專題15解題技巧專題：勾股定理與面積問題、方程思想之七大類型【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一三角形中，利用面積求斜邊上的高】 1【類型二巧妙割補求面積】 8【類型三結合乘法公式巧求面積或長度】 12【類型四“勾股樹”及其拓展類型求面積】 15【類型五幾何圖形中的方程思想—折疊問題（利用等邊建立方程）】 21【類型六幾何圖形中的方程思想—公邊問題（利用公邊建立方程）】 28【類型七實際問題中的方程思想】 30【典型例題】【類型一三角形中，利用面積求斜邊上的高】例題：如圖，在中，，，在中，是邊上的高，，．(1)求的長．(2)求斜邊邊上的高．【變式訓練】1．（2023春·青海西寧·八年級?？茧A段練習）等腰三角形的腰為，底邊長為，則它的高為（

）．A． B． C． D．2．（2023春·湖南湘西·八年級校聯考期中）如圖所示，在中，，，，那么邊上的高為（

）

A． B． C． D．3．（2023春·湖北鄂州·八年級校考階段練習）如圖，的頂點A，B，C在邊長為1的正方形網格的格點上，則邊上的高為（

）A． B． C． D．4．（2023秋·湖南衡陽·八年級衡陽市第十五中學校考期末）直角三角形一直角邊長為6，斜邊長為，則這個直角三角形斜邊上的高為．5．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，則BC邊上的高為．6．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第六十九中學校?？茧A段練習）如圖，在中，，，、是邊上兩點，，若，，則的邊上的高是．

7．（2022秋·安徽淮北·九年級?？奸_學考試）直角三角形兩邊長分別為和，則斜邊上的高為．8．（2023春·河南安陽·八年級統考期中）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A、B、C均在格點上．（1）直接寫出AC的長為，△ABC的面積為；（2）請在如圖所示的網格中，用無刻度的直尺作出AC邊上的高BD，并保留作圖痕跡；（3）求BD的長．【類型二巧妙割補求面積】例題：（2023春·河南許昌·八年級校考期中）如圖，在四邊形中，已知，，，，．

(1)求證：是直角三角形；(2)求四邊形的面積．【變式訓練】1．（2023春·內蒙古呼倫貝爾·八年級校考期中）如圖所示，是一塊地的平面圖，其中米，米，米，米，，求這塊地的面積.

2．（2023春·安徽馬鞍山·八年級校考期末）已知，，是的三邊，且，，．(1)試判斷的形狀，并說明理由；(2)求的面積．3．（2023春·山東菏澤·八年級?？茧A段練習）四邊形草地中，已知，，，，且為直角．

(1)求這個四邊形草地的面積；(2)如果清理草地雜草，每平方米需要人工費20元，清理完這塊草地雜草需要多少錢？4．（2022春·重慶綦江·八年級?？茧A段練習）計算：如圖，每個小正方形的邊長都為1．

(1)求線段與的長；(2)求四邊形的面積；(3)求證：．【類型三結合乘法公式巧求面積或長度】例題：已知在中，所對的邊分別為a，b，c，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．在中，AD是BC邊上的高，，則的面積為（

）A．18 B．24 C．18或24 D．18或303．直角三邊長分別是x，和5，則的面積為__________．【類型四“勾股樹”及其拓展類型求面積】例題：（2023·廣西柳州·?？家荒＃┤鐖D，，正方形和正方形的面積分別是289和225，則以為直徑的半圓的面積是（）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023秋·四川成都·八年級?？茧A段練習）如圖中字母A所代表的正方形的面積為（

）

A．5 B．10 C．15 D．252．（2023春·四川綿陽·八年級校考階段練習）如圖，在中，，分別以的三條邊分別作等腰直角三角，，，若它們的面積分別表示為，，，則，，的關系是（

）

A． B．C． D．，，無等量關系3．（2023春·福建福州·八年級統考期末）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為，正方形A的面積是的面積是的面積是，則的面積為．

4．（2023春·貴州畢節·八年級統考期末）如圖，在中，，分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數學史上稱為“希波克拉底月牙”，若，，則圖中陰影部分的面積為．5．（2023春·湖南永州·八年級?？茧A段練習）如圖②，它可以看作是由邊長為a、b、c的兩個直角三角形（如圖①c為斜邊）拼成的，其中A、C、D三點在同一條直線上，(1)請從面積出發寫出一個表示a、b、c的關系的等式；（要求寫出過程）(2)如圖③④⑤，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關系滿足的有個．（不需證明）(3)如圖⑥所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，直角三角形面積為S3，請判斷的關系，并說明理由．【類型五幾何圖形中的方程思想—折疊問題（利用等邊建立方程）】例題：（2023春·河南許昌·八年級統考期中）已知直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6，8，現將按如圖所示的方式折疊，使點A與點B重合，則的長是（

）

A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023春·湖北咸寧·八年級?？茧A段練習）如圖，有一塊直角三角形紙片，，將斜邊翻折，使點B落在直角邊的延長線上的點E處，折痕為，則的長為（

）A． B． C． D．32．（2023春·山東菏澤·八年級統考期中）如圖，中，，，，將折疊，使點與的中點重合，折痕交于點，交于點，則線段的長為．

3．（2022秋·河北張家口·八年級統考期中）在中，，點分別在邊上（不與端點重合）．將△ADE沿折疊，點A落在的位置．

(1)如圖①，當與點重合且．①直接寫出的長；②求的面積．(2)當．①與點在直線的異側時．如圖②，直接寫出的大小；②與點在直線的同側時，且的一邊與平行，直接寫出的度數．【類型六幾何圖形中的方程思想—公邊問題（利用公邊建立方程）】例題：已知：如圖，在中，是的角平分線，，則____．

【變式訓練】1．如圖，在和中，，，，延長，交于點．

(1)求證：點A在的平分線上；(2)若，，，求的長．【類型七實際問題中的方程思想】例題：（2022·全國·八年級）明朝數學家程大位在他的著作《算法統宗》中寫了一首計算秋千繩索長度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步恰竿齊，五尺板高離地……”翻譯成現代文為：如圖，秋千繩索OA懸掛于O點，靜止時豎直下垂，A點為踏板位置，踏板離地高度為一尺（AC＝1尺）．將它往前推進兩步（EB⊥OC于點E，且EB＝10尺），踏板升高到點B位置，此時踏板離地五尺（BD＝CE＝5尺），則秋千繩索（OA或OB）長______尺．【變式訓練】1．（2022·全國·八年級課時練習）如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點C和點D距離門檻AB都為1尺（1尺＝10寸），則AB的長是（）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸2．（2022·河南·金明中小學八年級期中）《九章算術》是我國古代數學名著，有題譯文如下：今有門，不知其高寬；有竿，不知其長短．橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高短2尺；斜放，門對角線長恰好是竿長的倍．問門高、門寬各為多少？3．（2022·重慶市求精中學校八年級期中）在一條東西走向的河的一側有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中，由于某種原由C到A的路現在已經不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路CH，測得千米，千米，千米．(1)問CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請通過計算加以說明．(2)求原來的路線AC的長．4．（2022·浙江·浦江縣實驗中學八年級期中）圖1是一張可以折疊的小床展開