

c選項，lim---------------=hm---------±----=一,，

20￡XTO1