第一章_常用邏輯用語

命題

課后篇鞏固提升

L下列語句:①是無限循環小數;②A3x+=0;③當產4時,2x〉0;④把門關上.其中不是命題的是

()

B.②④C.?D.②?④

福B

2.下列命題是假命題的是()

A.若a-b=O(a#O,b#))JUJalb

B.若|a|二|b|,則a=b

C.若小>尻則a>b

D.5>3

蠲B

3.有下列四個命題：

①“若x+y=O,則對互為相反數”的逆命題；

②喏衿1,則/+右+夕=0有實根”的逆否命題；

③“不等邊三角形的三個內角相等”的逆命題.

其中真命題為()

A.?@B.??C.①③D.???

福A

4.“若sin則的否命題是()

A.若sinx〈，則x<

B.若元2,則sinx2

C若工〈，則sinx<

D.若sinxW,則xW

5.若命題p的否命題為r,命題r的逆命題為s,p的逆命題為，，則$是，的()

A.逆否命題B.逆命題

C.否命題D.原命題

ggc

6.已知p(x):f+2x-〃?>0,且爪1)是假命題,“⑵是真命題廁實數機的取值范圍為.

磔13,8)

7.給定下列命題：

①“若。池則a+c>"c”的否命題;②“矩形的對角線相等”的逆命題;③喏不，=0,則中至少

有一個為0''的否命題.

其中真命題的序號是.

豳??

8.寫出命題，若(1-2)2+=0,則x=2且產-1”的逆命題、否命題、逆否命題,并判斷它們的真假.

網逆命題:若x=2且)，=?1,

則⑴2)2+=0,真命題.

否命題:若。-2）2+#），

則*2或歸>1,真命題.

逆否命題:若在2或月-1,

則82）2+和,真命題.

9.判斷命題喏心0廁x2+x-m=0有實數根”的逆否命題的真假.

敏方法一）V，〃>0,4/?>0,/.4w+l>0.

:.方程f+心m=0的判別式A=4/w+l>0.

:.方程^+A-m=0有實數根.

???原命題”若機>0,則小+心切=0有實數根”為真命題.又???原命題與它的逆否命題等價，

???“若〃?>0,則x2+『〃尸0有實數根”的逆否命題也為真.

（方法二）原命題“若小>0,則/+xw=0有實數根”的逆否命題為“若<+工-加=0無實數根,

則相￡0”.???X2+此機=0無實數*艮，.*.A=4血+1<0,

?'?〃?v-W0.

.丁若12+長m=0無實數根，則加W0”為真.

§2充分條件與必要條件

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A組

1.'〈0”是“11。+1）<0"的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

^]B

2.設集合2={（x,y）|x￡R,yWR}4={a,y）|2x-y+/n>0）,B={（xM|x+y-〃W0},那么點尸（2,3）。

[An（c〃）]的充要條件是（）

A.m>-1,?<5B.zw<-l,rt<5

C.m>-\,n>5D.w<-l,/i>5

量A

3.已知實系數一元二次方程加+尻+c=0（a和），下列結論中正確的是（）

①4二/凡物。）。是這個方程有實根的充分條件；

②A=/R4acN0是這個方程有實根的必要條件；

③△=〃.&7c=。是這個方程有實根的充分條件.

A.③

B.?@

C.???

D.@@

悟案匕

4.下面命題中是真命題的是（）

A/>2,且y>3是x+y>5的充要條件

B.4C國。是A^B的充分條件

C.b2-4ac<0是一元二次不等式ax^bx+c>0的解集為R的充要條件

D.一個三角形的三邊滿足勾股定理的充要條件是此三角形為直角三角形

量D

5.在△44C中，角A,氏。的對邊分別為則“A=B”成立的必要不充分條件為（）

A.sinA=cos（R）

B.acosA-bcosB=0

C.bcosA=acosB

D.

量B

6.使得“2,喊立的一個充分條件是.

餐闌!」o〃<卜答案不唯一，合理即可）

7.下列各小題中/是q的充要條件的是.（填寫正確命題的序號）

①p:/n<-2或m>6;<7：y=x2+mx+m+3有兩個不同的零點；

@p.—\網：）f>）是奇函數，

③p:cosa=cos夕;q:tana=tanp\

?p:AC\B=A;q:QuBQCuA.

翻①④

8.已知不等式|2什3|<1的解集為集合4不等式P（2a+2）x+/+2aW0的解集為集合8,設條件

〃:A,條件q:x￡B,若q是p的必要不充分條件,求實數a的取值范圍.

廨由/-（2a+2）x+a2+2^W0,得aWKa+2,

故B={x|aWxWq+2}.

解不等式|2x+3|vl,得-24v-1,

故A={x\-2<x<-\}.因為q是p的必要不充分條件，所以p是q的充分不必要條件.

所以A呈民故解得-3WaW-2,故實數a的取值范圍是[-3,-2].

9.求關于x的方程（?/也+3山-2=0的兩根均大于1的充要條件.

網設方程的兩根分別為即K2,則原方程有兩個大于I的根的充要條件是

即又,?,加+12=旭/12=3/?-2,，

故所求的充要條件為{川〃?>6+2}.

B組

1.設U為全集A8是集合，則“存在集合C使得AQC,BQCuC^AC\B=0^（）

A.充分不必要的條件

B.必要不充分的條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要的條件

gg]c

2.“。>3?！埂笔恰?。3”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

甌A

3.函數凡￥)=f+〃a+1的圖像關于直線對稱的充要條件是()

A.//7=-2B./M=2

C.w=-1D.w=l

四A

4.設〃是g的充分不必要條件，是q的必要不充分條件,s是r的充要條件，則s是p的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

函B

5.方程加+您+1=0至少有一個負的實根的充要條件是()

A.OvaW1

B.avl

C.aWl

D.O<a〈l或?<0

6.王安石在《游褒禪山記》中寫道:“世之奇偉、瑰怪，非常之觀，常在于險遠，而人之所罕至焉,

故非有志者不能至也.”請問“有志”是能到達“奇偉、瑰怪，非常之觀”的條件.(填“充

分，，“必要，，“充要，，中的一個)

疆必要

7.設為平面,肛",/為直線，則對于下列條件:①a_LAan4=/,〃?_U;②any=〃i,a_LAyJ_夕;③a

±7，y?±y,/w±a;@n±a,w±/?,/n±a.

其中為mlfi的充分條件的是.(將正確的序號都填上)

噩②④

8.已知集合｝；命題p：x￡4,命題并且命題p是命題q的充分條件，求

實數機的取值范圍.

網化簡集合4,由產以x+1,

配方，得y=.

?,??ymin=,ymax=2.

:.y6.工A=.

化簡集合氏由工+m221,

得x21-m2,.*.B=｛x|x>I-w2).

■:命題p是命題q的充分條件,...AG8.

:.1-〃於號解得機力或〃忘.,?實數m的取值范圍是.

9.兩個數列｛%｝和｛兒｝,滿足兒=(〃GN+).證明:｛兒｝為等差數列的充要條件是｛斯｝為等差數列.

麗必要性:

由已知得a1+2a2+3?3+,,,+naa=n(n+1)bn,①

于是有a\+2a2+3?3+,,,+(n-1=n(n-1)-②

①-②整理得%=(”+i)Mn-i)frnl(n22).

設｛b〃｝的公差為d,由已知得ai=bi,

所以

an=(n+i)[ai+(n-1)d]-(n-1)[ai+(n-2｝d]=[(n+\)a\+(n+1)(n-1)J-(n-1)a\-(n-1)｛n-2jd\=a\+(?-1)?,

故數列伍”｝是首項為公差為的等差數列.

充分性：

由已知得n(n+\)bn=67i+2?2+3?3+,?,+nan.(*)

設等差數列｛〃“｝的公差為4貼

0+2。2+3。3+…+〃。,尸。1+2(。1+-)+3(。1+2J)+…+川a+(〃-1刈

=?1(1+2+3+…+〃)+4(22-2+32-3+…+/?〃)

=?1?+</

再結合(*)式得〃尸〃[+(〃-1)4.故數列｛5｝是以a\為首項，以d為公差的等差數列.

綜上，｛瓦,｝為等差數列的充要條件是｛?。秊榈炔顢盗?

63全稱量詞與存在量詞

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1.下列命題與其他命題不同的是()

A.有個平行四邊形是矩形

B.任何一個平行四邊形是矩形

C.某些平行四邊形是矩形

D.有的平行四邊形是矩形

^]B

2.下列命題不是特稱命題的是()

A.有些實數沒有平方根

B.能被5整除的數也能被2整除

C.存在｛x|x>3｝,使N-5x+6〈0

D.有7個肛使2-機與依卜3異號

3.命題“對任意的的否定是()

A.不存在R,使R-r+1<0

B.存在x￡R，使3?f+1/0

C.存在R,使QN+1>0

D.對任意的>0

gUc

4.若命題p:Vx￡,tanx>sinx,則命題的否定為()

A.BxEjanx<sinx

B.3i￡,tanx>sinx

C.3x^,tanxWsinx

D.3x^,tanxWsinx

ggc

5.在下列特稱命題中，假命題的個數是.

①有的實數是無限不循環小數；

②有些三角形不是等腰三角形；

③有的菱形是正方形.

6.寫出下列全稱命題的否定.

(1)對任意x^R^+x+1>0:—.

(2)對任意x￡Q爐十工十1是有理數:.

1)存在R,使/+X+1W0

(2)存在x￡Q,使f+x+l不是有理數

7.寫出下列特稱命題的否定.

⑴存在使sin(a+4)=sin?+sinP,._;

(2)存在x,y￡Z,使3x-2y=10:_.

屈第⑴對任意a/￡R，有sin(Q+』)AinQ+sin/

(2)對任意x,y￡Z,有3x-2月10

8.已知函數段)=心_2。+1.若命題“匕￡(0,1)次x)和”是假命題,則實數a的取值范圍是一

國更|口(1,+8)

9.寫出下列命題的否定形式，并判斷其真假.

⑴不論m取何實數，方程12+『用=0必有實數根；

(2)存在一個實數x,使得/+x+1W0;

(3)已知函數y(x)=cosx,則對任意x￡R,都有fix)W1;

(4)對任意R,A2+2>0.

凰1)這一命題可以表述為“對所有的實數見方程有實數根，，其否定為，，存在實數

加,使得方程W+x-m=0沒有實數根”.因為當A=l+4/n<0,即機<-時，一元二次方程沒有實數根，

所以，命題的否定是真命題.

(2)這一命題的否定為“對任意實數x,都有/+.什1>0”.因為(+工+1=>0,所以它為真命題.

(3)這一命題的否定為“已知函數_/(x)=8Sx,則存在x￡R,有段)>1”.因為危)￡[//],所以

命題的否定為假命題.

(4)這一命題的否定為“存在xWRf+ZWO”.因為/+222,所以不存在x￡R,使/+2W0.

即其否定為假命題.

10.若r(x):sinx+cosx>/",s(x):x2+"ir+1>0,如果對任意的x￡R,r(x)為假命題且s(x)為真命題，求

實數機的取值范圍.

網因為sinx+cos尸sin￡[-],所以如果對任意的x￡R,r(x)為假命題，即對任意的x￡R,不等式

sinx+cosx>ni不恒成立，所以機2-.

又對任意的x￡R,s(x)為真命起即對任意的x￡R,不等式f+/心+1>0恒成立，所以方程

$+〃比+1=0的由I另”式AumZYco,即-2〈5〈2.

綜上可知，如果對任意的％￡R,r(x)為假命題且s(x)為真命題，則.《陽<2.故機的取值范圍

為匕2).

§4邏輯聯結詞“且”“或”“非”

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A組

1.若P是真命題可是假命題，則()

A.p且q是真命題B.p或夕是假命題

C.「p是真命題是真命題

答案|D

2.由下列各組命題構成的新命題“p或4”和“p且4”都為真命題的是()

A.p:4+4=9,q:7)4

B.p:a￡{a力,c}，夕:{a}&{ahe}

C.p:15是質數q:8是12的約數

D.p:2是偶數q2不是質數

函B

3.已知p與q是兩個命題，給出下列命題：

(1)只有當命題p與q同時為真時，命題"p或"'才能為真；

(2)只有當命題p與q同時為假時，命題“p或q”才能為假；

(3)只有當命題p與q同時為真時，命題“p且4”才能為真；

(4)只有當命題p與q同時為假時，命題“p且q”才能為假.

其中正確的命題是()

A.(l)和(3)B.(2)和(3)

C.⑵和(4)D.⑶和(4)

4已知全集若p:eu8),則“#〃”是()

A.eAB.GCsB

c.g(4ng)D.e[(CsA)n(CsB)j

fgD

5.已知命題p:存在x￡R,使tanx=l,命題^:X2-3A:+2<0的解集是{x[l<x<2}.有下列結論：

①命題"p且是真命題;②命題且非夕"是假命題;③命題“非p或q”是真命題;④命題“非p

或非g”是假命題.

其中正確的是()

A.②③B.①@④

C.(D?@D.@@③④

福D

6.用適當的邏輯聯結詞填空(填“且”或“或”)：

⑴若a2+左=0,則a=06=0;

⑵若而=0,則fl=0^=0;

(3)平行四邊形的一組對邊平行______相等.

疆(1)且⑵或(3)且

7.如果命題“非〃或非g”是假命題，對于下列結論:①命題"p且q”是真命題;②命題“p且q”是假

命題;③命題“P或4”是真命題;④命題“p或g”是假命題.其中正確的是_____.(填序號)

gg|S<3)

8.命題p:l是集合{xl^va}中的元素；

命題q：2是集合{x*va}中的元素.

若“p且夕”是真命題，則a的取值范圍為.

|答案|{a|a>4}

9.已知命題p:函數)，=1|1(〃/-4大+〃”的定義域為R,命題0任意的[1,10],函數y=x+>m恒成

立.

⑴若p為真命題,求實數機的取值范圍；

(2)若(「p)Vg為真命題且LyOAq為假命題,求實數m的取值范圍.

微I)當/n=0時,y=ln(-4x),定義域為(-8,0),不滿足題意,舍去;當m對時，要使y=\n(inx2-4x+m)

的定義域為R,則解得〃>2.

綜上,〃？的取值范圍是(2,十8).

(2)當q為真命題時尸=4,當且僅當尸，即尸2時等號成立，

所以當“￡[1,10]時Jmin=4,即皿*.

因為(Y)Vq為真命題且Qp)Ag為假命題，

所以rp,q一真一假，所以p,q真假相同，

當〃假4假時，此時m不存在，

當p真q真時，此時2cms4,

綜上網的取值范圍是(2,4].

B組

1.若命題"P或夕”與"p且夕”中一真一假，則可能是()

A.p真q假B.p真q真

C.非p真學假D.〃假非g真

量A

2.命題“原函數與反函數的圖像關于直線yf對稱”的否定是()

A.原函數與反函數的圖像關于直線y=/對稱

B.原函數不與反函數的圖像關于直線yr對稱

C.存在一個原函數與反函數的圖像不關于直線y=x對稱

D.存在原函數與反函數的圖像關于直線y=x對稱

SC

3.已知命題p:“x>2是爐>4的充要條件”，命題/“若，則4>以則()

A."p或g”為真B.“p且q”為真

C.p真q假D.p,q均為假

藐A

4.設命題p:函數y=cos2x的最小正周期為;命題夕:函數凡t)=sin的圖像的一條對稱軸是x=-,

則下列判斷正確的是()

A.p為真B.非q為假

C.p且q為真D.p或夕為假

答案1

5.已知p:點P在直線產2x-3上,夕:點P在直線>'=-3x+2上，則使命題p且夕為真命題的一個點

PQJ)是.

|答案|(1,-1)

6.若匕￡[2,5]或{x\x<\或x>4}”是假命題，則x的范圍是.

礴[1,2)

7.已知函數①/(x)=|x+2|;②/(x)=(x?2)2;③/(x)=cos(x.2).現有命題〃於+2)是偶函數;命題q:j(x)

在(a,2)內是減函數，在(2,+8)內是增函數.則能使〃且g為真命題的所有函數的序號

是.

噩②

8.已知oWR,命題〃”彳￡[1,2],@;命題q3x^Ry+2ax-(a-2)=0.

(1)若p是真命題，求。的最大值；

(2)若p\q是真命題,〃△,是假命題，求a的取值范圍.

國(1)令心)=舄若命題p：Vx￡[l,2],g2為真命題，則Y/(X)min,又以)min=L所以Cf<l.

所以。的最大值為1.

(2)因為p\/q是真命題,p△夕是假命題，

所以p與q一真一假.

當q是真命題時公=4/_4(2-。左0,

解得t?<-2或a>\.

當p是真命題,q是假命題時，有

解得

當p是假命題q是其命題時，有

解得々>1.

綜上,a的取值范圍為(-2/)U(1,+oo).

9.已知命題p:%i和12是方程f-〃?x-2=0的兩個實根,不等式〃-5a-3Hm|對任意實數加￡［-11］

恒成立;命題g：不等式0?+2^-1>0有解.若p且q是假命題，非p也是假命題.求實數a的取值

范圍.

魁且q是假命題，非p是假命題,，命題p是真命題，命題q是假命題.是方程

/-mx-2=0的兩個實根,J

***|-V|-X2|=.

???當，〃任［-1,1］時Ml-Mmax二3.

由不等式a2-5a-3Kx「X2|對任意實數切仁［-1,1］恒成立，可得a2-5a-3>3..\a>6或a<-l,

:,當命題p為真命題時,。之6或^<-1.

命題g:不等式0^+2^-1>0有解，

①當a>0時，顯然有解；

②當?=0時,2x-l>0有解；

③當a<0Bt,Va?+2v-l>0,/.A=4+4?>0,

；?-l<avO.從而命題q:不等式辦2+2^1>()有解時依>“.又命題q是假命題,.??妙/.

綜上所述得=無-1.

???所求a的取值范圍為(-oo,-“.

第二章_空間向量與立體幾何

§1從平面向量到空間向量

課后篇鞏固提升

1.下列命題中，假命題是()

A.同平面向量一樣,任意兩個空間向量都不能比較大小

B.兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同

C.只有零向量的模等于0

D.若向量m,n,p滿足m=n,n=p,則不一定有m=p

SgD

2.在四邊形48CO中，若，且||二||,則四邊形A8C。為()

A.菱形B.矩形C.正方形D.不確定

3.把空間所有單位向量歸結到一個共同的始點，則這些向量的終點所構成的圖形是()

A.一個圓B.兩個孤立的點

C.一個球面D.一，1、平面

ggc

4.在正三棱錐41CO中,￡尸分別為梭4氏CO的中點，設<>=?<>=￡,則a+p=()

A.B.C.D?

5.下列命題：

①兩個相反向量必是共線向量；

②溫度含有零上溫度和零下溫度，所以溫度是向量；

③已知空間四邊形ABCD則由四條線段AB,BC,CRD4分別確定的四個向量之和為零向量;

④不相等的兩個空間向量的模必不相等.

其中，真命題的序號為.

①

6.如圖，在正方體中￡尸,6,“分別是ABAD,BC,CCi的中點，則

<>=.

7如圖所示是棱長為1的正三棱柱ABC-A山iG.

(1)在分別以正三棱柱的任意兩個頂點為起點和終點的向量中，找出與向量相等的向量;

(2)在分別以正三棱柱的任意兩個頂點為起點和終點的向量中，找出向量的相反向量；

(3)若E是的中點，找出與向量平行的向量.

凰1)由正三棱柱的結構特征知，與相等的向量只有向量.

(2)向量的相反向量為.

(3)取AAi的中點尸，連接BE

則都是與平行的向量.

8.如圖，在正方體ABCO-A中，求：

(1)<>,<>,<>;

(2)<>,<>.

解(I)???ABCD-ABCD為正方體，

:,AB〃ABAD工DCAB〃CD：

A<>=0,<>=,<>=7c.

(2).??在正方體ABCD-A'B'C'。'中AD//BC.

.?.<>=<>=.連接AC,

則△AC。'為等邊三角形，

/.<>=.

9.

如圖，在四棱錐P-ABCD中/Z)J_平面ABC。,底面ABCD為正方形閏PZ)=CDE尸分別是

PC,PB的中點.

(1)試求以尸為起點的直線DE的一個方向向量；

⑵試求以尸為起點的平面PBC的一個法向量.

1)如圖，取A。的中點M連接MF,EF,

■:E、F分另U是PC,PB的中點,:.EF7BC.

^BCAD,：.EF\AD,

:?EF，DM,

???四邊形OEFM是平行四邊形,???"尸〃。瓦

二是以F為起點的直線DE的一個方向向量.

(2):PD_L平面ABCD,:.PD1BC.

又BC工CD,且PDC\DC=D,

???BC_L平面PCD.

?.?。年平面PCD,：.DE工BC.

大PD=CD,E為PC的中點，

：?DELPC.

又BCnPC=C,，OE_L平面PBC,

，是平面P8C的一個法向量，

由（1）,可知,???就是以F為起點的平面尸8c的一個法向量.

§2空間向量的運算

第1課時空間向量的加、減法及數乘運算

課后篇鞏固提升

A組

1.如圖，已知平行六面體是CC上的一點，下列結論錯誤的是（）

答案B

2.設a,b是兩個不共線的向量,2/WR,若Aa+"b=O,則（）

A.a=b=OB.2=〃=0

C.2=0,b=0D."=O,a=O

答案|B

3.設空間四點0A8,P滿足+。其中0<r<l,則有（）

A.點P在線段AB上

B.點尸在線段AB的延長線上

C.點P在線段BA的延長線上

D點P不一定在直線AB上

fgA

4.已知正方體48CD-A31G。的中心為0,有下列結論：

①是一對相反向量；

②是一對相反向量；

③是一對相反向量；

④是一對相反向量.

其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

KG

/\D

/2??

5.如圖所示,在平行六面體48czM歷G。中￡尸分別在8山和。力上，且BE=BBi,DF=DDl.

若=3+丁+馬貝ljx+y+z等于（）

6.在四面體4-8CO中,￡F分別是AB,CD的中點，則的關系是（填平行、相等或相

反）.

露平行

7.若非零向量ei,.不共線，則使kei+ez與ei+ke?共線的攵值為.

藕B或-1

8.如圖，在平行六面體ABCD-A]B]C]D\中,=2.設=a,=b,=c,試用a,b,c表示.

AB

圓如圖，連接AN,S1])=)-)=c+(b-c)-(a+b)=-a+b+c.

B組

1.如圖，在三棱柱A3CABQ中，。是CG的中點，尸是48的中點，且』+我,則（）

A.a=/=-l

B.a=-,/?=l

C.a=\,fl=-

D.a=-l/=

量A

2.已知空間向量滿足||二||+||,則()

A.B.=-

C.同向D.同向

3.在空間四邊形OABC中,G是的重心，若=a,二b尸c,則等于()

A.a+b+c

B.a+b+c

C.a+b+c

D.3a+3b+3c

答案B

4.如圖，在三棱錐中，若△88是正三角形,E為其中心，則化簡的結果為.

答案0

5.如圖，已知正四棱錐P-ABCD點0是正方形ABCD的中心是CD的中點.

⑴若+x+y,求x,y的值；

⑵若=〃?+〃,求機,〃的值.

勵1)因為尸，所以x=y=-.

(2)因為。為AC的中點,。為CD的中點，所以=2=2,所以=2=2,所以=22所以機=2,〃=2

BF

如圖,在空間四邊形ABCD中,E,H分別是邊ABAD的中點,F,G分別是力CB,CD上的點，且.

求證:四邊形E/G”是梯形.

庭國因為分別是邊A8/O的中點，

所以)=)=)=.

所以，且||二|邦.

又因為點尸不在E”上，

所以四邊形EFGH是梯形.

第2課時空間向量的數量積

課后篇鞏固提升

A組

1.下列命題中正確的是()

A.(ab)2=a2b2

B.|ab|<|a||b|

C.(ab)c=a(bc)

D.若a_L(b-c),則ab=ac=O

前B

2.如圖，已知空間四邊形每條邊和對角線長都等于a,點EF,G分別是484XOC的中點，則下

列向量的數量積等于〃的是()

A.2

B.2

C.2

D.2

如圖，己知P4J?平面4〃C,NABC=120o,PA=AB=BC=l,51iJPC等于()

A.B.l

C.2D.4

Ige

4.已知a,b是兩個非零向量，現給出以下命題：

①ab>O=va,b>￡;

(2)a-b=0<=><a,b>=;

③a?b<O=<a,b>￡;

@|ab|=|a||b|<=><a,b>=7t.

其中正確的命題有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.若|a|二|b|,且非零向量a.b不平行，則a+b與a-b所在直線所形成的角的大小是.

磔

6.已知空間向量a,b,c滿足a+b+c=0,|a|=3,|b|二l,|c|=4,則ab+bc+ca的值為.

7.己知空間向星.m,n,設|m|二l,|n|=2,2m十n與m-3n垂直,a=4m-n,b=7m+2n,求

廨[、：(2m+n)±(m-3n),.*.(2m+n)-(m-3n)=0,

又|m|二l,|n|=2,:.mn=-2,

又?.?間==6,

|b|==3,

a-b=(4m-n)-(7m+2n)=28|m|2-2|n|2+m-n=18,/.cos<a,b>==l,/.<a,b>=0°.

8.如圖，在四面體A-BCD中/8=2,8。=3,8。=2,8=3,24瓦)=30。,/48。=60。,求A3與CO的

夾角的余弦值.

111|cos<>-111|cos<>=2x2xcos1500-2x3xcos120°=-6+3=-3,

：?cosv>-―

JAB與CO的夾角的余弦值為.

9.如圖，在正三棱柱ABC-ABiG中,若側面對角線A8i_L4G,求證：4CJ_4S.

怔明|由題意，設=a,=b,=c,|a|二|b|二叫c|=〃,

則ab=w2cos60°=,ac=bc=0.

*/AB\_LBCi,且=-a+c,=b+c,/.=(-a+c)-(b+c)

=-a-b+c2=n2-m2=0,ni2=2n1,

：?=(-a+c)-()

=(-a+c)(-c-a+b)=a2-c2-ab

=m2-n2-fti2=0,j41C_LAB].

B組

1.設a,b,c是任意的非零向量，且它們相互不共線，下列命題：

①(a?b)-c-(c-a)b=0;

(2)|a|-|b|<|a-b|;

③(ba)c-(ac)b不與c垂直;

?(3a+2b)?(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.

其中正確的有()

A.??B.?@C.③④D.@@

甌D

2.平行六面體ABCD-A\B\C\D\中，8=14。=241產3,/84。=90。,/班4=/0"產60。,則

AG的長為()

A.B.C.D.

函B

3.己知空間向鼠a,b滿足|a|二|b|二l,￡La,b的夾角為。為空間直角坐標系的原點，點A,B滿足

=2a+b,=3a-b,則△O4B的面積為()

A.B.C.D.

奉B

4.如圖，在正方體A8CD-A出GO中，。為4c與5Q的交點。為CG的中點用向量法證明

_1_平面GBD.

怔明|設=a,=b,=c,則ab=0,b-c=0,a-c=0.而)=c+(a+b),=b-a,)+(a+b)-c,

所以-(b-a)

=c*(b-a)+(a+b)-(b-a)

=c-b-c-a+(|b|7-|a|?)

=(|b|2-|a|2)=O.

所以.所以40_L8D

同理可證，所以4O_LOG.又因為OGnBD=O,且403平面G8Q,所以4O_L平面GBD.

5.在平行六面體A8CO-A向中,NAiA5=N4iAO=NB4O=60°A4]=A8=A￡>=.

⑴求II；

(2)求證:4G_L平面AiBO;

(3)求的夾角.

(1解令=a,=b,=c,如I=a+b+c,:.

||=|a+b+c|==(a2+b2+c2+2a-b+2b-c+2c-a=(3+3+3+2x+2x+2x=3.

(2畫=a-c,/.=(a+b+c)-(a-c)=a2-a-c+ba-b-c+c-a-c2=0.

???，又二上《同理，

：.ACi垂直于平面48。內的兩條相交直線41O4|8,???AC_L平面ABD

(3)|^-|cos<>=

==?.

???的夾角為K-arccos.

6.如圖，正方形ABCD與正方形ABEF的邊長均為1,且平面A8CO_L平面ABE尸，點M在AC上

移動，點N在3尸上移動.若CM=BN=a(0<a<).

A

⑴求MN的長度；

(2)求當a為何值時,MN的長最小.

闞(I)由題意，得AC=,BF=,CM=BN=a,

=)+)

=)-(-)

A11=

=(0<a<).

(2)由⑴，知當〃=時,||有最小值為，即MR分別為AC,BF的中點時,MN的長最小，且最小值

為.

§3向量的坐標表示和空間向量基本定理

3.1空間向量的標準正交分解與坐標表示

課后篇鞏固提升

L在空間直角坐標系O-xyz中，下列說法正確的是()

A.向量的坐標與點B的坐標相同

B.向量的坐標與點4的坐標相同

C.向量的坐標與向量的坐標相同

D.向里的坐標與向量的坐標相同

量D

2.在空間直角坐標系中,所有點尸。,2017,2018)(X￡2的集合表示()

A.一條直線

B.一個平行于xOz平面的平面

C.一個平行于xOz平面的平面

D.兩條直線

3.點M(-1,3,4)在坐標平面xOy^yOz內的投影的坐標分別是()

A.(-l,3,0),(-lA-4),(0,3,-4)

B.(0,3,-4),(-lA-4),(0,3,-4)

C.(-l30),(-13~4),(03-4)

DW,0),(-1,0,0),(0,3,0)

量A

4.在空間直角坐標系中,已知點P(x,y,z),則下列敘述正確的個數是()

①點尸關于x軸對稱的點的坐標是Pi(“y,z);

②點P關于yOz平面對稱的點的坐標是P2(x,-y,-z);

③點P關于y軸對稱的點的坐標是P3(x,-y,z);

④點P關于原點對稱的點的坐標是尸4(-x,-y,-z).

A.3B.2

C.lD.O

答案上

5.已知ij,k為標準正交基,a=i+2j+3k,則a在i方向上的投影為()

A.lB.-1

C.D.-

麗A

6.如圖，以長方體ABCD-AxBxCxDx的頂點D為坐標原點，過。的三條棱所在的直線為坐標軸,

建立空間直角坐標系，若的坐標為(5,4,3),則的坐標為.

答案|(5,4,-3)

7.已知|a|二,a與單位向量e的夾角為兀則a在e上的投影為.

重

8.已知A8CD-43Gd是棱長為1的正方體，建立如圖所示的空間直角坐標系，試寫出

A,比CQA,Bi,G,Oi的坐標，并寫出的坐標.

畫4(1,0,0)網1,1,0),C(0,1,0),0(0,0。)A(1A1)3i(1,1,1),Ci(0,1,1),Di(O,0,1).

=(1,O,O),=(1,1,O),=(O,1,O),=(OJJ)=(OA1X=(LOJ),=(L1,1).

9.如圖，三棱柱A3aAl81cl的底面是邊長為4的正三角形A4|_L平面為AS

的中點.以O為原點，以的方向分另!為x軸、)，軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系(其中O

為AB的中點)，試求向量的坐標.

圈依題意0(00,0)工(?2。0),8(2,0,0),C(0,2,0),M(0,0,2).

???=(0,2,-2)=(4,0,0).

10.如圖，在長方體ABCD-A\B]C\D\中＜B=2,BC=1,CG=1,求:

⑴上的投影；

（2）上的投影.

凰1）由題易知平面ABCD,

所以上的投影為||cosN。㈤。=||二.

⑵由題易知DQ_L平面BCGBi,所以上的投影為||cosZD}BC}=\\=

3.2空間向量基本定理

課后篇鞏固提升

A組

1.下列命題是真命題的有（）

①空間中的任何一個向量都可用a,b.c表示;②空間中的任何一個向量都可用基底a.b,c表示;

③空間中的任何一個向量都可用不共面的三個向量表示;④平面內的任何一個向量都可用平

面內的兩個向量表示.

A.4個B.3個C.2個D.1個

ggc

2.設命題p:a,b,c是三個非零向量;命題qab,c為空間的一個基底,則命題p是命題q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

軸B

3.已知a,b,c是不共面的三個向量則下列選項中能構成空間一個基底的一組向量是（）

A.2a,a-b,a+2bB.2b,b-a,b+2a

C.a,2b,b-cD.c,a+c,a-c

4.已知向量a,b,c是空間的一個標準正交基，向量a+b.a-b,c是空間的另一個基底，若向量p在

基底a,b,c下的坐標為（3,2,1）,則它在{a+b,a-b,c}下的坐標為（）

A.B.

CD.

5.已知平行六面體OA8COA5c中尸a,=b,=c.若D是四邊形OABC的中心，則（）

A.=-a+b+c

B.=-b+a+c

C.a-b-c

D.a+c-b

6.已知ei,e2,e3是空間的一個基底，若加1+"。2+比3=0,貝U22+//2+^=.

g?0

7.如圖，己知四面體O-ABC,M是OA的中點,G是AABC的重心，用基底表示向量的表達式

為.

3

8.如圖，已知ABCO-ABCTT是平行六面體，設M是底面ABCD的對角線的交點,N是側面

8CC5對角線5c上的點，且分的比是3:1,設=Q+4+%則a,Ay的值分別

為,,.

/東獎二

9.如圖，已知P4_L平面A8C。,四邊形A8CO為正方形。為△PQC的重心尸i,=j,=k,試用基底

ij,k表示向量.

=)

=i+j-k.

==-i+j+k.

B組

1.在以下3個命題中，真命題的個數是（）

①三個非零向量a,b.c不能構成空間的一個基底，則a,b,c共面.

②若兩個非零向量a,b與任何一個向量都不能構成空間的一個基底，則a,b共線.

③若a,b是兩個不共線向量，而c=2a+4b（2/￡R且〃邦）,則｛a,b,c｝構成空間的?個基底.

A

如圖，設=a,=b,=c,若=2,則=（）

A.a+b-c

B.-a-b+c

C.a-b-c

D.-a+b+c

薪A

3.已知A-BCD是四面體,。為△BCD內一點，則）是0為ABCD的重心的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不是充分條件也不是必要條件

D

4.如圖，若P為平行四邊形ABC。所在平面外的一點，且G為△PC。的重心，若=x+y+z,試求

x+y+z的值.

網取CD的中點從連接PH（圖略）「JG為叢PCD的重心，

=)=

=)+)

.*.x=,y=,z=,*.x+y+z=.

5.在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為平行四邊形,N4C8=9(r,E4_L平面ABCD,EF//

AB、FG〃BC,EG〃ACAB=2EF.若M是線段AD的中點，求證:GM〃平面ABFE.

,

^^\EF//AB,FG//BCJEG//ACJZACB=90%

NEGF=900AABCsAEFG.

,：AB=2EFS-AC=2EG.

：M為A。的中點,JMA=DA.

???.又AFS平面平面ABFE,

；?GM〃千面ABFE.

6.

如圖,在平行六面體ABCD-EFGH中，已知M,N,R分別是ABADAE上的點，且

人M"A"<N=NO/R=2RE,求平面MNR分對角線AG所得的線段AP4AG的比.

廨|設二〃］，由=2+3,得=2旭+3/兒

?；P,M,R,N臼點、共面,

2/w+m+3m=1,解得〃?二,即.

3.3空間向量運算的坐標表示

課后篇鞏固提升

A組

1.若向量a=(l,l力,b=(l,2,l),c=(l,l,l),滿足條件(c.a)?2b=-2,則x的值為()

A.-2B.2C.OD.-1

SgB

2.下列各組向量中，不平行的是()

A.a=(l,2,-2),b=(-2,-4,4)

B.c=(l,0,0),d=(-3,0,0)

C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)

D.g=(-2,3,5),h=(16,-24,40)

答案|D

3已知向量a=(l,3,3),b=(5,0,l),則|a-b|等于()

A.7B.C.3D.

蠲B

4.若向量a=(l,；.,2),b=(-2,U),a,b夾角的余弦值為，則2=()

A.IB.-lC.±lD.2

H]A

5.已知三個力FI=(1,2,1)量2=(-1,-2,3)黑3=(2,2,-1),則這三個力的合力的坐標為()

A.(2,2,3)B.(0,0,0)

C.D.0

嬴A

6.已知點4(1,211),8(4,2,3),C(6,-1,4),則△A8C的形狀是()

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

答案c

7.已知向量與b=(4,2-2肛2-2用)平行，則m的值等于.

僭案|1或3

8.已知空間向量a=(2,-l,3),b=(-4,4v),若a_Lb，則x=;若a〃b,則尸.

礴-6

9.已知向量a=(l,-3,2),b=(-2,l,l),點A(-3,-L4),5(-2,-2,2).

⑴求|2a+b|.

(2)在直線A8上是否存在一點瓦使_Lb(O為原點)?若存在，求出點E坐標;若不存在，說明理由.

額)??,2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),

A|2a+b|==5.

⑵假設存在這樣的點E,則+/=(-3,-1,4)+/(1,-1,-2)

=(-3+],?1“,42).

若J_b,則?b=0,即-2(-3+r)+(-l-f)+(42)=0,解得f=，故存在點瓦使_1_1),此時E點坐標為.

10.己知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a//b,b_Lc,求:

(1)a,b,c；

(2)a+c與b+c所成角的余弦值.

幽1)???a〃b,???，解得人=2j—4,

故a=(2,4,l),b=(-2,-4,-l).

又1)_1_<:,，1)<=0,即-6+8-2=0,解得z=2,

故c=(3,-2,2).

(2)由(1)可得a+c=(5,2,3),b+c=(l,-6J),

設向量a+c與b+c所成的角為夕，

則cos0==-.

B組

1.已知a=(l,2,3),b=(3,0,-l),c=,給出下列等式：

?|a+b+c|=|a-b-c|;@(a+b)-c=a-(b+c);@(a+b+c)2=a2+b2+c2;@(a-b)-c=a-1b-c).

其中正確的個數是()

A.lB.2C.3D.4

答案|D

2.已知@=(1,1,0)力二(-1,0,2),且布+1)與224>的夾角為鈍角,則實數攵的取值范圍為.

■(.2)U

3.已知向量a=(0,-1,1),b=(2,2,1),計算：

(l)|2a-b|;

(2)cosa,b;

(3)2a?b在a上的投影.

?l)Va=(0rl,l),b=(2,2,l),

???2a-b=2(0,-1,1)-(2,2,1)=(-2,-4,1),

A|2a-b|=.

(2)Va=(0,-l,D,b=(2,2,l),

.??a-b=(0,-l,l)(2,2,l)=-2+l=-L

|a|=,|b|==3,

/.cosa,bn==-.

(3),?,(2a-b)a=(-2,-4J)(0,-l,l)=5,

???2a?b在a上的投影為.

4.己知空間三點A(0,2,3),8(-2,l,6),C(l,-1,5),求以為鄰邊的平行四邊形面積.

gvA(0,2,3),B(-2,l,6),C(l,-l,5),

???=(-2,1,6)-(0,2,3)=(-2,-1,3),

=(1,-1,5)-(0,2,3)=(1,-3,2).

???11二,

11=,

=(-2,-1,3),(1,-3,2)=-2+3+6=7.cos<