第04講利用導數證明不等式（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關聯考點2021年新I卷，第22題,12分利用導數證明不等式利用導數求函數的單調區間(不含參)導數中的極值偏移問題2.命題規律及備考策略【命題規律】本節內容是新高考卷的必考內容，設題穩定，難度較大，分值為12分【備考策略】1能用導數證明函數的單調性2能求出函數的極值或給定區間的最值3能進行函數轉化證明不等式【命題預測】導數的綜合應用是高考考查的重點內容,也是高考壓軸題之一近幾年高考命題的趨勢，是穩中求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題,導數的綜合應用題考查多個核心素養以及綜合應用能力,有一定的難度,一般放在解答題的最后位置，對數學抽象、數學運算、邏輯推理等多個數學學科的核心素養都有較深入的考查，需綜合復習知識講解在不等式構造或證明的過程中，可借助題目的已知結論、均值不等式、函數單調性、與、有關的常用不等式等方法進行適當的放縮，再進行證明．下面著重談談與、有關的常用不等式的生成．1.利用曲線的切線進行放縮證明不等式設上任一點的橫坐標為，則過該點的切線方程為，即，由此可得與有關的不等式：，其中，，等號當且僅當時成立．特別地，當時，有；當時，有．設上任一點的橫坐標為，則過該點的切線方程為，即，由此可得與有關的不等式：，其中，，等號當且僅當時成立．特別地，當時，有；當時，有．利用切線進行放縮，能實現以直代曲，化超越函數為一次函數．2.利用曲線的相切曲線進行放縮證明不等式由圖可得；由圖可得；由圖可得，（），（）；由圖可得，（），（）．綜合上述兩種生成，我們可得到下列與、有關的常用不等式：與有關的常用不等式：（1）（）；（2）（）．與有關的常用不等式：（1）（）；（2）（）；（3）（），（）；（4）（），（）．用取代的位置，相應的可得到與有關的常用不等式．考點一、利用導數證明不等式1．（2023·天津·統考高考真題）已知函數．(1)求曲線在處切線的斜率；(2)當時，證明：；(3)證明：．2．（2021·全國·統考高考真題）設函數，已知是函數的極值點．（1）求a；（2）設函數．證明:．3．（2021·全國·統考高考真題）已知函數.（1）討論的單調性；（2）設，為兩個不相等的正數，且，證明：.1．（2023·河北·統考模擬預測）已知函數.(1)討論的極值；(2)當時，證明：.2．（2023·河北·統考模擬預測）已知函數．(1)當時，證明：恒成立；(2)當時，證明：．3．（2023·江蘇揚州·揚州中學校考模擬預測）已知函數．(1)求函數的單調區間；(2)當時，若，求證：；(3)求證：對于任意都有．4．（2023·浙江·校聯考三模）已知函數.(1)令，討論的單調性；(2)證明：；(3)若，對于任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.5．（2023·福建廈門·廈門外國語學校校考模擬預測）已知函數．(1)令，討論在的單調性；(2)證明：；(3)若，對于任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍．6．（2023·山東·沂水縣第一中學校聯考模擬預測）已知函數．(1)若存在唯一零點，求實數a的取值范圍；(2)當時，證明：．7．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學校考三模）已知函數.(1)求函數的最大值；(2)當時，證明：.8．（2023·廣東湛江·統考二模）已知函數．(1)求曲線在處的切線方程．(2)若存在使得，證明：（i）；（ii）．【基礎過關】1．（2023·遼寧丹東·統考二模）已知為函數的極值點．(1)求；(2)證明：當時，．2．（2023·貴州黔東南·凱里一中校考三模）已知函數.(1)證明：；(2)證明：.3．（2023·海南·校聯考模擬預測）已知函數，其中(1)若函數的圖象恒不在軸上方，求實數的取值范圍；(2)證明：，其中．4．（2023·四川成都·石室中學校考模擬預測）已知函數(1)若單調遞增，求a的值；(2)判斷（且）與的大小，并說明理由.5．（2023·北京密云·統考三模）已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)證明：.6．（2023·四川成都·石室中學校考模擬預測）已知函數.(1)若，求實數的值；(2)已知且，求證：.7．（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學校考模擬預測）已知函數．(1)若函數有兩個零點，求a的取值范圍；(2)證明．8．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預測）已知函數．(1)證明：；(2)討論的單調性，并證明：當時，．9．（2023·四川成都·石室中學校考模擬預測）已知函數.(1)若，求實數a的值；(2)已知且，求證：.10．（2023·山東棗莊·統考二模）已知函數．(1)當時，求證：；(2)當時，函數的零點從小到大依次排列，記為證明：（i）；（ii）.【能力提升】1．（2023·山東泰安·校考模擬預測）已知函數．(1)討論的單調性；(2)證明：當，且時，．2．（2023·河北·統考模擬預測）已知函數.(1)討論的極值；(2)當時，證明：.3．（2023·安徽阜陽·安徽省臨泉第一中學校考三模）已知函數，為的導函數.(1)討論的單調性；(2)當時，有且只有兩根，（）.①若，求實數a的取值范圍；②證明：.4．（2023·江蘇無錫·校聯考三模）已知函數.(1)求的極值；(2)求證：.5．（2023·遼寧·遼寧實驗中學校考模擬預測）已知，有且僅有一條公切線，(1)求的解析式，并比較與的大小關系．(2)證明：，．6．（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考二模）已知函數.(1)討論函數的單調性;(2)當時,若有兩個實數根,且.求證:.7．（2023·遼寧撫順·校聯考二模）已知函數.(1)若的圖象在處的切線與直線垂直，求直線的方程；(2)已知，證明：.8．（2023·四川成都·石室中學校考模擬預測）已知函數.(1)若在上單調遞增，求的值；(2)證明：（且）.9．（2023·山東泰安·統考模擬預測）已知函數(1)求在處的切線;(2)若，證明當時，.10．（2023·遼寧沈陽·沈陽二中校考模擬預測）已知函數.(1)求的單調區間；(2)若，且，證明：.【真題感知】1．（全國·高考真題）已知函數．（1）設是的極值點．求，并求的單調區間；（2）證明：當時，．2．（浙江·高考真題）設函數=，．證明：（Ⅰ）；（Ⅱ）．3．（安徽·高考真題）設為實數，函數．(1)求的單調區間與極值；(2)求證：當且時，．4．（2021·全國·統考高考真題）已知函數.（1）討論的單調性；（2）設，為兩個不相等的正數，且，證明：.5．（2021·全國·統考高考真題）設函數，已知是函數的極值點．（1）求a；（2）設函數．證明:．6．（2020·天津·統考高考真題）已知函數，為的導函數．（Ⅰ）當時，（i）求曲線在點處的切線方程；（ii）求函數的單調區間和極值；（Ⅱ