PAGEPAGE98中考真題解析120考點匯編☆相似三角形判定和性質一、選擇題1.（2011湖北荊州，7，3分）如圖，P為線段AB上一點，AD與BC交干E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于E，AD交PC于G，則圖中相似三角形有（）A、1對B、2對C、3對D、4對

考點：相似三角形的判定．專題：證明題．分析：根據題目提供的相等的角和圖形中隱含的相等的角，利用兩對應角對應相等的兩三角形相似找到相似三角形即可．解答：解：∵∠CPD=∠A=∠B，

∴△PCF∽△BCP

△APG∽△BFP

△APD∽△GPD

故選B．點評：本題考查相似三角形的判定．識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應邊、對應角．2.（2011江蘇無錫，7，3分）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于O，且將這個四邊形分成①、②、③、④四個三角形．若OA：OC=0B：OD，則下列結論中一定正確的是（） A．①與②相似 B．①與③相似C．①與④相似 D．②與③相似考點：相似三角形的判定。分析：由OA：OC﹣=0B：OD，利用對頂角相等相等，兩三角形相似，①與③相似，問題可求．解答：證明：∵OA：OC=0B：OD，∠AOB=∠COD（對頂角相等），∴①與③相似．故選B．點評：本題解答的關鍵是熟練記住所學的三角形相似的判定定理，此題難度不大，屬于基礎題．3.（2011山西，11，2分）如圖，△ABC中，AB＝AC，點D、E分別是邊AB、AC的中點，點G、F在BC邊上，四邊形DEFG是正方形．若DE＝2㎝，則AC的長為（）A．B．C．D．

考點：三角形中位線，相似三角形的相似比專題：相似三角形分析：由題意知DE是等腰△ABC的中位線，所以DE∥BC，DE＝BC，因為DE＝2㎝，所以BC＝4㎝．又DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，且相似比為．過點A作AM⊥BC于點M．則MC＝2㎝，由點E是邊AC的中點，EF∥AM，所以FC＝1㎝．在△EFC中，因為正方形DEFG的邊長是2㎝，所以根據勾股定理得EC＝，所以AC＝，故選D．解答：D點評：此題是三角形中位線，等腰三角形的性質，勾股定理，相似三角形的相似比等的綜合應用．過點A作AM⊥BC于點M，構造等腰三角形的高學生不易想到．4.（2011陜西，9，3分）如圖，在□ABCD中，E、F分別是AD、CD邊上的點，連接BE、AF，他們相交于點G，延長BE交CD的延長線于點H，則圖中的相似三角形共有（）A．2對B．3對C．4對D．5對考點：相似三角形的判定；平行四邊形的性質。專題：證明題。分析：根據四邊形ABCD是平行四邊形，利用相似三角形的判定定理，對各個三角形逐一分析即可．解答：解：∵在□ABCD中，E、F分別是AD、CD邊上的點，連接BE、AF，他們相交于G，延長BE交CD的延長線于點H，∴△AGB∽△HGF，△HED∽△HBC，△HED∽△AGB，△AEB∽△HBC，共4對．故選C．點評：此題主要考查相似三角形的判定和平行四邊形的性質等知識點的理解和掌握，解答此題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理．5.（2011臺灣，15，4分）如圖為梯形紙片ABCD，E點在BC上，且∠AEC＝∠C＝∠D＝90°，AD＝3，BC＝9，CD＝8．若以AE為折線，將C折至BE上，使得CD與AB交于F點，則BF長度為何（） A．4.5 B．5C．5.5 D．6考點：相似三角形的判定與性質；勾股定理；三角形中位線定理；翻折變換（折疊問題）。專題：數形結合。分析：先根據題意畫出示意圖，根據軸對稱的性質可以得出一些線段的長度，進而根據相似三角形的性質可解得BF的長．解答：解：由題意得：EE'＝EC＝AD＝3，∴BE'＝BC－E'E－EC＝3，∴AB＝＝10，又∵△BE'F∽△BEA，∴，∴BF＝5．故選B．點評：本題考查勾股定理及梯形的知識，難度不大，解答本題的關鍵是掌握翻折后的對應線段相等，另外還要注意掌握相似三角形的對應邊成比例的應用．6.（2011臺灣，26，4分）如圖為一△ABC，其中D．E兩點分別在AB．AC上，且AD＝31，DB＝29，AE＝30，EC＝32．若∠A＝50°，則圖中∠1．∠2．∠3．∠4的大小關系，下列何者正確？（） A．∠1＞∠3 B．∠2＝∠4C．∠1＞∠4 D．∠2＝∠3考點：相似三角形的判定與性質。分析：本題需先根據已知條件得出AD與AC的比值，AE與AB的比值，從而得出△ADE與△ACB相似，最后即可求出結果．解答：解：∵AD＝31，BD＝29，AE＝30，EC＝32，∴AB＝31＋29＝60，AC＝30＋32＝62，∴，，∴，∴∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴∠2＝∠3．故選D．點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質，在解題時要注意找出題中的等量關系，證出三角形相似是解題的關鍵．7.（2011臺灣，33，4分）如圖，為一個四邊形ABCD，其中AC與BD交于E點，且兩灰色區域的面積相等．若AD＝11，BC＝10，則下列關系何者正確（） A．∠DAE＜∠BCE B．∠DAE＞∠BCEC．BE＞DE D．BE＜DE考點：相似三角形的判定與性質；平行線之間的距離；三角形的面積。分析：首先作輔助線：過點A與D分別作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，即可得AM∥DN，又由兩灰色區域的面積相等，易得AM＝DN，即可證得四邊形AMND是平行四邊形，可證得：△ADE∽△CBE，根據相似三角形的性質即可求得答案．解答：解：過點A與D分別作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，∴AM∥DN，∵S△ABE＝S△DEC，∴S△ABC＝S△DBC，∵S△ABC＝?BC?AM，S△DBC＝?BC?DN，∴AM＝DN，∴四邊形AMND是平行四邊形，∴AD∥BC，∴△ADE∽△CBE，∴，∵AD＝11，BC＝10，∴BE＜DE．故選D．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質以及三角形面積問題．此題綜合性很強，解題時要注意數形結合思想的應用．8.（2011新疆烏魯木齊，10，4）如圖，等邊三角形ABC的邊長為3，點P為BC邊上一點，且BP＝1，點D為AC邊上一點，若∠APD＝60°，則CD的長為（） A、 B、 C、 D、1考點：相似三角形的判定與性質；等邊三角形的性質。分析：根據兩角對應相等的兩個三角形相似，即可證得ABP∽△PCD，然后根據相似三角形的對應邊的比相等即可求得CD的長．解答：解：∵∠APC＝∠ABP＋∠BAP＝60＋∠BAP＝∠APD＋∠CPD＝60＋∠CPD，∴∠BAP＝∠CPD．又∵∠ABP＝∠PCD＝60，∴ABP∽△PCD．∴，即．∴CD＝．故選B．點評：本題主要考查了相似三角形的相似的判定以及應用，正確證得兩個三角形相似是解題的關鍵．9.（2011重慶江津區，8，4分）已知如圖：（1）、（2）中各有兩個三角形，其邊長和角的度數已在圖上標注，圖（2）中AB、CD交于O點，對于各圖中的兩個三角形而言，下列說法正確的是（） A、都相似 B、都不相似 C、只有（1）相似 D、只有（2）相似考點：相似三角形的判定。分析：圖（1）根據三角形的內角和定理，即可求得△ABC的第三角，由有兩角對應相等的三角形相似，即可判定（1）中的兩個三角形相似；圖（2）根據圖形中的已知條件，即可證得，又由對頂角相等，即可根據對應邊成比例且夾角相等的三角形相似證得相似．解答：解：如圖（1）∵∠A＝35°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，∵∠E＝75°，∠F＝70°，∴∠B＝∠E，∠C＝∠F，∴△ABC∽△DEF；如圖（2）∵OA＝4，OD＝3，OC＝8，OB＝6，∴，∵∠AOC＝∠DOB，∴△AOC∽△DOB．故選A．點評：此題考查了相似三角形的判定．注意有兩角對應相等的三角形相似與對頂角相等，即可根據對應邊成比例且夾角相等的三角形相似的定理的應用．10.（2011重慶綦江，4，4分）若相似△ABC與△DEF的相似比為1：3，則△ABC與△DEF的面積比為（） A．1：3 B．1：9 C．3：1 D．1：考點：相似三角形的性質。專題：計算題。分析：由相似△ABC與△DEF的相似比為1：3，根據相似三角形面積的比等于相似比的平方，即可求得△ABC與△DEF的面積比．解答：解：∵相似△ABC與△DEF的相似比為1：3，∴△ABC與△DEF的面積比為1：9．故選B．點評：本題考查對相似三角形性質．注意相似三角形面積的比等于相似比的平方．11.（2011重慶市，5，4分）若△ABC～△DEF，它們的面積比為4：1，則△ABC與△DEF的相似比為A．2：1 B．1：2考點：相似三角形的性質．分析：由△ABC∽△DEF與它們的面積比為4：1，根據相似三角形面積的比等于相似比的平方，即可求得△ABC與△DEF的相似比．答案：解：∵△ABC∽△DEF，它們的面積比為4：1，

∴△ABC與△DEF的相似比為2：1．

故選A．點評：本題考查了相似三角形性質．注意相似三角形面積的比等于相似比的平方．12.（2010?沈陽）如圖，在等邊△ABC中，D為BC邊上一點，E為AC邊上一點，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，則△ABC的邊長為（） A、9 B、12 C、15 D、18考點：等邊三角形的性質；相似三角形的判定與性質。分析：由∠ADE=60°，可證得△ABD∽△DCE；可用等邊三角形的邊長表示出DC的長，進而根據相似三角形的對應邊成比例，求得△ABC的邊長．解答：解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC；∴CD=BC﹣BD=AB﹣3；∴∠BAD+∠ADB=120°∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°，∴∠DAB=∠EDC，又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE；∴，即；解得AB=9．故選A．點評：此題主要考查了等邊三角形的性質和相似三角形的判定和性質，能夠證得△ABD∽△DCE是解答此題的關鍵．13.（2011，臺灣省，7,5分）如圖為A、B、C、D四點在坐標平面上的位置，其中O為原點，AB∥CD．根據圖中各點坐標，求D點坐標為何？（） A、（0，） B、（0，） C、（0，5） D、（0，6）考點：相似三角形的判定與性質；坐標與圖形性質。分析：因為D點在y軸上，所以橫坐標為0．因此只需求OD的長度即可．根據AB∥CD可得△AOB∽△COD，根據對應邊成比例求解．解答：解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD．∴AO：CO=BO：DO，即：=：DODO=×，∴DO=5，∴D點坐標（0，5）．故選C．點評：此題考查相似三角形的判定和性質，亮點在于把幾何與代數有機地結合起來，難度不大．14.（2011泰安，15，3分）如圖，點F是?ABCD的邊CD上一點，直線BF交AD的延長線與點E，則下列結論錯誤的是（） A． B．C． D．考點：平行線分線段成比例；平行四邊形的性質。分析：由四邊形ABCD是平行四邊形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，然后平行線分線段成比例定理，對各項進行分析即可求得答案．解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，∴，故A正確； ∴，∴，故B正確；∴，故C錯誤；∴，∴，故D正確．故選C．點評：本題考查平行線分線段成比例定理，找準對應關系，避免錯選其他答案．15.（2011泰安，17，3分）如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，若兩個小正方形的面積分別為S1，S2，則S1＋S2的值為（） A．16 B．17C．18 D．19考點：相似三角形的判定與性質；正方形的性質。專題：計算題。分析：由圖可得，S1的邊長為3，由AC＝BC，BC＝CE＝CD，可得AC＝2CD，CD＝2，EC＝；然后，分別算出S1．S2的面積，即可解答；解答：解：如圖，設正方形S2的邊長為x，根據等腰直角三角形的性質知，AC＝BC，BC＝CE＝CD，∴AC＝2CD，CD＝＝2，∴EC2＝22＋22，即EC＝；∴S2的面積為＝8；∵S1的邊長為3，S1的面積為3×3＝9，∴S1＋S2＝8＋9＝17．故選B．點評：本題考查了正方形的性質和等腰直角三角形的性質，考查了學生的讀圖能力．16.（2011年山東省威海市，3，3分）在?ABCD中，點E為AD的中點，連接BE，交AC于點F，則AF：CF=（）A、1：2B、1：3C、2：3考點：相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．專題：證明題．分析：根據四邊形ABCD是平行四邊，求證△AEF∽△△BCF，然后利用其對應邊成比例即可求得答案．解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊，

∴△AEF∽△△BCF，

∴，

∵點E為AD的中點，

∴，

故選A．點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定與性質，平行四邊形的性質等知識點，難度不大，屬于基礎題．17.（2011山東省濰坊，3，3分）如圖，△ABC中．BC=2．DE是它的中位線．下面三個結論：（1）DE=1；(2)△ADE∽△ABC；(3)△ADE的面積與△ABC的面積之比為l：4．其中正確的有()．A．0個B．1個C．2個D．3個【考點】相似三角形的判定與性質；三角形中位線定理．【專題】幾何綜合題．【分析】本題需先根據相似三角形的判定和性質以及三角形的中位線的性質逐個分析，即可得出正確答案．【解答】解：（1）∵△ABC中，BC=2，DE是它的中位線，

∴DE=

=

=1

故本選項正確；

（2）∵△ABC中，DE是它的中位線

∴DE∥BC

∴△ADE∽△ABC

故本選項正確；

（3）∵△ADE∽△ABC，相似比為1：2

∴△ADE的面積與△ABC的面積之比為1：4．

故本選項正確

故選D．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，在解題時要注意與三角形的中位線的性質相結合是本題的關鍵．18.（2011四川達州，5，3分）如圖，在?ABCD中，E是BC的中點，且∠AEC=∠DCE，則下列結論不正確的是（） A、s△AFD=2s△EFB B、BF=DF C、四邊形AECD是等腰梯形 D、∠AEB=∠ADC考點：平行四邊形的性質；相似三角形的判定與性質。分析：本題要綜合分析，但主要依據都是平行四邊形的性質．解答：解：A、∵AD∥BC∴△AFD∽△EFB∴∴s△AFD=2s△ABF，s△ABF=2s△EFB，故s△AFD=4s△EFB；B、利用平行四邊形的性質可知正確．C、由∠AEC=∠DCE可知正確．D、利用等腰三角形和平行的性質即可證明．故選A．點評：解決本題的關鍵是利用相似求得各對應線段的比例關系．19.（2011，四川樂山，,7,3分）如圖，直角三角板ABC的斜邊AB=12cm，∠A=30°，將三角板ABC繞C順時針旋轉90°至三角板A'B'C'的位置后，再沿CB方向向左平移，使點B'落在原三角板ABC的斜邊AB上，則三角板A'B'C'平移的距離為（） A.6cm B.4cmC.（6﹣）cm D.（）cm考點：相似三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形；勾股定理；平移的性質；旋轉的性質。專題：計算題。分析：如圖，過B′作B′D⊥AC，垂足為B′，則三角板A'B'C'平移的距離為B′D的長，根據AB′=AC﹣B′C，∠A=30°，在Rt△AB′D中，解直角三角形求B′D即可．解答：解：如圖，過B′作B′D⊥AC，垂足為B′，∵在Rt△ABC中，AB=12，∠A=30°，∴BC=AB=6，AC=AB?sin30°=6，由旋轉的性質可知B′C=BC=6，∴AB′=AC﹣B′C=6﹣6，在Rt△AB′D中，∵∠A=30°，∴B′D=AB′?tan30°=（6﹣6）×=（6﹣2）cm．故選C．點評：本題考查了旋轉的性質，30°直角三角形的性質，平移的問題．關鍵是找出表示平移長度的線段，把問題集中在小直角三角形中求解．20．（2011，四川樂山，9，3分）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD的中點，AE交BF于點H，CG∥AE交BF于點G．下列結論：①tan∠HBE=cot∠HEB；②CG?BF=BC?CF；③BH=FG；④．其中正確的序號是（） A.①②③ B.②③④C.①③④ D.①②④考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；銳角三角函數的定義。專題：證明題。分析：①根據正方形的性質求證△BHE為直角三角形即可得出結論；②由①求證△CGF∽BCF．利用其對應邊成比例即可求得結論；③由①求證△BHE≌△CGF即可得出結論，④利用相似三角形對應邊成比例即可求得結論．解答：證明：①∵在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD的中點，∴Rt△ABE≌Rt△BCF，∴∠BEA=∠CFB，∵CG∥AE，∴∠GCB=∠AEB∴∠CFG=∠GCB，∴∠CFG+∠GCF=90°即△CGF為直角三角形，∴CG∥AE交BF于點G，∴△BHE也為直角三角形，∴tan∠HBE=cot∠HEB；∴①正確．②由①可得△CGF∽BCF，∴，∴CG?BF=BC?CF，∴②正確；③由①得△BHE≌△CGF，∴BH=CG，而不是BH=FG∴③BH=FG錯誤；④∵△BCG∽△BCF，∴，即BC2=BG?BF，同理CF2=BF?GF，∴，∴④正確，綜上所述，正確的有①②④．故選D．點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，銳角三角函數的定義等知識點的理解和掌握，步驟繁瑣，有一定的拔高難度，屬于中檔題．.21.（2011四川攀枝花，10，3分）如圖，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，BO⊥AC，垂足為點O，過點A作射線AE∥BC，點P是邊BC上任意一點，連接PO并延長與射線AE相交于點Q，設B，P兩點之間的距離為x，過點Q作直線BC的垂線，垂足為R．岑岑同學思考后給出了下面五條結論：①△AOB≌△COB；②當0＜x＜10時，△AOQ≌△COP；③當x=5時，四邊形ABPQ是平行四邊形；④當x=0或x=10時，都有△PQR∽△CBO；⑤當x=時，△PQR與△CBO一定相似．正確的共有（） A、2條 B、3條 C、4條 D、5條考點：相似三角形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的性質；平行四邊形的判定。分析：根據相似三角形的判定以及平行四邊形的判定與性質，以及全等三角形的判定方法分別進行分析即可得出答案．解答：解：①∵AB=BC=10，AC=12，BO⊥AC，∴AO=CO，AB=BC，BO=BO，∴△AOB≌△COB；故此選項正確；②∵AE∥BC，∴∠AQO=∠OCP，∵AO=CO，∠AOQ=∠POC，∴當0＜x＜10時，△AOQ≌△COP；故此選項正確；③當x=5時，∴BP=PC=5，∵AQ=PC，∴AQ=PB=5，∵AQ∥BC，∴四邊形ABPQ是平行四邊形；故此選項正確；④當x=0或x=10時，∠ABR≠∠COB，∴△PQR不可能相似△CBO；故此選項錯誤；⑤當x=時，∵BC=8，CO=6，∴BO=8，∵BP=2.8，∴PC=7.2，BC×AR′=BO×AC，∴AR′=QR=9.6，∴QR：BO=PC：CO=1.2，∴△PQR與△CBO一定相似．故此選項正確．故正確的有4條，故選：C．點評：此題主要考查了相似三角形的判定以及平行四邊形的性質和全等三角形的判定等知識，靈活應用相關知識，此題有利用提高自身綜合應用能力．22.（2011四川遂寧，9，4分）如圖，△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，下列選項正確的是（） A、DE：BC=1：2 B、AE：AC=1：3 C、BD：AB=1：3 D、S△ADE：S△ABC=1：4考點：相似三角形的判定與性質。專題：證明題。分析：由DE∥BC，易得△ADE∽△ABC，再由AD：DB=1：2，推出AD：AB=1：3，據此求出DE：BC，AE：AC，BD：AB，S△ADE：S△ABC，從而得出正確選項．解答：解：已知AD：DB=1：2，∴AD：AB=1：3，BD：AB=2：3，∵△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AE：AC=AD：AB=DE：BC=1：3，S△ADE：S△ABC=（1：3）2=1：9，所以只有B、AE：AC=1：3正確，故選：B．點評：此題考查的知識點是相似三角形的判定與性質，關鍵是由已知先得到AD：AB=1：3和△ADE∽△ABC，再求出DE：BC，AE：AC，BD：AB，S△ADE：S△ABC．23.（2011四川遂寧，10，4分）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，下列說法中：①AC?BC=AB?CD，②AC2=AD?DB，③BC2=BD?BA，④CD2=AD?DB．正確的個數是（） A、1個 B、2個 C、3個 D、4個考點：相似三角形的判定與性質。分析：由在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，易證得∠BDC=∠BCA=∠CDA=90°，又由∠A=∠A，∠B=∠B，根據有兩角對應相等的三角形相似，即可證得△ACD∽△ABC，△BDC∽△BCA，則可得△ACD∽△CBD，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．解答：解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BDC=∠BCA=∠CDA=90°，∵∠A=∠A，∠B=∠B，∴△ACD∽△ABC，△BDC∽△BCA，∴，，∴AC?AB=BC?CD，故①錯誤；BC2=BD?BA，故③正確；∴△ACD∽△CBD，∴，，∴AC2=AD?DB，CD2=AD?DB，故②④正確．下列說法中正確的個數是3個．故選C．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質．此題難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意對應線段的對應關系與比例變形．24.（2011.四川雅安，9,3分）如圖，D、E、F分別為△ABC三邊的中點，則下列說法中不正確的為（） A.△ADE∽△ABC B.S△ABF=S△AFCC. D.DF=EF考點：三角形中位線定理；三角形的面積；相似三角形的判定與性質。專題：證明題。分析：根據三角形的中位線定理，可得出DE∥BC，DE=BC，再根據三角形的面積公式，△ADE與△AFC等底同高，從而得出答案．解答：解：∵D、E、F分別為△ABC三邊的中點，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，S△ADE=S△ABC，∴S△ABF=S△AFC，故選D．點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、三角形的中位線定理以及三角形的面積，是基礎知識要熟練掌握．25.(2011四川雅安9，3分)如圖，D．E．F分別為△ABC三邊的中點，則下列說法中不正確的為（）A△ADE∽△ABCBCDDF=EF考點：三角形中位線定理；三角形的面積；相似三角形的判定與性質。專題：證明題。分析：根據三角形的中位線定理，可得出DE∥BC，DE=BC，再根據三角形的面積公式，△ADE與△AFC等底同高，從而得出答案．解答：∵D、E、F分別為△ABC三邊的中點，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，S△ADE=S△ABC，∴S△ABF=S△AFC，故選D．點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、三角形的中位線定理以及三角形的面積，是基礎知識要熟練掌握．26.（2011北京，4，4分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC，BD相交于點O，若AD=1，BC=3，則的值為（） A． B．C． D．考點：相似三角形的判定與性質；梯形。專題：證明題。分析：根據梯形的性質容易證明△AOD∽△COB，然后利用相似三角形的性質即可得到AO：CO的值．解答：解：∵四邊形ABCD是梯形，∴AD∥CB，∴△AOD∽△COB，∴,∵AD=1，BC=3．∴．故選B．點評：此題主要考查了梯形的性質，利用梯形的上下底平行得到三角形相似，然后用相似三角形的性質解決問題．27.（2011福建廈門，7，3分）如圖，鐵道口的欄桿短臂OA長1m，長臂OB長8m．當短臂外端A下降 A、2m B、 C、4.5m D、考點：相似三角形的應用。分析：欄桿長短臂在升降過程中，將形成兩個相似三角形，利用對應變成比例解題．解答：解：設長臂端點升高x米，則，∴x=4．故選：B．點評：此題是相似三角形在實際生活中的運用，比較簡單．28.（2011福建省漳州市，10,3分）如圖，小李打網球時，球恰好打過網，且落在離網4m的位置上，則球拍擊球的高度h為（） A、0.6m B、 C、1.3m D、考點：相似三角形的應用。分析：利用平行得出三角形相似，運用相似比即可解答．解答：解：∵AB∥DE，∴，∴，∴h=1.4m故選：D．點評：此題主要考查了相似三角形的判定，根據已知得出是解決問題的關鍵．29.（2011天水，10，4）如圖，有一塊矩形紙片ABCD，AB=8，AD=6．將紙片折疊，使得AD邊落在AB邊上，折痕為AE，再將△AED沿DE向右翻折，AE與BC的交點為F，則CF的長為（） A、6 B、4 C、2 D、1考點：翻折變換（折疊問題）；矩形的性質。分析：由矩形紙片ABCD，AB=8，AD=6．根據矩形與折疊的性質，即可得在第三個圖中：AB=AD﹣BD=6﹣2=4，AD∥EC，BC=6，即可得△ABF∽△ECF，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得CF的長．解答：解：由四邊形ABCD是矩形，AB=8，AD=6．根據題意得：BD=AB﹣AD=8﹣6=2，四邊形BDEC是矩形，∴EC=BD=2，∴在第三個圖中：AB=AD﹣BD=6﹣2=4，AD∥EC，BC=6，∴△ABF∽△ECF，∴,設CF=x，則BF=6﹣x，∴,解得：x=2，∴CF=2．故選C．點評：此題考查了折疊的性質，相似三角形的判定與性質，以及矩形的性質等知識．此題難度適中，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．30.（2011廣東深圳，12，3分）如圖，△ABC與△DEF均為等邊三角形，O為BC、EF的中點，則AD：BE的值為（）A、：lB、：lC、5：3D、不確定考點：相似三角形的判定與性質；等邊三角形的性質．分析：連接OA、OD，由已知可以推出OB：OA=OE：OD，推出△ODA∽△OEB，根據銳角三角函數即可推出AD：BE的值．解答：解：連接OA、OD，

∵△ABC與△DEF均為等邊三角形，O為BC、EF的中點，

∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO=30°，∠BAO=30°，

∴OD：OE=OA：OB=：1，

∵∠DOE+∠EOA=∠BOA+∠EOA即∠DOA=∠EOB，

∴△DOA∽△EOB，

∴OD：OE=OA：OB=AD：BE=：1．

故選A．點評：本題主要考查了相似三角形的判定及性質、等邊三角形的性質，本題的關鍵在于找到需要證相似的三角形，找到對應邊的比即可．31.（2011?丹東，3，3分）某一時刻，身髙1.6m的小明在陽光下的影長是0.4m，同一時刻同一地點測得某旗桿的影長是5m，則該旗桿的高度是（） A、1.25m B、10m C、20m D、8m考點：相似三角形的應用。專題：計算題。分析：設該旗桿的高度為xm，根據三角形相似的性質得到同一時刻同一地點物體的高度與其影長的比相等，即有1.6：0.4=x：5，然后解方程即可．解答：解：設該旗桿的高度為xm，根據題意得，1.6：0.4=x：5，解得x=20（m）．即該旗桿的高度是20m．故選C．點評：本題考查了三角形相似的性質：相似三角形對應邊的比相等．32.（2011?銅仁地區10,3分）已知：如圖，在△ABC中，∠AED=∠B，則下列等式成立的是（） A、 B、C、D、考點：相似三角形的判定與性質。專題：證明題。分析：在△ADE和△ACB中，由∠AED=∠B，可得出△ADE∽△ACB，根據相似三角形的性質，得，從而可選出答案．解答：解：∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴．故選C．點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，兩角相等，兩三角形相似．33.（2011貴州遵義，10，3分）如圖，在直角三角形ABC中（∠C＝900）,放置邊長分別3,4,的三個正方形，則x的值為A.5B.6C.7D.12【考點】相似三角形的判定與性質；正方形的性質．【分析】根據已知條件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN然后把它們的直角邊用含x的表達式表示出來，利用對應邊的比相等，即可推出x的值．【解答】解：∵在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置邊長分別3，4，x的三個正方形，

∴△CEF∽△OME∽△PFN，

∴OE：PN=OM：PF，

∵EF=x，MO=3，PN=4，

∴OE=x-3，PF=x-4，

∴（x-3）（x-4）=12，

∴x=0（不符合題意，舍去），x=7．

故選C．【點評】本題主要考查相似三角形的判定和性質、正方形的性質，解題的關鍵在于找到相似三角形，用x的表達式表示出對應邊．34.（2011海南，1，3分）如圖，在△ABC中．∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，則圖中相似三角形共有（） A．1對 B．2對 C．3對 D．4對考點：相似三角形的判定。專題：常規題型。分析：根據相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形．解答：解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD，所以有三對相似三角形．故選C．點評：本題主要考查相似三角形的判定定理：（1）兩角對應相等的兩個三角形相似．（2）兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似．（3）三邊對應成比例的兩個三角形相似．35.（2011河北，9，3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D，E分別在AB．AC上，將△ABC沿DE折疊，使點A落在點A′處，若A′為CE的中點，則折痕DE的長為（） A． B．2C考點：相似三角形的判定與性質；翻折變換（折疊問題）。專題：計算題。分析：△ABC沿DE折疊，使點A落在點A′處，可得∠EDA＝∠EDA′＝90°，AE＝A′E，所以，△ACB∽△AED，A′為CE的中點，所以，可運用相似三角形的性質求得．解答：解：∵△ABC沿DE折疊，使點A落在點A′處，∴∠EDA＝∠EDA′＝90°，AE＝A′E，∴△ACB∽△AED，又A′為CE的中點，∴，即，∴ED＝2．故選B．點評：本題考查了翻折變換和相似三角形的判定與性質，翻折變換后的圖形全等及兩三角形相似，各邊之比就是相似比．36.（2011黑龍江雞西，8，3分）如圖，A、B、C、D是⊙O上的四個點，AB=AC，AD交BC于點E，AE=3，ED=4，則AB的長為（）A.3B.2C.D.3第8題圖第8題圖考點：圓周角定理；相似三角形的判定與性質.分析：根據圓周角定理可得∠ACB=∠ABC=∠D，再利用三角形相似△ABD∽△AEB，即可得出答案．解答：解：∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=∠D，∵∠BAD=∠BAD，∴△ABD∽△AEB，∴，∴AB2=3×7=21，∴AB=．故選C．點評：此題主要考查了圓周角定理以及相似三角形的判定與性質，根據題意得出△ABD∽△AEB是解決問題的關鍵．37.（2011浙江紹興，10，4分）李老師從“淋浴龍頭”受到啟發．編了一個題目：在數軸上截取從0到3的對應線段AB，實數m對應AB上的點M，如圖1；將AB折成正三角形，使點A，B重合于點P，如圖2；建立平面直角坐標系，平移此三角形，使它關于y軸對稱，且點P的坐標為（0，2），PM與x軸交于點N（n，0），如圖3．當m=時，求n的值．你解答這個題目得到的n值為（） A．4﹣2 B．2﹣4C． D．考點：相似三角形的判定與性質；實數與數軸；坐標與圖形性質；等邊三角形的性質；軸對稱的性質；平移的性質。專題：探究型。分析：先根據已知條件得出△PDE的邊長，再根據對稱的性質可得出PF⊥DE，DF=EF，銳角三角函數的定義求出PF的長，由m=求出GF的長，再根據相似三角形的判定定理判斷出△PFM∽△PON，利用相似三角形的性質即可得出結論．解答：解：∵AB=3，△PDE是等邊三角形，∴PD=PE=DE=1，∵△PDE關于y軸對稱，∴PF⊥DE，DF=EF，DE∥x軸，∴PF=，∴△PFG∽△PON，∵m=，∴FM=﹣，∴，即,解得ON=4﹣2．故選A．點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質及等邊三角形的性質，能根據題意得出FG的長是解答此題的關鍵．38.（2011湖州，9，3分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是AB延長線上一點，BC=OB，CE是⊙O的切線，切點為D，過點A作AE⊥CE，垂足為E，則CD：DE的值是（）A. B.1 C.2 D.3考點：切線的性質；相似三角形的判定與性質.專題：計算題.分析：連接OD，設⊙O的半徑為r，可證得△COD∽△CAE，則，從而得出CD：DE的值．解答：解：如圖，連接OD，∵AB是⊙O的直徑，BC=OB，∴OA=OB=BC，∵CE是⊙O的切線，∴OD⊥CE.∵AE⊥CE，∴OD∥AE，∴△COD∽△CAE，∴，∴．故選C．點評：本題考查了切線的性質，相似三角形的判定和性質，是基礎知識要熟練掌握．39.（2011浙江嘉興，7，3分）如圖，邊長為4的等邊△ABC中，DE為中位線，則四邊形BCED的面積為（） A． B．C． D．考點：相似三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；三角形中位線定理．分析：根據邊長為4的等邊△ABC中，DE為中位線，得出DF=，再利用梯形的面積公式求出．解答：解：作DF⊥BC，∵邊長為4的等邊△ABC中，DE為中位線，∴DE=2，BD=2，∴DF=，∴則四邊形BCED的面積為：DF×（DE+BC）=×（2+4）=3．故選B．點評：此題主要考查了等邊三角形的性質以及三角形中位線的性質，得出根據DE為中位線，得出DF=是解決問題的關鍵．40.（2011浙江臺州，5，4分）若兩個相似三角形的面積之比為1：4，則它們的周長之比為（） A．1：2 B．1：4考點：相似三角形的性質．分析：根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得其相似比，又由相似三角形的周長的比等于相似比，即可求得答案．解答：解：∵兩個相似三角形的面積之比為1：4，∴它們的相似比為1：2，∴它們的周長之比為1：2．故選A．點評：此題考查了相似三角形的性質．注意相似三角形的面積比等于相似比的平方，相似三角形的周長的比等于相似比．41（2011浙江義烏，10，3分）如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，四邊形ACDE是平行四邊形，連接CE交AD于點F，連接BD交CE于點G，連接BE．下列結論中：①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④CD?AE＝EF?CG；一定正確的結論有（） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形；平行四邊形的性質。專題：幾何圖形問題。分析：①利用SAS證明△BAD≌△CAE，可得到CE＝BD，②利用平行四邊形的性質可得AE＝CD，再結合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形；③利用SAS證明△BAE≌△BAD可得到∠ADB＝∠AEB；④利用得出∠GFD＝∠AFE，以及∠GDF＋∠GFD＝90°，進而得出△CGD∽△EAF，得出比例式．解答：解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，即：∠BAD＝∠CAE，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AE＝AD，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴CE＝BD，∴故①正確；②∵四邊形ACDE是平行四邊形，∴∠EAD＝∠ADC＝90°，AE＝CD，∵△ADE都是等腰直角三角形，∴AE＝AD，∴AD＝CD，∴△ADC是等腰直角三角形，∴②正確；③∵△ADC是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°，∴∠BAD＝90°＋45°＝135°，∵∠EAD＝∠BAC＝90°，∠CAD＝45°，∴∠BAE＝360°－90°－90°－45°＝135°，又AB＝AB，AD＝AE，∴△BAE≌△BAD（SAS），∴∠ADB＝∠AEB；故③正確；④∵△BAD≌△CAE，△BAE≌△BAD，∴△CAE≌△BAE，∴∠BEA＝∠AEC＝∠BDA，∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠AFE＋∠BEA＝90°，∵∠GFD＝∠AFE，∴∠GDF＋∠GFD＝90°，∴∠CGD＝90°，∵∠FAE＝90°，∠GCD＝∠AEF，∴△CGD∽△EAF，∴，∴CD?AE＝EF?CG．故④正確，故正確的有4個．故選D．點評：此題主要考查了全等三角形的判定及性質，以及相似三角形的判定，注意細心分析，熟練應用全等三角形的判定以及相似三角形的判定是解決問題的關鍵．二、填空題1.（2011江蘇蘇州，17，3分）如圖，巳知△ABC是面積為的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC與DE相交于點F，則△AEF的面積等于_________（結果保留根號）．考點：相似三角形的性質；等邊三角形的性質．專題：計算題．分析：根據相似三角形面積比等于相似比的平方求得三角形ADE的面積，再根據求出其邊長，可根據三角函數得出三角形面積．解答：解：∵△ABC∽△ADE，AB=2AD，

∴，

∵AB=2AD，S△ABC=，

∴S△ADE=，

在△EAD中，連接HF，則∠AFH=45°，∠EFH=30°，

設AH=HF=x，則EH=xtan30°=x．

又∵S△ADE=，

∴AE=1，

∴x+x=1，

解得x=．

∴S△AEF=×1×=．

點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質和等邊三角形的性質等知識點，解得此題的關鍵是根據相似三角形面積比等于相似比的平方求得三角形ADE的面積，然后問題可解．2.（2011內蒙古呼和浩特，16，3）如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分線，且CE⊥AB，E為垂足，BE=2AE，若四邊形AECD的面積為1，則梯形ABCD的面積為_______考點：相似三角形的判定與性質；三角形的面積；等腰三角形的判定與性質；梯形．分析：首先延長BA與CD，交于F，即可得△FAD∽△FBC與△BCE≌△FCE，然后S△FAD=x，即可求得S△FBC=16x，S△BCE=S△FEC=8x，S四邊形AECD=7x，又由四邊形AECD的面積為1，即可求得梯形ABCD的面積．解答：解：延長BA與CD，交于F，∵AD∥BC，∴△FAD∽△FBC，∵CE是∠BCD的平分線，

∴∠BCE=∠FCE，∵CE⊥AB，∴∠BEC=∠FEC=90°，∵EC=EC，∴△BCE≌△FCE（ASA），

∴BE=EF，∵BE=2AE，∴BF=4AF，設S△FAD=x，

∴S△FBC=16x，∴S△BCE=S△FEC=8x，∴S四邊形AECD=7x，∵四邊形AECD的面積為1，

∴7x=1，∴x=，∴梯形ABCD的面積為：S△BCE+S四邊形AECD=15x=．

故答案為：．點評：此題考查了梯形的性質，相似三角形的性質與判定，全等三角形的判定與性質等知識．此題綜合性很強，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．3.（2011?寧夏，15，3分）如圖，在△ABC中，DE∥AB，CD：DA=2：3，DE=4，則AB的長為10?考點：相似三角形的判定與性質。分析：根據平行即可證得△CDE∽△CAB，依據相似三角形的對應邊的比相等即可求得AB的長．解答：解：∵DE∥AB∴△CDE∽△CAB∴=又∵CD：DA=2：3，∴=∴=解得：AB=?DE=10故答案是：10．點評：本題主要考查了相似三角形的性質，正確證得相似，以及根據比例的變化求得相似三角形的相似比是解題的關鍵．4.（2011山東日照，16，4分）正方形ABCD的邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，且始終保持AM⊥MN．當BM=2時，四邊形ABCN的面積最大．考點：二次函數的最值；正方形的性質；相似三角形的判定與性質。專題：應用題。分析：設BM=x，則MC=﹣4x，當AM⊥MN時，利用互余關系可證△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根據梯形的面積公式表示四邊形ABCN的面積，用二次函數的性質求面積的最大值．解答：解：設BM=x，則MC=﹣4x，∵∠AMN=90°，∴∠AMB=90°﹣∠NMC=∠MNC，∴△ABM∽△MCN，則，即，解得CN=，∴S四邊形ABCN=×4×[4+]=﹣x2+2x+8，∵﹣＜0，∴當x==2時，S四邊形ABCN最大．故答案為：2．點評：本題考查了二次函數的性質的運用．關鍵是根據已知條件判斷相似三角形，利用相似比求函數關系式．5.（2011四川涼山，17，4分）已知菱形ABCD的邊長是8，點E在直線AD上，若DE＝3，連接BE與對角線AC相交于點M，則的值是.考點：相似三角形的判定與性質；菱形的性質．專題：幾何圖形問題；分類討論．分析：首先根據題意作圖，注意分為E在線段AD上與E在AD的延長線上，然后由菱形的性質可得AD∥BC，則可證得△MAE∽△MCB，根據相似三角形的對應邊成比例即可求得答案．解答：解：∵菱形ABCD的邊長是8，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，如圖1：當E在線段AD上時，∴AE＝AD－DE＝8－3＝5，∴△MAE∽△MCB，∴；

如圖2，當E在AD的延長線上時，∴AE＝AD＋DE＝8＋3＝11，

∴△MAE∽△MCB，∴．

∴的值是或．

故答案為：或．點評：此題考查了菱形的性質，相似三角形的判定與性質等知識．解題的關鍵是注意此題分為E在線段AD上與E在AD的延長線上兩種情況，小心不要漏解．6.（2010重慶，12，4分）如圖，△ABC中，DE∥BC，DE分別交邊AB、AC于D、E兩點，若AD：AB＝1：3，則△ADE與△ABC的面積比為．AEAEDBC12題圖考點：相似三角形的判定與性質分析：根據相似三角形的面積比等于相似比的平方直接得出答案．解答：解：∵△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，相似比為AD：AB=1：3，∴△ADE與△ABC的面積比為：1：9．故答案為：1：9．點評：此題主要考查了相似三角形的性質，根據相似比性質得出面積比是解決問題的關鍵7.（2011湖北咸寧，15，3分）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，，，點E在AB邊上，且CE平分，DE平分，則點E到CD的距離為．考點：相似三角形的判定與性質；角平分線的性質；直角梯形。分析：首先由過點E作EF⊥CD于F，過點D作DH⊥BC于H，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，即可得四邊形ABHD是矩形，又由CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，即可得AD=FD，BC=FC，即可求得CD的長，繼而在Rt△DHC中求得DH的長，則可得點E到CD的距離．解答：解：過點E作EF⊥CD于F，過點D作DH⊥BC于H，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠A=∠B=90°∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∴AE=EF，BE=EF，∴EF=AE=BE=AB，∴△ADE≌△FDE，△CEF≌△CEB，∴DF=AD=2，CF=CB=4，∴CD=6，∵AB⊥BC，DH⊥BC，AD∥BC，∴∠A=∠B=∠BHD=90°，∴四邊形ABHD是矩形，∴DH=AB，BH=AD=2，∴CH=BC﹣BH=2，在Rt△DHC中，DH=4eq\r(2)，∴EF=2eq\r(2)．∴點E到CD的距離為2eq\r(2)．故答案為：2eq\r(2)．點評：此題考查了梯形的性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的性質以及直角三角形的性質等知識．此題綜合性很強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．8.（2011?青海）如圖，△ABC是一塊銳角三角形的材料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是48m考點：相似三角形的應用。分析：利用相似三角形的對應高的比等于相似比，列出方程，通過解方程求出邊長．解答：解：∵正方形PQMN的QM邊在BC上，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴．設ED=x，∴PN=MN=ED=x，，∴x=48，∴邊長為48mm．故答案為：48．點評：此題主要考查的是相似三角形的應用，利用相似三角形的對應高的比等于相似比是解決問題的關鍵．9.（2011?河池）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC是直角，AB=3，BC=4，P是BC邊上的動點，設BP=x，若能在AC邊上找到一點Q，使∠BQP=90°，則x的取值范圍是3≤x≤4．考點：直線與圓的位置關系；勾股定理；相似三角形的判定與性質。分析：根據已知首先找出BP取最小值時QO⊥AC，進而求出△ABC∽△OQC，再求出x的最小值，進而求出PB的取值范圍即可．解答：解：過BP中點以BP為直徑作圓，連接QO，當QO⊥AC時，QO最短，即BP最短，∵∠OQC=∠ABC=90°，∠C=∠C，∴△ABC∽△OQC，∴=，∵AB=3，BC=4，∴AC=5，∵BP=x，∴QO=x，CO=4﹣x，∴=，解得：x=3，當P與C重合時，BP=4，∴BP=x的取值范圍是：3≤x≤4，故答案為：3≤x≤4．點評：此題主要考查了直線與圓的位置關系以及三角形的相似的性質與判定和勾股定理等知識，找出當QO⊥AC時，QO最短即BP最短，進而利用相似求出是解決問題的關鍵．10（2011浙江寧波，17，3）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC內兩點，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6cm，DE＝2cm，則BC＝8．考點：相似三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；等邊三角形的判定與性質。分析：做出輔助線后根據等腰三角形的性質得出BE＝6cm，DE＝2cm，進而得出△BEM為等邊三角形，△EFD為等邊三角形，從而得出BN的長，進而求出答案．解答：解：延長ED到BC于M，延長AD到BC與N，做DF∥BC，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠EBC＝∠E＝60°，∴△BEM為等邊三角形，∴△EFD為等邊三角形，∵BE＝6cm，DE＝2cm，∴DM＝4，∵∠NDM＝30°，∴NM＝2，∴BN＝4，∴BC＝8．故答案為：8．點評：此題主要考查了相似三角形的性質以及等腰三角形的性質和等邊三角形的性質，根據得出MN的長是解決問題的關鍵．11（2011湖州，14，4分）如圖，已知梯形ABCD，AD∥BC，對角線AC，BD相交于點O，△AOD與△BOC的面積之比為1：9，若AD=1，則BC的長是．考點：相似三角形的判定與性質.專題：計算題.分析：根據AD∥BC，求證△AOD∽△BOC，再利用相似三角形面積的比等于相似比的平方即可求得答案．解答：解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△BOC，∵△AOD與△BOC的面積之比為1：9，∴，∵AD=1，∴BC=3．故答案為3．點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定與性質的理解和掌握，解答此題的關鍵是利用相似三角形面積的比等于相似比的平方．12.（2011浙江臺州，14，5分）點D．E分別在等邊△ABC的邊AB．BC上，將△BDE沿直線DE翻折，使點B落在B1處，DB1．EB1分別交邊AC于點F．G．若∠ADF=80°，則∠CGE=80°．考點：相似三角形的判定與性質；翻折變換（折疊問題）．專題：操作型；數形結合．分析：由對頂角相等可得∠CGE=∠FGB1，由兩角對應相等可得△ADF∽△B1GF，那么所求角等于∠ADF的度數．解答：解：由翻折可得∠B1=∠B=60°，∴∠A=∠B1=60°，∵∠AFD=∠GFB1，∴△ADF∽△B1GF，∴∠ADF=∠B1GF，∵∠CGE=∠FGB1，∴∠CGE=∠ADF=80°．故答案為：80°點評：本題考查了翻折變換問題；得到所求角與所給角的度數的關系是解決本題的關鍵．13.（2011浙江舟山，7，3分）如圖，邊長為4的等邊△ABC中，DE為中位線，則四邊形BCED的面積為（） A．2 B．3 C．4 D．6考點：相似三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；三角形中位線定理。專題：計算題。分析：根據邊長為4的等邊△ABC中，DE為中位線，得出DF＝，再利用梯形的面積公式求出．解答：解：作DF⊥BC，ABABCEDF∵邊長為4的等邊△ABC中，DE為中位線，∴DE＝2，BD＝2，∴DF＝，∴則四邊形BCED的面積為：DF×（DE＋BC）＝×（2＋4）＝3．故選B．點評：此題主要考查了等邊三角形的性質以及三角形中位線的性質，得出根據DE為中位線，得出DF＝是解決問題的關鍵．14.（2011清遠，16，3分）如圖，在□ABCD中，點E是CD中點，AE，BC的延長線交于點F．若△ECF的面積為1．則四邊形ABCE的面積為3．考點：相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質.專題：證明題.分析：根據□ABCD的對邊互相平行的性質及中位線的性質知EC是是△ABF的中位線；然后根據SAS證明△ABF∽△CEF，再由相似三角形的面積比是相似比的平方及△ECF的面積為1求得△ABF的面積；最后根據圖示求得S四邊形ABCE＝S△ABF﹣S△CEF＝3．解答：解：∵在□ABCD中，AB∥CD，點E是CD中點，∴EC是△ABF的中位線；在△ABF和△CEF中，，∠F＝∠F（公共角），∴△ABF∽△CEF，∴S△ABF：S△CEF＝1：4；又∵△ECF的面積為1，∴S△ABF＝4，∴S四邊形ABCE＝S△ABF－S△CEF＝3．故答案是3．點評：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質；解得此題的關鍵是根據平行四邊形的性質及三角形的中位線的判定證明EC是△ABF的中位線，從而求得△ABF與△CEF的相似比．15.（2010廣東，10，4分）如圖(1)，將一個正六邊形各邊延長，構成一個正六角星形AFBDCE，它的面積為1；取△ABC和△DEF各邊中點，連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如圖(2)中陰影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各邊中點，連接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如圖(3)中陰影部分；如此下去…，則正六角星形A4F4B4題10圖（1）題10圖（1）A1BCDAFEBCDAFEBCDAFEB1C1F1D1E1A1B1C1F1D1E1A2B2C2F2D2E2題10圖（2）題10圖（3）考點：相似多邊形的性質；三角形中位線定理分析：先分別求出第一個正六角星形AFBDCE與第二個邊長之比，再根據相似多邊形面積的比等于相似比的平方，找出規律即可解答．解答：解：∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分別是△ABC和△DEF各邊中點，∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E∵正六角星形AFBDCE的面積為1，∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面積為，同理可得，第三個六角形的面積為：=，第四個六角形的面積為：=，故答案為：．點評：本題考查的是相似多邊形的性質及三角形中位線定理，解答此題的關鍵是熟知相似多邊形面積的比等于相似比的平方．16.（2011湖北黃石，13,3分）有甲、乙兩張紙條，甲紙條的寬度是乙紙條寬的2倍，如圖，將這兩張紙條交叉重疊地放在一起，重合部分為四邊形ABCD．則AB與BC的數量關系為2：1．考點：相似三角形的判定與性質。專題：幾何圖形問題。分析：分別過A作AE⊥BC于E、作AF⊥CD于F，再根據甲紙條的寬度是乙紙條寬的2倍可得出AE=2AF，再由平行四邊形的性質得出∠ABC=∠ADC，進而可判斷出△ABE∽△ADF，其相似比為2：1．解答：解：過A作AE⊥BC于E、作AF⊥CD于F，∵甲紙條的寬度是乙紙條寬的2倍，∴AE=2AF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC=∠ADC，AD=BC，∵∠AEB=∠AFD=90°，∴△ABE∽△ADF，∴，即．故答案為：2︰1．點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，根據題意作出輔助線，構造出相似三角形是解答此題的關鍵．17.（2011黑龍江牡丹江，10，3分）在△ABC中，AB=6，AC=9，點D在邊AB所在的直線上，且AD=2，過點D作DE∥BC交邊AC所在直線于點E，則CE的長為6或12．考點：相似三角形的判定與性質。分析：此題可以分為當點D在邊AB上時與當點D在邊AB的延長線上時去分析，由DE∥BC，根據平行線分線段成比例定理，即可求得CE的長．解答：解：如圖①，當點D在邊AB上時，∵AB=6，AC=9，AD=2，∴BD=AB﹣AD=6﹣2=4，∵DE∥BC，∴，即：，∴CE=6；如圖②，當點D在邊AB的延長線上時，∵AB=6，AC=9，AD=2，∴BD=AB+AD=6+2=8，∵DE∥BC，∴，即：，∴CE=12；∴CE的長為6或12．故答案為：6或12．點評：此題考查了平行線分線段成比例定理．解題的關鍵是注意分類討論思想與數形結合思想的應用，注意點D在邊AB所在的直線上可以分為當點D在邊AB上與當點D在邊AB的延長線上，小心別漏解．18.（2011?湖南張家界，16，3）在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，要使△ABC與△DEF相似，則需添加的一個條件是（寫出一種情況即可）．考點：相似三角形的判定。專題：開放型。分析：因為兩三角形三邊對應成比例，那么這兩個三角形就相似，從題目知道有兩組個對應邊的比為2：1，所以第三組也滿足這個比例即可．解答：解：則需添加的一個條件是：BC：EF=2：1．∵在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，∴AB：DE=2：1，AC：DF=2：1，∵BC：EF=2：1．∴△ABC∽△DEF．故答案為：BC：EF=2：1．點評：本題考查相似三角形的判定定理，關鍵知道兩三角形三邊對應成比例的話，兩三角形相似．19.（2011?丹東，11，3分）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，則圖中相似的三角形有3對．考點：相似三角形的判定；平行四邊形的性質。專題：證明題。分析：根據四邊形ABCD是平行四邊形，得出DF∥BC，則△EFD∽△EBC，AB∥CD，得△EFD∽△BFA，從而得出△ABF∽△CEC．解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DF∥BC，AB∥CD，∴△EFD∽△EBC，△EFD∽△BFA，∴△ABF∽△CEC．共3對．故答案為3．點評：本題考查了相似三角形的判定和平行四邊形的性質，是基礎知識要熟練掌握．20.（2011?丹東，16，3分）已知：如圖，DE是△ABC的中位線，點P是DE的中點，CP的延長線交AB于點Q，那么S△DPQ：S△ABC=1：24．考點：相似三角形的判定與性質；三角形中位線定理。分析：連接PA，由題意可知2DE=BC；4DP=2DE=AB；推出S△ADE：S△ABC=1：4，由△DPQ∽△BCQ，推出4QD=QB，2QD=QA，因此S△DPQ：S△APQ=1：2，由于S△APD=S△APE，所以S△DPQ：S△ADE=1：6，即S△DPQ：S△ABC=1：24．解答：解：∵DE是中位線，P是DE中點，∴2DE=BC；4DP=2DE=AB，S△ADE：S△ABC=1：4，∵DE∥BC，∴△DPQ∽△BCQ，∴4QD=QB，∵D是AB中點，∴2QD=QA，∴S△DPQ：S△APQ=1：2，∵S△APD=S△APE，∴S△DPQ：S△ADE=1：6，∴S△DPQ：S△ABC=1：24．點評：本題主要考查了三角形的面積公式、相似三角形的判定和性質、三角形中位線性質，解題的關鍵在于求出相關線段的比值，以此求出S△DPQ：S△APQ=1：2，推出S△DPQ：S△ADE=1：6，因此S△DPQ：S△ABC=1：24．21.（2011遼寧阜新,11,3分）如圖，晚上小亮站在與路燈底部M相距3米的A處，測得此時小亮的影長AP為1米，已知小亮的身高是1.5米，那么路燈CM高為米．考點：相似三角形的應用。分析：他的身影頂部正好接觸路燈B的底部時，構成兩個相似三角形，利用對應線段成比例解答此題．解答：解：根據題意，設路燈高度為x米，則，解得x=6故答案為6．．點評：本題只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程求解即可．22.（2011?包頭，19，3分）如圖，△ABD與△AEC都是等邊三角形，AB≠AC，下列結論中：①BE=DC；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正確的序號是①②．BABACDEO考點：相似三角形的判定；全等三角形的判定與性質。專題：證明題。分析：利用△ABD、△AEC都是等邊三角形，求證△DAC≌△BAE，然后即可得出BE=DC．利用三角形的內角和即可得出②是正確的，不能證明③．解答：證明：∵△ABD、△AEC都是等邊三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，∴∠DAC=∠BAC+60°，∠BAE=∠BAC+60°，∴∠DAC=∠BAE，∴△DAC≌△BAE，∴BE=DC．∴∠ADC=∠ABE，∵∠BOD+∠BDO+∠DBO=180°，∴∠BOD=180°﹣∠BDO﹣∠DBO=60°．故答案為：①②．點評：此題考查學生對全等三角形的判定與性質和等邊三角形的性質的理解與掌握，難度不大，是一道基礎題．23.（2011安徽省蕪湖市，16,5分）如圖，在正方形ABCD內有一折線段，其中AE丄EF，EF丄FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，則正方形與其外接圓之間形成的陰影部分的面積為80π﹣160．考點：相似三角形的判定與性質；勾股定理；正方形的性質。分析：首先連接AC，則可證得△AEM∽△CFM，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得EM與FM的長，然后由勾股定理求得AM與CM的長，則可求得正方形與圓的面積，則問題得解．解答：解：連接AC，∵AE丄EF，EF丄FC，∴∠E=∠F=90°，∵∠AME=∠CMF，∴△AEM∽△CFM，∴，∵AE=6，EF=8，FC=10，∴，∴EM=3，FM=5，在Rt△AEM中，AM==3，在Rt△FCM中，CM==5，∴AC=8，在Rt△ABC中，AB=AC?sin45°=8?=4，∴S正方形ABCD=AB2=160，圓的面積為：π?（）2=80π，∴正方形與其外接圓之間形成的陰影部分的面積為80π﹣160．故答案為：80π﹣160．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，正方形與圓的面積的求解方法，以及勾股定理的應用．此題綜合性較強，解題時要注意數形結合思想的應用．24.（2011福建廈門，16，4分）如圖，在正方形網格中，點A、B、C、D都是格點，點E是線段AC上任意一點．如果AD=1，那么當AE=時，以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似．考點：相似三角形的性質。專題：網格型。分析：首先根據圖，可得AD=1，AB=3，AC==6，然后分別從若△ADE∽△ABC與若△ADE∽△ACB去分析，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得AE的值，小心別漏解．解答：解：根據題意得：AD=1，AB=3，AC==6，∵∠A=∠A，∴若△ADE∽△ABC時，，即：，解得：AE=2，若△ADE∽△ACB時，，即：，解得：AE=，∴當AE=2或時，以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似．故答案為：2或．點評：此題考查了相似三角形的性質．此題難度不大，解題的關鍵是注意數形結合思想與分類討論思想的應用．25.（2011天水，13，4）為了測量校園內一棵不可攀的樹的高度，學校數學應用實踐小組做了如下的探索：根據光的反射定律，利用一面鏡子和皮尺，設計如圖所示的測量方案：把鏡子放在離樹（AB）8.7m的點E處，然后觀測考沿著直線BE后退到點D，這時恰好在鏡子里看到樹梢頂點A，再用皮尺量得DE=2.7m，觀測者目高CD=1.6m，則樹高AB約是___考點：相似三角形的應用。分析：如圖容易知道CD⊥BD，AB⊥BE，即∠CDE=∠ABE=90°．由光的反射原理可知∠CED=∠AEB，這樣可以得到△CED∽△AEB，然后利用對應邊成比例就可以求出AB．解答：解：由題意知∠CED=∠AEB，∠CDE=∠ABE=90°，又由光的反射原理可知∠CED=∠AEB，∴△CED∽△AEB．∴,∴,∴AB≈5.2米．故答案為5.2．點評：本題只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性質就可以求出結果．三、解答題1.（2011?江蘇宿遷，28，12）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB＝1，BC＝，以點C為圓心，CB為半徑的弧交CA于點D；以點A為圓心，AD為半徑的弧交AB于點E．（1）求AE的長度；（2）分別以點A、E為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點F（F與C在AB兩側），連接AF、EF，設EF交弧DE所在的圓于點G，連接AG，試猜想∠EAG的大小，并說明理由．考點：相似三角形的判定與性質；勾股定理。專題：證明題。分析：（1）根據在Rt△ABC中利用勾股定理求得AC，根據BC=CD，AE=AD求得AE=AC﹣AD即可．（2）根據FA=FE=AB=1，求得AE可得△FAE是黃金三角形求證△AEG∽△FEA可得∠EAG=∠F=36°．解答：解：（1）在Rt△ABC中，由AB＝1，BC＝，得AC＝＝∵BC＝CD，AE＝AD∴AE＝AC－AD＝．（2）∠EAG＝36°，理由如下：∵FA＝FE＝AB＝1，AE＝∴＝∴△FAE是黃金三角形∴∠F＝36°，∠AEF＝72°∵AE＝AG，FA＝FE∴∠FAE＝∠FEA＝∠AGE∴△AEG∽△FEA∴∠EAG＝∠F＝36°．點評：本題考查了勾股定理在直角三角形中的應用，考查了相似三角形的證明和性質，本題中求證三角形相似是解題的關鍵．2.（2011?泰州，24，10分）如圖，四邊形ABCD是矩形，直線l垂直平分線段AC，垂足為O，直線l分別與線段AD、CB的延長線交于點E、F．（1）△ABC與△FOA相似嗎？為什么？（2）試判定四邊形AFCE的形狀，并說明理由．考點：相似三角形的判定；線段垂直平分線的性質；菱形的判定；矩形的性質。專題：證明題；綜合題。分析：（1）根據角平分線的定義，同角的余角相等可知∠AFO=∠CAB，根據垂直的定義，矩形的性質可知∠ABC=∠FOA，由相似三角形的判定可證△ABC與△FOA相似；（2）先證明四邊形AFCE是平行四邊形，再根據對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判斷．解答：解：（1）∵直線l垂直平分線段AC，∴∠AFO=∠CFO，∵∠CFO+∠FCO=∠CAB+∠FCO=90°，∴∠AFO=∠CAB，∵∠AOF=∠CBA=90°，∴△ABC∽△FOA．（2）∵直線l垂直平分線段AC，∴AF=CF，可證△AOF≌△AOE，∴AE=CF，FO=EO．∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∴四邊形AFCE是菱形．點評：考查了線段垂直平分線的性質，相似三角形的判定，矩形的性質，菱形的判定，綜合性較強，有一定的難度．3.（2011?江蘇徐州，27，8）如圖①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．動點P以1cm/s的速度從點B出發，沿折線B﹣A﹣C運動到點C時停止運動．設點P出發xs時，△PBC的面積為ycm2．已知y與x的函數圖象如圖②所示．請根據圖中信息，解答下列問題：（1）試判斷△DOE的形狀，并說明理由；（2）當a為何值時，△DOE與△ABC相似？考點：相似三角形的性質；等腰三角形的判定與性質；解直角三角形。分析：（1）首先作DF⊥OE于F，由AB=AC，點PP以1cm/s的速度運動，可得點P在邊AB和AC上的運動時間相同，即可得點F是OE的中點，即可證得DF是OE的垂直平