第1頁/共1頁2024北京十四中初二（上）期中數學注意事項1.本試卷共6頁，共28道小題，滿分100＋10分．考試時間100分鐘．2.在答題卡上指定位置貼好條形碼，或填涂考號．3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．4.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．5.答題不得使用任何涂改工具．一、選擇題（每小題2分，共20分）第1－10題均有四個選項，符合題意的選項只有一個1.下面由冬季奧運會比賽項目圖標組成的四個圖形中，可以看作軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.如圖，，若，，則的長為（）A. B. C. D.3.下列計算正確的是（）A. B. C. D.4.下列各式中從左到右的變形，是因式分解的是（）A. B.C. D.5.如果是一個完全平方式，則m的值是（）A.3 B. C.6 D.6.從邊長為a的大正方形紙板中挖去一個邊長為b的小正方形紙板后，將其裁成四個相同的等腰梯形（如圖甲），然后拼成一個平行四邊形（如圖乙）．通過計算兩個圖形陰影部分的面積，從左至右驗證成立的公式為（）A. B.C. D.7.如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交AC，BC于點D，E．若△ABC的周長為22，BE＝4，則△ABD的周長為（）A.14 B.18 C.20 D.268.下列尺規作圖，能確定是的中線的是（）A. B.C. D.9.在中，，延長至D，使，連接，則的長度的取值范圍是（）．A. B. C. D.10.設，是實數，定義一種新的運算：，則下列結論：①，則且；②；③；④，正確的有（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題（第11—18題每題3分，共24分）11.計算：_______．12.在平面直角坐標系中，點關于x軸對稱的點的坐標為______．13.已知等腰三角形的兩邊長分別為3和7，則這個等腰三角形的周長為______．14.如圖，點B、A、D、E在同一直線上，，，要使，則只需添加一個適當的條件是______（只填一個即可）15.如圖，在中，，，和的平分線交于O點，過點O作的平行線交于M點，交于N點，則的周長為_______．16.如圖，在中，，，，，則的度數是________．17.已知，，則的值是___________．18.在平面直角坐標系中，點，B0,3，，點D在第二象限，且．（1）點D的坐標為________；（2）點P在坐標軸上，且是等腰三角形，則P點的個數為________．三、解答題（第19、20題各9分，第21、23、24、25題各6分，第22、26題各7分，共56分）19.計算（1）（2）（3）20.因式分解（1）（2）（3）21.先化簡，再求值：，其中，．22.根據題意，完成作圖及推理：已知：在中，，的平分線交于點D，，．（1）作出的平分線（尺規作圖，保留作圖痕跡）；（2）求的面積．解：（2）過D作于點E（不要求尺規作圖），______于點C，平分，______（______），，______，，______．23.已知：如圖，，，．求證：．24.如圖，中，，，平分交于點E，交于點F，求證：是等腰三角形．25.閱讀下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多項式只用上述方法無法分解．如x2－4y2－2x＋4y，細心觀察這個式子，會發現前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，前、后兩部分分別分解因式后又出現新的公因式，提取公因式就可以完成整個式子的分解因式．具體過程如下：x2－4y2－2x＋4y＝(x2－4y2)－(2x－4y)＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．像這種將一個多項式適當分組后，進行分解因式的方法叫做分組分解法．利用分組分解法解決下面的問題：（1）分解因式：x2－2xy＋y2－4：（2）已知△ABC的三邊長a、b、c滿足a2－ab－ac＋bc＝0，判斷△ABC的形狀并說明理由．26.已知：如圖，在中，，點D為上的一點，，點E為延長線上一點且，連接并延長交于點F，連結．（1）求證：；（2）作A點關于的對稱點M，分別連接．①依題意補全圖形；②用等式表示之間的數量關系并證明．四、附加題（共10分）27.在學習整式乘法一章時，小明發現：若一個整數能表示成（是整數）的形式，則稱這個數為“智慧數”．例如：5是“智慧數”，因為；再如：（是整數），所以M也是“智慧數”（1）請你再寫一個小于的（5除外）“智慧數”________，并判斷是否為“智慧數”________（填“是”或者“否”）；（2）已知（x，y是整數），k是常數，要使S為“智慧數”，試求出符合條件的一個k值．28.對于平面直角坐標系內的任意兩點Px1,y1，Qx2,y2，定義它們之間的“直角距離”為．對于平面直角坐標系內的任意兩個圖形M、N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為圖形N上任意一點，如果P（1）已知、，則_______，_______；（2）已知、，若，則t的取值范圍是_______；（3）已知，若坐標平面內的點P滿足，則在圖中畫出所有滿足條件的點P所構成的圖形，該圖形的面積是_______．

參考答案一、選擇題（每小題2分，共20分）第1－10題均有四個選項，符合題意的選項只有一個1.【答案】D【分析】本題考查軸對稱圖形的識別．根據能否找到一條直線使圖形折疊后能夠完全重合，進行判斷即可，掌握軸對稱圖形的定義，是解題的關鍵．【詳解】解：、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；、是軸對稱圖形，故本選項正確．故選：．2.【答案】A【分析】根據全等三角形的對應邊相等推知，然后根據線段的和差即可得到結論．【詳解】解：，，，，故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的性質，仔細觀察圖形，根據已知條件找準對應邊是解決本題的關鍵．3.【答案】D【分析】根據同底數冪的乘法法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加；合并同類項的法則：把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變；積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘；冪的乘方法則：底數不變，指數相乘進行計算判斷，即可解題．【詳解】解：A、，選項運算錯誤，不符合題意；B、，選項運算錯誤，不符合題意；C、與不是同類項，不可以合并，選項運算錯誤，不符合題意；D、，選項運算正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了合并同類項、同底數冪的乘法、積的乘方、冪的乘方，解題的關鍵是正確掌握各計算法則．4.【答案】D【分析】把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做因式分解，直接利用因式分解的定義分析得出答案．【詳解】解：A、，從左到右的變形是整式的乘法運算，不是因式分解，故此選項不符合題意；B、，從左到右的變形，不是因式分解，故此選項不符合題意；C、，不是因式分解，故此選項不符合題意；D、，從左到右的變形，是因式分解，故此選項符合題意．

故選D．【點睛】考查了因式分解，正確把握因式分解的定義是解題關鍵．5.【答案】B【分析】根據完全平方公式可進行求解．【詳解】解：∵，∴如果是一個完全平方式，則m的值是；故選B．【點睛】本題主要考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．6.【答案】C【分析】本題主要考查了平方差公式，運用不同方法表示陰影部分面積是解題的關鍵．分別表示出圖甲和圖乙中陰影部分的面積，二者相等，即可解題．【詳解】解：由圖知，甲圖形陰影部分的面積為，乙圖形陰影部分的長為，寬為，則其面積為，即，故選：C．7.【答案】A【分析】根據線段的垂直平分線的性質得到DB＝DC，BC＝2BE＝8，根據三角形的周長公式計算即可．【詳解】∵DE是BC的垂直平分線，∴DB＝DC，BC＝2BE＝8，∵△ABC的周長為22，∴AB+BC+AC＝22，∴AB+AC＝14，∴△ABD的周長＝AD+BD+AB＝AD+CD+AB＝AB+AC＝14，故選A．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．8.【答案】A【分析】根據5種基本作圖對各選項進行判斷即可得到答案．【詳解】解：A．AD為BC邊的中線，所以A選項符合題意；B．點D為AB的垂直平分線與BC的交點，則DA=DB，所以B選項不符合題意；C．AD為∠BAC的平分線，所以C選項不符合題意；D．AD為BC邊的高，所以D選項不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了作圖一基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵，也考查了三角形的平分線、中線和高．9.【答案】A【分析】畫出圖形，延長，使，連接，證明得到，再利用三角形的三邊關系求解即可．【詳解】解：如圖，延長，使，連接，在和中，∴，∴，∵，，∴，，∴，即，故選：A．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質、三角形的三邊關系，添加輔助線構造全等三角形解決問題是解答的關鍵．10.【答案】B【分析】根據，分別表示出各項的意義，再比較是否相等．【詳解】解：∵，①若，則，則a，b互為相反數，故錯誤；②=，故正確；③≠，故錯誤；④，，故正確；故選B．【點睛】本題考查了定義新運算，解題的關鍵是理解題中所給的運算法則，以及整式的混合運算．二、填空題（第11—18題每題3分，共24分）11.【答案】1【分析】根據零指數冪計算，即可求解．【詳解】解：，故答案為：1．【點睛】本題考查了零指數冪的定義，掌握零指數冪：是解題的關鍵．12.【答案】【分析】本題考查了坐標與軸對稱，關于軸對稱的兩點，其縱坐標互為相反數，橫坐標不變，據此即可求解．【詳解】解：點關于x軸對稱的點的坐標為．故答案為：13.【答案】17【分析】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；題目從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應養成檢驗三邊長能否組成三角形的好習慣，把不符合題意的舍去．題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和7，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．【詳解】解：（1）若3為腰長，7為底邊長，由于，則三角形不存在；（2）若7為腰長，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊．所以這個三角形的周長為．故答案為：17．14.【答案】（或或）【分析】，根據平行線的性質得，若，根據條件利用即可得證；若，根據條件利用即可得證；若添加，根據條件利用即可得證．【詳解】解：∵，∴，∵，若添加，在和中，，∴；若添加，在和中，，∴；若添加，在和中，，∴．故答案為：（或或）．【點睛】此題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解本題的關鍵．15.【答案】10【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質，等腰三角形的判定和性質，熟練掌握它們的性質將周長轉換為是解本題的關鍵．利用角平分線及平行線性質，結合等腰三角形的判定得到，，將三角形周長轉化為，求出即可．【詳解】解：為的平分線，為的平分線，，，，，，，，，，，，，周長為，故答案為：1016.【答案】【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，三角形內角和，三角形外角性質，解題的關鍵在于熟練掌握相關知識．根據題意證明，結合三角形內角和，三角形外角性質得到，最后利用三角形內角和求解，即可解題．【詳解】解：在中，，，，，，，，，，．17.【答案】120【分析】利用完全平方公式的變形進行求解即可．【詳解】解：∵，，∴，，∴，故答案為：120．【點睛】本題主要考查了完全平方公式的變形求值，正確得到是解題的關鍵．18.【答案】①.-3,2②.個【分析】本題主要考查了全等三角形的性質，坐標與圖形，以及等腰三角形的判定與性質，關鍵是掌握全等三角形的性質．（1）根據全等三角形的性質，即可得到點D的坐標；（2）根據等腰三角形的判定與性質，分情況①，②，③，討論求解，即可解題；【詳解】解：（1）根據題意作圖如下：，點D在第二象限，，，點D的坐標為-3,2；故答案為：-3,2．（2）根據是等腰三角形，點P在坐標軸上，①，以為圓心，長為半徑，畫弧與坐標軸有2個交點，②，以為圓心，長為半徑，畫弧與坐標軸有3個交點，③，作的中垂線，與坐標軸有1個交點，綜上所述，則P點的個數為個，故答案為：個．三、解答題（第19、20題各9分，第21、23、24、25題各6分，第22、26題各7分，共56分）19.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）先計算積的乘方，再根據單項式乘單項式運算法則計算，即可解題；（2）根據多項式乘多項式運算法則計算，即可解題；（3）利用平方差公式，以及整式的混合運算法則計算求解，即可解題．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：；【小問3詳解】解：．【點睛】本題考查整式的混合運算，積的乘方，單項式乘單項式，多項式乘多項式，平方差公式．正確按“先乘方，再乘法，最后算加減”的順序及相關法則計算是解題的關鍵．20.【答案】（1）（2）（3）【分析】本題主要考查了因式分解，熟悉運算規則以及乘法公式是解題的關鍵．（1）運用提公因式法因式分解即可；（2）首先提公因數，然后運用完全平方公式進行因式分解即可；（3）首先提公因式，然后運用平方差公式進行因式分解即可．【小問1詳解】．【小問2詳解】．【小問3詳解】．21.【答案】，【分析】本題考查了整式的混合運算的化簡求值，完全平方公式，單項式除單項式，熟練掌握整式的混合運算是解題的關鍵．先根據整式的混合運算順序和運算法則化簡原式，然后將x與y的值代入化簡后的式子中計算，即可解題．【詳解】解：，當，時，原式．22.【答案】（1）見解析（2），，角平分線的性質，，【分析】本題考查作圖-基本作圖，角平分線的性質，解題的關鍵在于掌握角平分線的尺規作圖步驟作圖．（1）根據尺規作圖作角平分線的步驟作圖即可；（2）結合題干步驟，利用角平分線的性質作得到即可求出面積．【小問1詳解】解：所作的平分線如圖所示：【小問2詳解】解：過D作于點E，，于點C，平分，（角平分線的性質），，，，．故答案為：，，角平分線的性質，，．23.【答案】見解析【分析】本題考查全等三角形性質和判定，根據題意證明，利用全等三角形性質即可證明．【詳解】證明：，，，在與中，，，．24.【答案】見解析【分析】根據角平分線的定義得出，根據直角三角形兩銳角互余得出，，根據余角性質得出，根據對頂角相等得出，求出，根據等角對等邊得出，即可證明結論．【詳解】證明：∵平分，，，，，，，，∵，∴，∴，∴是等腰三角形．【點睛】此題考查了直角三角形的性質、角平分線的定義，余角性質，等腰三角形的判定．難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．25.【答案】(1)；(2)等腰三角形，理由見解析．【分析】(1)前三項符合完全平方公式，再和最后一項應用平方差公式分解因式即可．(2)前兩項、后兩項均可提取公因式，前、后兩部分分別因式分解后又出現新的公因式，據此把a2-ab-ac+bc分解因式，進而判斷出△ABC的形狀即可．【詳解】解：(1)原式，故答案為．(2)∵∴，∴，∴或，∴或，∴△ABC為等腰三角形．故答案為等腰三角形．【點睛】此題主要考查了因式分解的應用，要熟練掌握，用因式分解的方法將式子變形時，根據已知條件，變形的可以是整個代數式，也可以是其中的一部分．26.【答案】（1）見解析（2）①見解析；②，理由見解析【分析】（1）證明，即可證明；（2）①依題意補全圖形即可；②證明，在上截取點N，使，證明，得出和是腰長相等的兩個等腰直角三角形，推出，據此即可求解．【小問1詳解】證明：∵，∴，∵，，∴，∴，即；【小問2詳解】解：①依題意補全圖形即可；②，理由如下：∵，又，∴，即，∵點A、點M關于對稱，∴，，，∴，在上截取點N，使，∵，，∴，∴，，，∴，，，∴，∴，∴和是腰長相等的兩個等腰直角三角形，∴，∴，【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，軸對稱的性質，等腰直角三角形的判定和性質，解答