第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年云南大學附中高三（上）期中數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知i為虛數單位，復數z滿足z(1+2i)=3?4i，則|z|=(

)A.3 B.3 C.5 D.2.已知p：|2x?3|<1，q：(x?1)(x?3)<0，則p是q的(????)條件．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知向量a，b滿足|a|=1，|a+2b|=2，且A.12 B.22 C.4.在一次射擊比賽中，甲、乙兩名選手的射擊環數如下表，則下列說法正確的是(

)甲乙87909691869086928795A.甲選手射擊環數的極差小于乙選手射擊環數的極差

B.甲選手射擊環數的平均數等于乙選手射擊環數的平均數

C.甲選手射擊環數的方差小于乙選手射擊環數的方差

D.甲選手射擊環數的第75百分位數大于乙選手射擊環數的第75百分位數5.已知函數f(x)的部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式可能為(

)

A.f(x)=ex?e?x3?4|x| B.f(x)=6.PA、PB、PC是從P點出發的三條射線，每兩條射線的夾角均為60°，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是(

)A.12B.22

C.7.在橢圓E：x225+y29=1上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，垂足為D，點M滿足DM=5A.x2+y2=25 B.x28.已知x1，x2是函數f(x)=(x?2)(ex?2?1)?e(A.1 B.e C.e2 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數f(x)=cosx+cos2x，則下列說法正確的有(

)A.函數f(x)為偶函數 B.函數f(x)的最小值為?2

C.函數f(x)的最大值為2 D.函數f(x)在(0,2π)上有兩個極值點10.已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，C的準線為l，直線x?y?1=0與C交于A，B兩點(A在第一象限內)，與l交于點D，則(

)A.|AB|=6

B.|BD|=2|BF|

C.以AF為直徑的圓與y軸相切

D.l上存在點E11.已知函數f(x)=a3x3?ax2?3ax+b，其中實數aA.當a=1時，f(x)沒有極值點

B.當f(x)有且僅有3個零點時，ba∈(?53,9)

C.當b=113a時，f(x+1)為奇函數

D.當三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，a1+a213.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中c=4，∠C為銳角，△ABC的外接圓半徑為22，且滿足2sin(B+π4)=c?214.哈三中2024?2025年度上學期高二年級十月月考中有這樣一道題目：已知A，B是兩個隨機事件，且0<P(A)<1，0<P(B)<1，給出5個命題如下：

①若P(A)+P(B)=1，則事件A，B對立；

②若事件A與B獨立，則P(AB)=P(A)P(B)成立；

③若P(AB)=P(AB?)=P(A?B)=P(A?B?)，則事件A，B相互獨立，且P(AB)=14；

由于印刷原因，其中命題④⑤四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，E為側棱PC上靠近P的三等分點，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2．

(1)在側棱PD上是否存在點F，使得點A，B，E，F四點共面？若存在，指出點F的位置，并證明；若不存在，請說明理由；

(2)求二面角P?AB?E的余弦值．16.(本小題15分)

已知函數f(x)=lnx?x，g(x)=ax2?2ax，a>0．

(1)設曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線為l，若l與曲線y=g(x)相切，求a；

(2)設函數?(x)=f(x)+g(x)，討論17.(本小題15分)

為了調研某地區學生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項活動的參與情況，在該地區隨機選取了10所學校進行研究，得到如下數據：

(Ⅰ)從這10所學校中隨機選取1所，已知這所學校參與“自由式滑雪”人數超過40人，求該校參與“單板滑雪”超過30人的概率；

(Ⅱ)已知參與“自由式滑雪”人數超過40人的學校評定為“基地學校”.現在從這10所學校中隨機選取2所，設“基地學校”的個數為X，求X的分布列和數學期望；

(Ⅲ)現在有一個“單板滑雪”集訓營，對“滑行、轉彎、停止”這3個動作技巧進行集訓.并專門對這3個動作進行了多輪測試.規定：在一輪測試中，這3個動作中至少有2個動作達到“優秀”，則該輪測試記為“優秀”.在此集訓測試中，李華同學3個動作中每個動作達到“優秀”的概率均為35，每個動作互不影響，每輪測試也互不影響.如果李華同學在集訓測試中想獲得“優秀”的次數的均值達到5次，那么至少要進行多少輪測試？(結論不要求證明)18.(本小題17分)

通過兩角和的正、余弦公式和二倍角公式，可以推導出三倍角公式.例如：cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα?sin2αsinα=(2cos2α?1)cosα?2sin2αcosα=4cos3α?3cosα．

(1)根據上述過程，推導出sin3α關于sinα的表達式；19.(本小題17分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，且|F1F2|=8，過F2作其中一條漸近線的垂線，垂足為M，延長F2M交另一條漸近線于點N，且|F2M|=|MN|，

(1)求C的方程；

(2)如圖，過A(6,0)作直線l(l不與x軸重合

參考答案1.D

2.A

3.C

4.B

5.A

6.C

7.A

8.D

9.AC

10.BC

11.BCD

12.16

13.π614.0或1

15.解：(1)取PD上靠近P的三等分點F，連接EF，AF，

因為E為側棱PC上靠近P的三等分點，

所以PEPC=PFPD=13，所以EF//CD，

又底面ABCD為正方形，所以CD/?/AB，

所以EF/?/AB，所以A，B，E，F四點共面；

(2)因為底面ABCD為正方形，所以AB⊥AD，

因為PA⊥底面ABCD，AB,AD?底面ABCD，

所以PA⊥AB，PA⊥AD，

所以AB、AD、AP兩兩垂直，

故以A為原點，以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：

PA=AD=2，

則A(0,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，E(23,23,43)，

AB=(2,0,0)，AE=(23,23,43)，

設平面ABE的法向量為m=(x,y,z)，

則m16.解：(1)f′(x)=1x?1，f′(1)=0，且f(1)=?1，

所以曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線為y=?1，

則y=?1y=ax2?2ax，得ax2?2ax+1=0，

因為y=?1與g(x)=ax2?2ax相切，

所以Δ=4a2?4a=0，得a=0(舍)或a=1；

(2)?(x)=f(x)+g(x)=lnx?x+ax2?2ax=lnx+ax2?(2a+1)x的定義域為(0,+∞)，

則?′(x)=1x+2ax?(2a+1)=2ax2?(2a+1)x+1x=(2ax?1)(x?1)x，

因為a>0，

令?(x)=0，得x=1或x=12a，

當0<a<12時，12a>1，當x∈(0,1和(12a,+∞)時，?′(x)>0，函數?(x)單調遞增，

當x∈(1,12a)時，?′(x)<0，函數?(x)單調遞減，

當a>12時，12a<1，

所以當x∈(0,12a)和(1,+∞)時，17.解：(Ⅰ)設參與“自由式滑雪”人數超過40人的學校為事件A，參與“單板滑雪”超過30人的學校為事件B，則P(A)=410=25，P(B)=610=35，P(AB)=310，

所以P(B|A)=P(AB)P(A)=31025=34；

(Ⅱ)由題知，“基地學校”有4

X

0

1

2

P

1

8

2所以E(X)=0×13+1×815+2×215=45；

(Ⅲ)因為李華同學一次測試達到優秀的概率p=C32×(35)2×(1?18.解：(1)sin3α=sin(2a+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos2α+(1?2sin2α)sinα

=2sinα(1?sin2α)+(1?2sin2α)sinα

=?4sin3α+3sinα．

(2)因為36°+54°=90°，所以sin36°=cos54°，

即sin(2×18°)=cos(3×18°)，可得2sin18°cos18°=4cos318°?3cos18°，

因為cos18°≠0，所以2sin18°=4cos218°?3，可得2sin18°=4(1?sin218°)?3，

整理得4sin218°+2sin18°?1=0，

19.解：(1)易知雙曲線C的漸近線l1：y=bax，漸近線l2：y=?bax，