第四章數值積分一．問題提出：（1）針對定積分SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0,a=0,b=1，即有SKIPIF1<0，但當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，時，很難找到其原函數。（2）被積函數并沒有具體的解析形式，即SKIPIF1<0僅為一數表。二．定積分的幾何意義定積分SKIPIF1<0的幾何意義為，在平面坐標系中I的值即為四條曲線所圍圖形的面積，這四條曲線分別是SKIPIF1<0，y=0，x=a，x=b。SKIPIF1<0三．機械求積公式1.中矩形公式SKIPIF1<0；幾何意義：用以下矩形面積替代曲邊梯形面積。SKIPIF1<02.梯形公式SKIPIF1<0梯形公式的幾何意義：用以下梯形面積替代曲邊梯形的面積：SKIPIF1<03.辛普生公式SKIPIF1<0辛普生公式的幾何意義：陰影部分的面積為拋物線曲邊梯形，該拋物線由SKIPIF1<0三點構成。SKIPIF1<04.求積公式的一般形式SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0稱為節點，SKIPIF1<0稱為求積系數，或權。5.求積公式的代數精度（衡量求積公式準確度的一種方法）含義：衡量一個積分公式的好壞，要用具體的函數來衡量，尋找怎樣的函數來衡量呢？簡單的多項式函數是一個理想的標準。定義：若某積分公式對于SKIPIF1<0均能準確成立，但對于SKIPIF1<0不能準確成立。則稱該公式具有m次代數精度。解釋：代數精度只是衡量積分公式好壞的1種標準。例1．研究中矩形公式SKIPIF1<0的代數精度及幾何意義。解：當SKIPIF1<0時，公式左邊SKIPIF1<0，公式右邊SKIPIF1<0，左=右；當SKIPIF1<0時，公式左邊SKIPIF1<0，公式右邊SKIPIF1<0，左=右；當SKIPIF1<0時，公式左邊SKIPIF1<0，公式右邊SKIPIF1<0，左SKIPIF1<0右；故中矩形公式具有1次代數精度。從定積分的幾何意義可以看出，當被積函數為一條直線時，中矩形公式是嚴格成立的，中矩形面積與梯形面積相等，如下圖所示。SKIPIF1<0例2．研究梯形公式SKIPIF1<0的代數精度及幾何意義。解：當SKIPIF1<0時，公式左邊SKIPIF1<0，公式右邊SKIPIF1<0，左=右；當SKIPIF1<0時，公式左邊SKIPIF1<0，公式右邊SKIPIF1<0，左=右；當SKIPIF1<0時，公式左邊SKIPIF1<0，公式右邊SKIPIF1<0，左SKIPIF1<0右。故梯形公式也具有1次代數精度。從定積分的幾何意義知，當被積函數為一條直線時，其積分值本身就是一個梯形的面積，如下圖所示。SKIPIF1<0例3．研究辛普生公式SKIPIF1<0的代數精度及幾何意義。解：當SKIPIF1<0時，公式左邊SKIPIF1<0，公式右邊SKIPIF1<0，左=右；當SKIPIF1<0時，公式左邊SKIPIF1<0，公式右邊SKIPIF1<0，左=右；當SKIPIF1<0時，公式左邊SKIPIF1<0，公式右邊SKIPIF1<0，左=右；當SKIPIF1<0時，公式左邊SKIPIF1<0，公式右邊SKIPIF1<0，左=右；當SKIPIF1<0時，左SKIPIF1<0右；故梯形公式具有3次代數精度。當被積函數為一條直線或一條拋物線時，過其曲線上3個點構造的拋物線就是其本身曲線，所以積分公式嚴格成立。當被積函數為3次多項式時，辛普生公式也嚴格成立，如下圖所示，兩個曲邊梯形面積剛好相等。SKIPIF1<06.求積公式的確定方法一：待定系數法。例1.構造一個至少具有一次代數精度的積分公式。分析：構造一次代數精度的公式，即當SKIPIF1<0及SKIPIF1<0時，公式嚴格成立，故有2個約束條件，于是可以確定具有2個參數的積分公式。解：設積分公式為：SKIPIF1<0。針對SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，代入積分公式的左邊和右邊，有：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于是有積分公式：SKIPIF1<0。該公式即為梯形求積公式。例2.構造一個至少具有2次代數精度的求積公式。解：設積分公式為SKIPIF1<0。針對SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，代入積分公式的左邊和右邊，有：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0積分公式為：SKIPIF1<0該公式即為辛普生公式，需要注意的是，該公式的代數精度并不是2次，而是3次的。方法二，插值法（插值型求積公式），即過函數f(x)的n+1節點x0，x1，……，xn，作n次多項式函數SKIPIF1<0，根據拉格朗日公式：SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，其中，SKIPIF1<0代數精度的分析：若被積函數SKIPIF1<0是次數小于n的多項式函數，那么由其曲線上的n+1節點構成的n次多項式函數SKIPIF1<0即是被積函數SKIPIF1<0本身。則：插值型積分公式具有至少n次代數精度。解釋：若SKIPIF1<0是一條直線，那么過其曲線上3個點構造的拋物線SKIPIF1<0，其中必有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；同理，若SKIPIF1<0是一條拋物線，那么過其曲線上4個點構造的3次多項式函數SKIPIF1<0，其中必有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。四．牛頓-柯特斯公式1.牛頓－柯特斯公式（等間距的插值型求積公式）把區間[a，b]分為n等份，步長為hh＝（b－a）/n則n+1個點分別為：SKIPIF1<0。由這n＋1個點構造的插值型求積公式為：SKIPIF1<0該公式稱為牛頓－柯特斯公式，SKIPIF1<0稱為柯特斯系數，SKIPIF1<0當n＝1時（即2個點，1等份），有梯形公式（1次代數精度）：SKIPIF1<0當n＝2時（即3個點，2等份），有公式辛普生公式（3次代數精度）：SKIPIF1<0當n＝4時（即5個點，4等份），有柯特斯公式（5次代數精度）SKIPIF1<0SKIPIF1<02.復化求積公式1.復化梯形求積公式SKIPIF1<02.復化辛普生公式SKIPIF1<03.變步長算法梯形公式的逐次分半算法含義：把區間[a，b]分成n等份計算其n個小梯形面積SKIPIF1<0；再把區間[a，b]分成2n等份計算其2n個小梯形面積SKIPIF1<0。預備知識：SKIPIF1<0則有：SKIPIF1<0先計算SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，再計算SKIPIF1<0，……直到SKIPIF1<0為止，則SKIPIF1<0就是答案。4.龍貝格求積公式復化積分的誤差公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0龍貝格公式推導SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0公式SKIPIF1<0稱為龍貝格公式，龍貝格公式不是牛頓－柯特斯公式。龍貝格公式求積算法T1T2S1T4S2C1T8S4C2R1T16S8C4R25.高斯公式（1）.含義：積分公式的一般形式；SKIPIF1<0以前的節點是按等間距來選擇，為了獲得更高的代數精度節點也可以作為待定值。（2）.一點高斯公式設一點高斯公式的形式為：SKIPIF1<0其實SKIPIF1<0都是需要待定的值。根據代數精度概念，令SKIPIF1<0，使積分公式準確成立，有SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故一點高斯公式為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即為中矩形公式，它具有1次代數精度。（3）.二點高斯公式設一點高斯公式的形式為：SKIPIF1<0其實SKIPIF1<0都是需要待定的值。根據代數精度概念，令SKIPIF1<0，使積分公式準確成立，有SKIPIF1<0該方程組不是線性方程組，故其求解比較困難，最后解得：解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故二點高斯公式為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，它具有3次代數精度。n點高斯公式具有至少2n－1次代數精度。（4）.勒讓德多項式SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。。。。。。可以證明，勒讓德多項式的零點可以作為節點來構造高斯公式：SKIPIF1<0（5）.三點高斯公式確定公式SKIPIF1<0中的6個參數。分析3次勒讓德多項式SKIPIF1<0則其零點為：SKIPIF1<0。令SKIPIF1<0，使積分公