專題39兩條直線的位置關(guān)系9題型分類1．兩條直線的位置關(guān)系直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l(wèi)1與l3是同一條直線，l2與l4是同一條直線)的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系l1，l2滿足的條件l3，l4滿足的條件平行k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0垂直k1·k2＝－1A1A2＋B1B2＝0相交k1≠k2A1B2－A2B1≠02.三種距離公式(1)兩點(diǎn)間的距離公式①條件：點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．②結(jié)論：|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).③特例：點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)O(0,0)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩條平行直線間的距離兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).常用結(jié)論1．直線系方程(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.2．五種常用對(duì)稱關(guān)系(1)點(diǎn)(x，y)關(guān)于原點(diǎn)(0,0)的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，－y)．(2)點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x，－y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，y)．(3)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為(－y，－x)．(4)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對(duì)稱點(diǎn)為(x,2b－y)．(5)點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x,2b－y)．（一）判斷兩條直線位置關(guān)系的注意點(diǎn)(1)斜率不存在的特殊情況．(2)可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．題型1：兩條直線的平行與垂直1-1．（2024高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）直線：與直線：平行，則（

）A．或 B． C． D．1-2．（2024高二下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C．或 D．1-3．（2024高二下·四川南充·階段練習(xí)）與直線平行且過點(diǎn)的直線方程是（

）A．B．C．D．1-4．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，點(diǎn)D使AD⊥BC，AB∥CD，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．1-5．（2024高二上·浙江溫州·開學(xué)考試）設(shè)直線，，則是的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件1-6．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知過點(diǎn)和點(diǎn)的直線為l1，.若，則的值為（

）A． B．C．0 D．8（二）利用距離公式應(yīng)注意的點(diǎn)(1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|.(2)兩條平行線間的距離公式要把兩條直線方程中x，y的系數(shù)化為相等．題型2：兩直線的交點(diǎn)問題2-1．（2024高二下·全國(guó)·課堂例題）直線與直線相交，則實(shí)數(shù)的值為（）A．或 B．或C．或 D．且2-2．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線與直線互相垂直，交點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（

）A．20 B． C．0 D．242-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若三條直線不能圍成三角形，則實(shí)數(shù)的取值最多有（

）A．個(gè) B．個(gè)C．個(gè) D．個(gè)2-4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A． B．C． D．題型3：點(diǎn)到直線的距離問題3-1．（2024高二上·江蘇淮安·期中）已知平面上點(diǎn)和直線，點(diǎn)P到直線l的距離為d，則.3-2．（2024高二上·江西新余·開學(xué)考試）若點(diǎn)到直線的距離為3，則.3-3．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）過直線與直線的交點(diǎn)，且到點(diǎn)的距離為1的直線l的方程為．3-4．（2024高二上·吉林長(zhǎng)春·期中）已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．43-5．（2024高二上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）若點(diǎn)在直線上，O是原點(diǎn)，則OP的最小值為（

）A． B．2 C． D．4題型4：平行線間距離問題4-1．（2024高二上·新疆·期末）已知不過原點(diǎn)的直線與直線平行，且直線與的距離為，則直線的一般式方程為．4-2．（2024高二上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）平行直線與之間的距離為．4-3．（2024高二上·浙江溫州·開學(xué)考試）若兩條直線與平行，則與間的距離是.題型5：有關(guān)距離的最值問題5-1．（2024高二上·福建·期中）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，則的最小值為（

）．A．3 B． C． D．5-2．（2024高二·全國(guó)·課堂例題）已知直線過定點(diǎn)M，點(diǎn)在直線上，則的最小值是（

）A．5 B． C． D．5-3．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）在直線上求一點(diǎn)P，使得：(1)P到和的距離之差最大；(2)P到和的距離之和最小.5-4．（2024高三下·江西·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．65-5．（2024高二下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知點(diǎn)分別在直線與直線上，且，點(diǎn)，，則的最小值為.5-6．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A，圓上的兩點(diǎn)，滿足，則的最小值為(

)A． B．C． D．5-7．（2024高三下·上海寶山·開學(xué)考試）如圖，平面上兩點(diǎn)，在直線上取兩點(diǎn)使，且使的值取最小，則的坐標(biāo)為．（三）對(duì)稱問題的求解策略(1)解決對(duì)稱問題的思路是利用待定系數(shù)法將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求解．(2)中心對(duì)稱問題可以利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解題，兩點(diǎn)軸對(duì)稱問題可以利用垂直和中點(diǎn)兩個(gè)條件列方程組解題．求直線l關(guān)于直線對(duì)稱的直線若直線，則，且對(duì)稱軸與直線l及之間的距離相等．此時(shí)分別為，由，求得，從而得．若直線l與不平行，則．在直線l上取異于Q的一點(diǎn)，然后求得關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，再由兩點(diǎn)確定直線（其中）．題型6：點(diǎn)線對(duì)稱6-1．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）若直線和直線關(guān)于直線對(duì)稱，則直線恒過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．6-2．（2024高二下·江西·開學(xué)考試）如圖，一束光線從出發(fā)，經(jīng)過坐標(biāo)軸反射兩次經(jīng)過點(diǎn)，則總路徑長(zhǎng)即總長(zhǎng)為（

）A． B．6 C． D．6-3．（2024高二上·四川遂寧·期末）已知點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．題型7：線點(diǎn)對(duì)稱7-1．（2024高二·全國(guó)·單元測(cè)試）直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線方程是．7-2．（2024高三上·遼寧營(yíng)口·期末）若直線：與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為.7-3．（2024高二上·江蘇蘇州·周測(cè)）直線恒過定點(diǎn)，則直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為．7-4．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程為．題型8：線線對(duì)稱8-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對(duì)稱直線為，則直線的方程為．8-2．（2024高二上·湖北黃石·階段練習(xí)）若兩條平行直線：與：之間的距離是，則直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為（

）A． B．C． D．8-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是（）A． B．C． D．（四）題型9：直線系方程9-1．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)直線經(jīng)過和的交點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為.9-2．（2024高二·全國(guó)·課堂例題）若直線l經(jīng)過兩直線和的交點(diǎn)，且斜率為，則直線l的方程為．9-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）經(jīng)過直線3x－2y＋1＝0和直線x＋3y＋4＝0的交點(diǎn)，且平行于直線x－y＋4＝0的直線方程為．一、單選題1．（2024高二上·浙江·期中）已知點(diǎn)到直線的距離為，則等于（

）A． B． C． D．2．（2024高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知兩條直線，，則這兩條直線之間的距離為（

）A．2 B．3 C．5 D．103．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）求直線x＋2y－1＝0關(guān)于直線x＋2y＋1＝0對(duì)稱的直線方程（

）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝04．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線為（

）A． B． C． D．5．（2024·浙江溫州·三模）已知直線，若，則（

）A． B．0 C．1 D．26．（2024·安徽蚌埠·三模）已知直線：，：，則條件“”是“”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不必要也不充分條件7．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）直線與互相垂直，則這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．8．（2024高二下·四川廣元·期中）若直線過點(diǎn)，其中，是正實(shí)數(shù)，則的最小值是（

）A． B． C． D．59．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）若直線與之間的距離為，則a的值為（

）A．4 B． C．4或 D．8或10．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．11．（2024·四川）設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．12．（2024·全國(guó)）點(diǎn)(0，﹣1)到直線距離的最大值為（

）A．1 B． C． D．213．（2024·北京東城·二模）已知三條直線，，將平面分為六個(gè)部分，則滿足條件的的值共有（

）A．個(gè) B．2個(gè) C．個(gè) D．無數(shù)個(gè)14．（2024高二上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）兩直線方程為，，則關(guān)于對(duì)稱的直線方程為（）A． B．C． D．15．（2024高一下·海南·期末）設(shè)分別是中所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，則直線與的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直16．（2024高三下·江西·開學(xué)考試）費(fèi)馬點(diǎn)是指三角形內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)的三角形三邊的張角相等且均為120°.根據(jù)以上性質(zhì)，.則的最小值為（

）A．4 B． C． D．17．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）直線，直線，下列說法正確的是（

）A．，使得 B．，使得C．，與都相交 D．，使得原點(diǎn)到的距離為318．（2024·全國(guó)）如果直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，那么（

）A． B． C． D．19．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知ΔABC的頂點(diǎn)，，其垂心為，則其頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．20．（2024高三·全國(guó)·課后作業(yè)）若動(dòng)點(diǎn)A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為()A．3 B．2 C．3 D．421．（2024高二上·湖北·階段練習(xí)）在等腰直角三角形中，，點(diǎn)是邊上異于的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)反射后又回到點(diǎn)，如圖，若光線經(jīng)過的重心，則（

）A． B． C．1 D．222．（2024高一上·湖南長(zhǎng)沙·開學(xué)考試）如下圖，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點(diǎn)，，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為直線和軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為（

）

A．， B．，C．， D．，23．（2024高二上·廣東深圳·期中）過定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)M，則的最大值是（

）A． B．3 C． D．24．（2024高二下·陜西西安·期末）設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C．5 D．1025．（河北省張家口市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．26．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）已知，滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．27．（2024·上海靜安·二模）設(shè)直線與關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程是（）A． B．C． D．28．（2024高三·北京·強(qiáng)基計(jì)劃）的最小值所屬區(qū)間為（

）A． B．C． D．前三個(gè)答案都不對(duì)29．（2024·北京）在平面直角坐標(biāo)系中，記為點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)、變化時(shí)，的最大值為A． B．C． D．二、多選題30．（2024高二下·江蘇南京·期末）已知?jiǎng)狱c(diǎn)分別在直線與上移動(dòng)，則線段的中點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離可能為（

）A． B． C． D．31．（24-25高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知兩條直線，的方程分別為與，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則兩條平行直線之間的距離為C．若，則 D．若，則直線，一定相交32．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線l：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線l的一個(gè)法向量為B．若直線m：，則C．點(diǎn)到直線l的距離是2D．過與直線l平行的直線方程是33．（2024高二下·江西南昌·階段練習(xí)）已知曲線和直線，則（

）A．曲線上與直線l平行的切線的切點(diǎn)為B．曲線上與直線l平行的切線的切點(diǎn)為C．曲線上的點(diǎn)到直線l的最短距離為D．曲線上的點(diǎn)到直線l的最短距離為34．（福建省莆田第三中學(xué)，勵(lì)志學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）以下四個(gè)命題敘述正確的是（

）A．直線在軸上的截距是1B．直線和的交點(diǎn)為，且在直線上，則的值是C．設(shè)點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，為原點(diǎn)，則的最小值是2D．直線，若，則或2三、填空題35．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則.36．（2024高二·江蘇·假期作業(yè)）已知點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為，則．37．（2024高三上·河北廊坊·階段練習(xí)）與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程為.38．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線l與直線及直線分別交于點(diǎn)P，Q．若PQ的中點(diǎn)為點(diǎn)，則直線l的斜率為．39．（2024高二上·遼寧大連·階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，的中點(diǎn)是，則等于40．（2024高三上·黑龍江哈爾濱·期中）點(diǎn)到直線的距離的最大值是．41．（2024高二上·江蘇南通·期中）已知點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則線段的長(zhǎng)度為.42．（2024高二·全國(guó)·課堂例題）已知點(diǎn)，，，則的面積為．43．（2024·云南保山·一模）已知坐標(biāo)原點(diǎn)為O，過點(diǎn)作直線n不同時(shí)為零)的垂線，垂足為M，則的取值范圍是．44．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知點(diǎn)、、，且，則.45．（2024高二上·安徽六安·期中）已知兩直線和的交點(diǎn)為，則過兩點(diǎn)的直線方程為.46．（2024高三上·上海青浦·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，若動(dòng)點(diǎn)到兩直線和的距離之和為，則的最大值為.47．（2024·四川）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是．48．（2024高三·陜西·階段練習(xí)）若直線m被兩平行線與所截得的線段的長(zhǎng)為，則m的傾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正確答案的序號(hào)是(寫出所有正確答案的序號(hào))．49．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直線l沿x軸正方向平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，沿y軸正方向平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，又與直線l重合.若直線l與直線l1關(guān)于點(diǎn)（2，3）對(duì)稱，則直線l的方程是.50．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）點(diǎn)，到直線l的距離分別為1和4，寫出一個(gè)滿足條件的直線l的方程：.51．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）經(jīng)過直線3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為.52．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）經(jīng)過點(diǎn)和兩直線；交點(diǎn)的直線方程為.53．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)，滿足，，，則的最小值是．四、解答題54．（2024高二上·廣東東莞·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn).(1)求邊所在直線的方程;(2)若的面積等于7，且點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo).55．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，且平行于向量.(1)求直線l的方程；(2)若直線m與l平行且點(diǎn)P到直線m的距離為，求直線m的方程.56．（2024高二上·天津河西·階段練習(xí)）已知直線，.(1)若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線m的距離為，求a的值；(2)當(dāng)時(shí)，直線l過m與n的交點(diǎn)，且它在兩坐標(biāo)軸上的截距相反，求直線l的方程.57．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上使最大，求點(diǎn)P的坐標(biāo)成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過期專題39兩條直線的位置關(guān)系9題型分類1．兩條直線的位置關(guān)系直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l(wèi)1與l3是同一條直線，l2與l4是同一條直線)的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系l1，l2滿足的條件l3，l4滿足的條件平行k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0垂直k1·k2＝－1A1A2＋B1B2＝0相交k1≠k2A1B2－A2B1≠02.三種距離公式(1)兩點(diǎn)間的距離公式①條件：點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．②結(jié)論：|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).③特例：點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)O(0,0)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩條平行直線間的距離兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).常用結(jié)論1．直線系方程(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.2．五種常用對(duì)稱關(guān)系(1)點(diǎn)(x，y)關(guān)于原點(diǎn)(0,0)的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，－y)．(2)點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x，－y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，y)．(3)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為(－y，－x)．(4)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對(duì)稱點(diǎn)為(x,2b－y)．(5)點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x,2b－y)．（一）判斷兩條直線位置關(guān)系的注意點(diǎn)(1)斜率不存在的特殊情況．(2)可直接利用直線方程系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．題型1：兩條直線的平行與垂直1-1．（2024高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）直線：與直線：平行，則（

）A．或 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行直線的斜率相等關(guān)系列出方程，求得的值，然后檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)橹本€：與直線：平行，所以或，當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，此時(shí)直線與直線平行，滿足題意，當(dāng)時(shí)，直線：，直線：，此時(shí)直線與直線平行，滿足題意，故選：A.1-2．（2024高二下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C．或 D．【答案】C【分析】由題設(shè)知處的切線斜率為2，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義列方程求點(diǎn)的橫坐標(biāo)則P點(diǎn)可求.【詳解】由題直線的斜率為，故曲線在處的切線斜率為2，而，所以，則，即，故點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選：C.1-3．（2024高二下·四川南充·階段練習(xí)）與直線平行且過點(diǎn)的直線方程是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】設(shè)所求直線方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求得C，即可得出答案.【詳解】設(shè)所求直線方程為，又過點(diǎn)，則可得，解得，則所求直線方程為故選：A1-4．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，點(diǎn)D使AD⊥BC，AB∥CD，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)D(x，y)，根據(jù)兩直線平行和垂直時(shí)，其斜率間的關(guān)系得出方程組，解之可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)得選項(xiàng).【詳解】解：設(shè)D(x，y)，∵AD⊥BC，∴·＝－1，∴x＋5y－9＝0，∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0，由得，，故選：D.1-5．（2024高二上·浙江溫州·開學(xué)考試）設(shè)直線，，則是的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用充分條件和必要條件的定義，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線，，此時(shí)，則，所以，故充分性成立；當(dāng)時(shí)，，解得或，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件，故選：C.1-6．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知過點(diǎn)和點(diǎn)的直線為l1，.若，則的值為（

）A． B．C．0 D．8【答案】A【分析】由平行、垂直直線的斜率關(guān)系得出的值.【詳解】因?yàn)椋裕獾茫郑裕獾?所以.故選：A.（二）利用距離公式應(yīng)注意的點(diǎn)(1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|.(2)兩條平行線間的距離公式要把兩條直線方程中x，y的系數(shù)化為相等．題型2：兩直線的交點(diǎn)問題2-1．（2024高二下·全國(guó)·課堂例題）直線與直線相交，則實(shí)數(shù)的值為（）A．或 B．或C．或 D．且【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用兩條直線相交的充要條件，列式求解即得.【詳解】由直線與直線相交，得，即，解得且，所以實(shí)數(shù)k的值為且.故選：D2-2．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線與直線互相垂直，交點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（

）A．20 B． C．0 D．24【答案】B【分析】根據(jù)兩直線垂直可求出的值，將公共點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，可得出的值，再將公共點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，可得出的值，由此可得出的值.【詳解】已知直線的斜率為，直線的斜率為．又兩直線垂直，則，解得．，即，將交點(diǎn)代入直線的方程中，得．將交點(diǎn)代入直線的方程中，得．所以，．故選：B．2-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若三條直線不能圍成三角形，則實(shí)數(shù)的取值最多有（

）A．個(gè) B．個(gè)C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【分析】分析可知至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點(diǎn)，則三條直線不能構(gòu)成三角形.【詳解】三條直線不能構(gòu)成三角形至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點(diǎn).若∥，則；若∥，則；若∥，則的值不存在；若三條直線相交于同一點(diǎn)，直線和聯(lián)立：，直線和交點(diǎn)為;直線和聯(lián)立：，直線和交點(diǎn)為;三條直線相交于同一點(diǎn)兩點(diǎn)重合或.故實(shí)數(shù)的取值最多有個(gè).故選:C2-4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】法一：聯(lián)立直線方程求交點(diǎn)，根據(jù)所在象限求斜率范圍，進(jìn)而確定傾斜角范圍；法二：確定直線位于第一象限部分的端點(diǎn)，結(jié)合直線l與其交點(diǎn)在第一象限，數(shù)形結(jié)合確定傾斜角范圍.【詳解】法一：聯(lián)立兩直線方程，得，解得，所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)在第一象限，所以，解得，設(shè)直線l的傾斜角為θ，則，又，所以.法二：由題意，直線l過定點(diǎn)，設(shè)直線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為.如圖，當(dāng)直線l在陰影部分（不含邊界）運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩直線的交點(diǎn)在第一象限，易知，

∴的傾斜角為，的傾斜角為.∴直線l的傾斜角的取值范圍是.故選：D題型3：點(diǎn)到直線的距離問題3-1．（2024高二上·江蘇淮安·期中）已知平面上點(diǎn)和直線，點(diǎn)P到直線l的距離為d，則.【答案】/4.5【分析】根據(jù)直線的特征，直接列式計(jì)算作答.【詳解】依題意，直線，而點(diǎn)，所以.故答案為：3-2．（2024高二上·江西新余·開學(xué)考試）若點(diǎn)到直線的距離為3，則.【答案】【分析】根據(jù)題意，利用點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為3，可得，即，解得或，又因?yàn)椋?故答案為：.3-3．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）過直線與直線的交點(diǎn)，且到點(diǎn)的距離為1的直線l的方程為．【答案】或x=1【分析】聯(lián)立直線方程求出，的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線方程，由點(diǎn)到直線距離公式建立方程得解，注意對(duì)斜率不存在討論.【詳解】解析：由解得所以l1，l2的交點(diǎn)為.顯然，直線滿足條件；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，依題意有，解得.所以所求直線方程為或．故答案為：或．3-4．（2024高二上·吉林長(zhǎng)春·期中）已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】就是到原點(diǎn)距離，只需求出原點(diǎn)到直線的距離即可.【詳解】就是到原點(diǎn)距離，到原點(diǎn)距離的最小值為則的最小值為2，故選：B.3-5．（2024高二上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）若點(diǎn)在直線上，O是原點(diǎn)，則OP的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)題意，由點(diǎn)到直線的距離公式即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知，OP的最小值即為原點(diǎn)到直線的距離，則.故選：C題型4：平行線間距離問題4-1．（2024高二上·新疆·期末）已知不過原點(diǎn)的直線與直線平行，且直線與的距離為，則直線的一般式方程為．【答案】【分析】假設(shè)方程，利用平行直線間距離公式可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】直線不過原點(diǎn)且與平行，可設(shè)直線，與之間的距離，解得：或（舍），直線的一般式方程為：.故答案為：.4-2．（2024高二上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）平行直線與之間的距離為．【答案】/0.3【分析】根據(jù)平行線間的距離公式即可求得答案.【詳解】由題意得即則平行直線與之間的距離為，故答案為：4-3．（2024高二上·浙江溫州·開學(xué)考試）若兩條直線與平行，則與間的距離是.【答案】55/【分析】先利用兩直線平行的公式求出參數(shù)，再用兩平行線間距離公式求距離即可.【詳解】?jī)蓷l直線與平行,解得，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，,兩直線不重合；所以，則與間的距離,故答案為：.題型5：有關(guān)距離的最值問題5-1．（2024高二上·福建·期中）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，則的最小值為（

）．A．3 B． C． D．【答案】D【分析】把目標(biāo)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，看作動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離和的最值，利用對(duì)稱性可得答案.【詳解】,可以看作點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，顯然當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，最小值為間的距離.故選：D.5-2．（2024高二·全國(guó)·課堂例題）已知直線過定點(diǎn)M，點(diǎn)在直線上，則的最小值是（

）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】先求定點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離求解點(diǎn)到直線上動(dòng)點(diǎn)距離最小值即可.【詳解】由得，所以直線l過定點(diǎn)，依題意可知的最小值就是點(diǎn)M到直線的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式可得．故選:B.5-3．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）在直線上求一點(diǎn)P，使得：(1)P到和的距離之差最大；(2)P到和的距離之和最小.【答案】(1)(2)【分析】（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接,則直線和直線l的交點(diǎn)即為P，求得坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線方程，聯(lián)立直線，求得答案；（2）作點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接,則直線和直線l的交點(diǎn)即為P，求得坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線方程，聯(lián)立直線，求得答案；【詳解】（1）畫出直線和點(diǎn)和，如圖：在兩側(cè)，

作B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接,則直線和直線l的交點(diǎn)即為P，設(shè)D為l上異于P的一點(diǎn)，則,故,故最大，即此時(shí)P到和的距離之差最大，設(shè)，則，解得，故直線方程為，聯(lián)立，解得，即；（2）如圖：在同側(cè)，

作C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接,則直線和直線l的交點(diǎn)即為P，設(shè)E為l上異于P的一點(diǎn)，則,故,故最小，即此時(shí)P到和的距離之和最小.，設(shè)，則，解得，故直線方程為，聯(lián)立，解得，即即；5-4．（2024高三下·江西·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可得，結(jié)合結(jié)論兩點(diǎn)之間線段最短可求的最小值.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與直線的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是4，故選：B.5-5．（2024高二下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知點(diǎn)分別在直線與直線上，且，點(diǎn)，，則的最小值為.【答案】【分析】作出圖象，易知，則然后易求得當(dāng)時(shí)，此時(shí)可過作直線與垂直，易知得的方程，然后在上，直線，之間找點(diǎn)，使得到的距離等于點(diǎn)到的距離，此時(shí)最小距離和即為，由此求解．【詳解】易知，作出圖象如下，過點(diǎn)作直線，則，直線，過作直線，與直線交于點(diǎn)，易知四邊形為平行四邊形，故，且到直線的距離等于到的距離，設(shè)，則，解得或（舍，所以，而，且（定值），故只需求出的最小值即可，顯然，故的最小值為．故答案為：．5-6．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A，圓上的兩點(diǎn)，滿足，則的最小值為(

)A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)直線l為.取圓O的弦PQ的中點(diǎn)為E，求出其軌跡方程，求出E到直線l距離的最小值.過P、E、Q分別作直線l的垂線，垂足分別為M、R、N，將轉(zhuǎn)化為，即可求其最小值．【詳解】由題可知A為(0，1)，且P、A、Q三點(diǎn)共線，設(shè)弦PQ的中點(diǎn)為E(x，y)，連接OE，則OE⊥PQ，即OE⊥AE，∴，由此可得E的軌跡方程為x2+即E的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，設(shè)直線l為，則E到l的最小距離為．過P、E、Q分別作直線l的垂線，垂足分別為M、R、N，則四邊形MNQP是直角梯形，且R是MN的中點(diǎn)，則ER是直角梯形的中位線，∴，即，即．故選：C．【點(diǎn)睛】本題需充分利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行簡(jiǎn)答，問題的關(guān)鍵是求出PQ的中點(diǎn)的軌跡，將要求最小值的式子與點(diǎn)到直線的距離公式聯(lián)系在一起，數(shù)形結(jié)合求解最值.5-7．（2024高三下·上海寶山·開學(xué)考試）如圖，平面上兩點(diǎn)，在直線上取兩點(diǎn)使，且使的值取最小，則的坐標(biāo)為．【答案】【分析】求出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，過作平行于的直線為，將的值轉(zhuǎn)化為的最小值，利用數(shù)形結(jié)合以及根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，求解出的坐標(biāo).【詳解】關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則有.過作平行于的直線為，由得，即此時(shí)直線為.過作，則，則.由于是常數(shù)，要使的值取最小，則的值取最小，即三點(diǎn)共線時(shí)最小.設(shè)，由得，即，解得（舍去.），即.設(shè)，則，解得，即，設(shè)，.由得，得，解得或（舍去），故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，考查對(duì)稱性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.（三）對(duì)稱問題的求解策略(1)解決對(duì)稱問題的思路是利用待定系數(shù)法將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求解．(2)中心對(duì)稱問題可以利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解題，兩點(diǎn)軸對(duì)稱問題可以利用垂直和中點(diǎn)兩個(gè)條件列方程組解題．求直線l關(guān)于直線對(duì)稱的直線若直線，則，且對(duì)稱軸與直線l及之間的距離相等．此時(shí)分別為，由，求得，從而得．若直線l與不平行，則．在直線l上取異于Q的一點(diǎn)，然后求得關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，再由兩點(diǎn)確定直線（其中）．題型6：點(diǎn)線對(duì)稱6-1．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）若直線和直線關(guān)于直線對(duì)稱，則直線恒過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出直線過定點(diǎn)，再根據(jù)對(duì)稱性求得直線所過定點(diǎn).【詳解】因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，故直線恒過定點(diǎn).故選：C6-2．（2024高二下·江西·開學(xué)考試）如圖，一束光線從出發(fā)，經(jīng)過坐標(biāo)軸反射兩次經(jīng)過點(diǎn)，則總路徑長(zhǎng)即總長(zhǎng)為（

）A． B．6 C． D．【答案】C【分析】求點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，由反射性質(zhì)知總路徑長(zhǎng)為，用兩點(diǎn)距離公式求其長(zhǎng)度即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，由光線反射知識(shí)可得三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，故四點(diǎn)共線，因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由對(duì)稱的性質(zhì)可得，所以，又，所以.故選：C.6-3．（2024高二上·四川遂寧·期末）已知點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】因點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱，則AB中點(diǎn)在直線上且直線AB與直線垂直.【詳解】設(shè)，因點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱，則AB中點(diǎn)在直線上且直線AB與直線垂直，則，即點(diǎn)A坐標(biāo)為.故選：C題型7：線點(diǎn)對(duì)稱7-1．（2024高二·全國(guó)·單元測(cè)試）直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線方程是．【答案】【分析】由直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線與已知直線平行，設(shè)出所求直線方程，再根據(jù)點(diǎn)到兩條直線的距離相等可解出答案.【詳解】設(shè)對(duì)稱直線為，則有，即解這個(gè)方程得（舍）或.所以對(duì)稱直線的方程中.故答案為：.7-2．（2024高三上·遼寧營(yíng)口·期末）若直線：與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為.【答案】【分析】先找到直線上的定點(diǎn)，然后求出定點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，再利用直線經(jīng)過兩點(diǎn)，求出直線方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得到答案．【詳解】因?yàn)橹本€恒過定點(diǎn)，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，此時(shí)和都在直線上，由直線方程的兩點(diǎn)式可得，即，所以點(diǎn)到直線的距離為．故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求直線方程常用的方法：先定式（一般式、點(diǎn)斜式、截距式、兩點(diǎn)式、斜截式），后定量（求待定系數(shù)）.7-3．（2024高二上·江蘇蘇州·周測(cè)）直線恒過定點(diǎn)，則直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為．【答案】【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)的求法可求得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)關(guān)于對(duì)稱的兩條直線平行，且到點(diǎn)距離相等可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由得：，當(dāng)時(shí)，，；設(shè)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為，，解得：或（舍），直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為.故答案為：.7-4．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程為．【答案】【分析】根據(jù)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)上的點(diǎn)坐標(biāo)，寫出關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在已知直線上求直線方程.【詳解】設(shè)為上任意一點(diǎn)，則關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)樵谥本€l上，所以，即直線的方程為．故答案為：題型8：線線對(duì)稱8-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對(duì)稱直線為，則直線的方程為．【答案】.【分析】由于兩條直線平行，所以可設(shè)，利用對(duì)稱的性質(zhì)，可求得，進(jìn)而求得直線方程為.【詳解】由題意知，設(shè)直線，在直線上取點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，將代入的方程得，所以直線的方程為.故答案為：8-2．（2024高二上·湖北黃石·階段練習(xí)）若兩條平行直線：與：之間的距離是，則直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用兩條直線平行的性質(zhì)求出n,再利用兩條平行直線間的距離求出m，再由平行線間距離即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€：與：，所以，又兩條平行直線：與：之間的距離是，所以解得即直線：，：，設(shè)直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為，則，解得，故所求直線方程為，故選：A8-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】在直線上任取一點(diǎn)，設(shè)其關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，然后根據(jù)對(duì)稱關(guān)系列方程可表示出，再代入中化簡(jiǎn)可得答案【詳解】在直線上任取一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，即，所以所求直線方程為，故選：A.（四）題型9：直線系方程9-1．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)直線經(jīng)過和的交點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為.【答案】或【分析】由題可求交點(diǎn)，結(jié)合條件即可求出；或設(shè)直線系方程，結(jié)合已知即求.【詳解】方法一：由，得，所以兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（14，10）,由題意可得直線的斜率為1或-1，所以直線的方程為或，即或.方法二：設(shè)直線的方程為，整理得，由題意，得，解得或，所以直線的方程為或.故答案為：或.9-2．（2024高二·全國(guó)·課堂例題）若直線l經(jīng)過兩直線和的交點(diǎn)，且斜率為，則直線l的方程為．【答案】【分析】先設(shè)經(jīng)過交點(diǎn)的直線系，應(yīng)用斜率求出參數(shù)即可得直線方程.【詳解】設(shè)直線l的方程為（其中為常數(shù)），即①．又直線l的斜率為，則，解得．將代入①式并整理，得，此即所求直線l的方程．故答案為：.9-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）經(jīng)過直線3x－2y＋1＝0和直線x＋3y＋4＝0的交點(diǎn)，且平行于直線x－y＋4＝0的直線方程為．【答案】x－y＝0.【解析】設(shè)直線方程為3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，再求出的值即得解.【詳解】過兩直線交點(diǎn)的直線方程可設(shè)為3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，因?yàn)樗c直線x－y＋4＝0平行，所以3＋λ＋3λ－2＝0，即λ＝－，故所求直線為x－y＝0.故答案為：x－y＝0.【點(diǎn)睛】本題主要考查平行直線的斜率關(guān)系，考查直線方程的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.一、單選題1．（2024高二上·浙江·期中）已知點(diǎn)到直線的距離為，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線得距離公式即可得出答案.【詳解】解：由題意得．解得或．，．故選：C.2．（2024高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知兩條直線，，則這兩條直線之間的距離為（

）A．2 B．3 C．5 D．10【答案】A【分析】由兩平行線距離公式求解即可.【詳解】這兩條直線之間的距離為.故選：A3．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）求直線x＋2y－1＝0關(guān)于直線x＋2y＋1＝0對(duì)稱的直線方程（

）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0【答案】B【分析】結(jié)合兩平行線間的距離公式求得正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)對(duì)稱直線方程為，，解得或（舍去）.所以所求直線方程為.故選：B4．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩直線關(guān)于對(duì)稱直線對(duì)稱的概念即可求解【詳解】解：設(shè)所求直線上的任意一點(diǎn)為則關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)在直線上滿足直線方程，即直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線為故選：C5．（2024·浙江溫州·三模）已知直線，若，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)給定的條件，利用兩直線的垂直關(guān)系列式計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)橹本€，且，則，所以.故選：B6．（2024·安徽蚌埠·三模）已知直線：，：，則條件“”是“”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不必要也不充分條件【答案】B【分析】根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)，可得，求出的值，即可判斷.【詳解】若，則，解得或.故是的充分不必要條件.故選：B7．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）直線與互相垂直，則這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由兩直線垂直可得，聯(lián)立解方程組可得交點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】易知直線的斜率為，由兩直線垂直條件得直線的斜率，解得；聯(lián)立，解得；即交點(diǎn)為故選：C.8．（2024高二下·四川廣元·期中）若直線過點(diǎn)，其中，是正實(shí)數(shù)，則的最小值是（

）A． B． C． D．5【答案】B【分析】由點(diǎn)在直線上可知，結(jié)合均值不等式即可求解．【詳解】因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，由和都是正實(shí)數(shù)，所以，，．所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是.故選:B．9．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）若直線與之間的距離為，則a的值為（

）A．4 B． C．4或 D．8或【答案】C【分析】將直線化為，再根據(jù)兩平行直線的距離公式列出方程，求解即可.【詳解】將直線化為，則直線與直線之間的距離，根據(jù)題意可得：，即，解得或，所以a的值為或.故選：C10．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，列出關(guān)于的方程組求解即可.【詳解】拋物線即，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，則，解得，則，故選：A．11．（2024·四川）設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：易得.設(shè)，則消去得：，所以點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，，所以，令，則.因?yàn)椋?所以，.選B.法二、因?yàn)閮芍本€的斜率互為負(fù)倒數(shù)，所以，點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓.以下同法一.【考點(diǎn)定位】1、直線與圓；2、三角代換.12．（2024·全國(guó)）點(diǎn)(0，﹣1)到直線距離的最大值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】首先根據(jù)直線方程判斷出直線過定點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)直線與垂直時(shí)，點(diǎn)到直線距離最大，即可求得結(jié)果.【詳解】由可知直線過定點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)直線與垂直時(shí)，點(diǎn)到直線距離最大，即為.故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)解析幾何初步的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線過定點(diǎn)問題，利用幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.13．（2024·北京東城·二模）已知三條直線，，將平面分為六個(gè)部分，則滿足條件的的值共有（

）A．個(gè) B．2個(gè) C．個(gè) D．無數(shù)個(gè)【答案】C【分析】考慮三條直線交于一點(diǎn)或與或平行時(shí)，滿足條件，求出答案.【詳解】當(dāng)三條直線交于一點(diǎn)時(shí)，可將平面分為六個(gè)部分，聯(lián)立與，解得，則將代入中，，解得，當(dāng)與平行時(shí)，滿足要求，此時(shí)，當(dāng)與平行時(shí)，滿足要求，此時(shí)，綜上，滿足條件的的值共有3個(gè).故選：C14．（2024高二上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）兩直線方程為，，則關(guān)于對(duì)稱的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè)所求直線上任一點(diǎn)M（x，y）且M關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)列出方程組解出用、表示、的式子，再由點(diǎn)在直線上代入，化簡(jiǎn)即得所求對(duì)稱直線方程；【詳解】設(shè)所求直線上任一點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，，則，解出點(diǎn)在直線上，將式代入，得，化簡(jiǎn)得，即為關(guān)于對(duì)稱的直線方程．故選：C15．（2024高一下·海南·期末）設(shè)分別是中所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，則直線與的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直【答案】C【分析】根據(jù)直線方程確定斜率，利用三角形邊角關(guān)系及直線垂直的判定判斷兩直線的位置關(guān)系即可.【詳解】由題設(shè)，的斜率為，的斜率為，又，則，即兩直線垂直.故選：C16．（2024高三下·江西·開學(xué)考試）費(fèi)馬點(diǎn)是指三角形內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)的三角形三邊的張角相等且均為120°.根據(jù)以上性質(zhì)，.則的最小值為（

）A．4 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意作出圖形，證明出三角形ABC為等腰直角三角形，作出輔助線，找到費(fèi)馬點(diǎn)，求出最小值.【詳解】由題意得：的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和的最小值，因?yàn)椋裕嗜切蜛BC為等腰直角三角形，，取的中點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，連接，故，，因?yàn)椋裕剩瑒t，故點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，即取得最小值，因?yàn)椋裕淼茫海实淖钚≈禐?故選：B17．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）直線，直線，下列說法正確的是（

）A．，使得 B．，使得C．，與都相交 D．，使得原點(diǎn)到的距離為3【答案】B【分析】對(duì)A，要使，則，所以，解之再驗(yàn)證即可判斷；對(duì)B，要使，，，解之再驗(yàn)證即可判斷；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，與重合，即可判斷；對(duì)D，根據(jù)點(diǎn)到直線距離列方程即可判斷.【詳解】對(duì)A，要使，則，所以，解之得，此時(shí)與重合，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B，要使，，，解之得，所以B正確；對(duì)C，過定點(diǎn)，該定點(diǎn)在上，但是當(dāng)時(shí)，與重合，所以C錯(cuò)誤；對(duì)D，，化簡(jiǎn)得，此方程，無實(shí)數(shù)解，所以D錯(cuò)誤.故選：B.18．（2024·全國(guó)）如果直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意在上任取一點(diǎn)，其關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上，代入可求出，然后在上任取一點(diǎn)，其關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上，代入可求出.【詳解】在上取一點(diǎn)，則由題意可得其關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上，所以，得，在上取一點(diǎn)，則其關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上，所以，得，綜上，故選：A19．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知ΔABC的頂點(diǎn)，，其垂心為，則其頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．【答案】A【分析】由垂心的定義可知，；根據(jù)垂直時(shí)斜率乘積為可知，，利用兩點(diǎn)連線斜率公式可構(gòu)造出方程組求得結(jié)果.【詳解】為ΔABC的垂心

，又，直線斜率存在且，設(shè)，則，解得：

本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線與直線垂直的位置關(guān)系求解參數(shù)的問題；關(guān)鍵是能夠利用垂心的性質(zhì)得到直線與直線的垂直關(guān)系.20．（2024高三·全國(guó)·課后作業(yè)）若動(dòng)點(diǎn)A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為()A．3 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】先求出點(diǎn)M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原點(diǎn)到直線l的距離即得解.【詳解】依題意知AB的中點(diǎn)M的集合為與直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距離都相等的直線，則M到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離．設(shè)點(diǎn)M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0，根據(jù)平行線間的距離公式得所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得M到原點(diǎn)的距離的最小值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線間的距離和點(diǎn)到直線的距離的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.21．（2024高二上·湖北·階段練習(xí)）在等腰直角三角形中，，點(diǎn)是邊上異于的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)反射后又回到點(diǎn)，如圖，若光線經(jīng)過的重心，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可得關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，和關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，由，，四點(diǎn)共線可得直線的方程，由于過的重心，代入可得關(guān)于的方程，解之可得的坐標(biāo)，進(jìn)而可得的值，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得，，故直線的方程為，又由，，，則的重心為，設(shè)，其中，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則有，解得，即，易得關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，由光的反射原理可知，，，四點(diǎn)共成直線的斜率，故直線的方程為，由于直線過的重心，代入化簡(jiǎn)可得，解得：或舍，即，故，故選：C．22．（2024高一上·湖南長(zhǎng)沙·開學(xué)考試）如下圖，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點(diǎn)，，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為直線和軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為（

）

A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于，交于，有，即此時(shí)周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線方程，與聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，令可得點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于，交于，所以，此時(shí)周長(zhǎng)最小，即，由，直線方程為，所以，解得，所以，可得直線方程為，即，由，解得，所以，令可，所以.故選：C.

23．（2024高二上·廣東深圳·期中）過定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)M，則的最大值是（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】求出A，B的坐標(biāo)，并判斷兩直線垂直，推出點(diǎn)M在以為直徑的圓上，求得，即，結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意知過定點(diǎn),動(dòng)直線即過定點(diǎn)，對(duì)于直線和動(dòng)直線滿足，故兩直線垂直，因此點(diǎn)M在以為直徑的圓上，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為，故選：C24．（2024高二下·陜西西安·期末）設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C．5 D．10【答案】C【分析】先求出兩條直線經(jīng)過的定點(diǎn)，然后根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系可判斷它們垂直，從而，在利用勾股定理和基本不等式求解.【詳解】顯然過定點(diǎn)，直線可化成，則經(jīng)過定點(diǎn)，根據(jù)兩條直線垂直的一般式方程的條件，，于是直線和直線垂直，又為兩條直線的交點(diǎn)，則，又，由勾股定理和基本不等式，，則，當(dāng)時(shí)，的最大值是.故選：C25．（河北省張家口市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，題意可轉(zhuǎn)化成求與的距離和與的距離之和的最小值，求出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，故，即可求出答案【詳解】設(shè)點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，由可看作與的距離和與的距離之和，設(shè)點(diǎn)則點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，故，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為.故選：C26．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）已知，滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】先求出點(diǎn)關(guān)于線段的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，且有.根據(jù)幾何意義，結(jié)合圖象，即可得出取最小值時(shí)，點(diǎn)的位置，進(jìn)而得出答案.【詳解】如圖，過點(diǎn)作點(diǎn)關(guān)于線段的對(duì)稱點(diǎn)，則.設(shè)，則有，解得，所以.設(shè)，則，所以，又，所以點(diǎn)到軸的距離為，所以，可視為線段上的點(diǎn)到軸的距離和到的距離之和.過作軸，過點(diǎn)作軸，顯然有，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，和有最小值.則即為最小值，與線段的交點(diǎn)，即為最小值時(shí)的位置.因?yàn)椋缘淖钚≈禐?故選：B．27．（2024·上海靜安·二模）設(shè)直線與關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三條直線交于一點(diǎn)，再利用點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)公式，求直線上一點(diǎn)，即可求解.【詳解】聯(lián)立，得，取直線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得：，直線的斜率，所以直線的方程為，整理為：.故選：A28．（2024高三·北京·強(qiáng)基計(jì)劃）的最小值所屬區(qū)間為（

）A． B．C． D．前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】C【分析】利用代數(shù)式的幾何意義可求最小值.【詳解】如圖，設(shè)．根據(jù)題意，設(shè)題中代數(shù)式為M，則，等號(hào)當(dāng)P，Q分別為直線與x軸，y軸交點(diǎn)時(shí)取得．因此所求最小值為13．故選：C.29．（2024·北京）在平面直角坐標(biāo)系中，記為點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)、變化時(shí)，的最大值為A． B．C． D．【答案】C【分析】為單位圓上一點(diǎn)，而直線過點(diǎn)，則根據(jù)幾何意義得的最大值為.【詳解】為單位圓上一點(diǎn)，而直線過點(diǎn)，所以的最大值為，選C.【點(diǎn)睛】與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長(zhǎng)度、面積的最值，求點(diǎn)到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面．解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化．二、多選題30．（2024高二下·江蘇南京·期末）已知?jiǎng)狱c(diǎn)分別在直線與上移動(dòng)，則線段的中點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離可能為（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)直線平行可得在直線上運(yùn)動(dòng)，即可根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】解：動(dòng)點(diǎn)分別在直線與上移動(dòng)，又線段的中點(diǎn)為，，在直線上運(yùn)動(dòng)，到直線的距離．到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于等于．故選：CD．31．（24-25高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知兩條直線，的方程分別為與，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則兩條平行直線之間的距離為C．若，則 D．若，則直線，一定相交【答案】AD【分析】根據(jù)兩直線平行求出的值，可判斷A選項(xiàng)；利用平行線間的距離公式可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)兩直線垂直求出的值，可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)兩直線相交求出的范圍，可判斷D選項(xiàng).【詳解】?jī)蓷l直線，的方程分別為與，它們不重合，若，則，得，檢驗(yàn)符合，故A選項(xiàng)正確；若，由A選項(xiàng)可知，：，直線的方程可化為，故兩條平行直線之間的距離為，故B選項(xiàng)不正確；若，則，得，故C選項(xiàng)不正確；由A選項(xiàng)知，當(dāng)時(shí)，，所以若，則直線，一定相交，故D選項(xiàng)正確.故選：AD.32．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線l：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線l的一個(gè)法向量為B．若直線m：，則C．點(diǎn)到直線l的距離是2D．過與直線l平行的直線方程是【答案】CD【分析】對(duì)于A：根據(jù)直線方向向量與斜率之間的關(guān)系分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)直線垂直分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式運(yùn)算求解；對(duì)于D：根據(jù)直線平行分析求解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)橹本€l：的斜率，但，可知不為直線l的一個(gè)法向量，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)橹本€m：的斜率，且，所以直線l與直線m不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，點(diǎn)到直線l的距離，故C正確；對(duì)于D，過與直線l平行的直線方程是，即，故D正確．故選：CD.33．（2024高二下·江西南昌·階段練習(xí)）已知曲線和直線，則（

）A．曲線上與直線l平行的切線的切點(diǎn)為B．曲線上與直線l平行的切線的切點(diǎn)為C．曲線上的點(diǎn)到直線l的最短距離為D．曲線上的點(diǎn)到直線l的最短距離為【答案】BC【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出切線斜率求切點(diǎn)判斷A,B,再結(jié)合點(diǎn)到直線距離求出最短距離判斷C,D.【詳解】設(shè)與直線平行的直線和相切，則斜率為.因?yàn)椋裕睿傻们悬c(diǎn)為，故A錯(cuò)誤，B正確；則點(diǎn)到直線的距離就是曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離，由點(diǎn)到直線的距離公式知最短距高為，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.34．（福建省莆田第三中學(xué)，勵(lì)志學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）以下四個(gè)命題敘述正確的是（

）A．直線在軸上的截距是1B．直線和的交點(diǎn)為，且在直線上，則的值是C．設(shè)點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，為原點(diǎn)，則的最小值是2D．直線，若，則或2【答案】BC【分析】求出直線的橫截距判斷A；解方程組求出判斷B；求出點(diǎn)到直線的距離判斷C；驗(yàn)證判斷D.【詳解】對(duì)于A，直線在軸上的截距是，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由解得，即，則，解得，B正確；對(duì)于C，依題意，，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線重合，D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題35．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則.【答案】【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得，由此可得結(jié)果.【詳解】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知：，，解得：，，.故答案為：.36．（2024高二·江蘇·假期作業(yè)）已知點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為，則．【答案】9或【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列方程求解即可.【詳解】由，得，即，解得或．故答案為：9或.37．（2024高三上·河北廊坊·階段練習(xí)）與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程為.【答案】【分析】根據(jù)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱方程的特點(diǎn)可設(shè)直線方程，在利用點(diǎn)到兩條直線的距離相等即可求解直線方程.【詳解】解：直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程可設(shè)為，其中又點(diǎn)到直線與到直線的距離相等所以，即，所以或（舍）.故所求直線方程為：.故答案為：.38．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線l與直線及直線分別交于點(diǎn)P，Q．若PQ的中點(diǎn)為點(diǎn)，則直線l的斜率為．【答案】【分析】由點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,運(yùn)算可得解.【詳解】解：設(shè)，則．由點(diǎn)Q在直線上，得，．故．所以直線l的斜率為，所以故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問題，屬基礎(chǔ)題.39．（2024高二上·遼寧大連·階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，的中點(diǎn)是，則等于【答案】【解析】根據(jù)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，且的中點(diǎn)是，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到A，B的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，且的中點(diǎn)是，所以，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.40．（2024高三上·黑龍江哈爾濱·期中）點(diǎn)到直線的距離的最大值是．【答案】【分析】直線恒過點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系可得，點(diǎn)到直線的距離的最大值為.【詳解】因?yàn)橹本€恒過點(diǎn)，記，直線為直線，則當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離最大，∴點(diǎn)到直線距離的最大值為：.故答案為：.

41．（2024高二上·江蘇南通·期中）已知點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則線段的長(zhǎng)度為.【答案】【分析】利用直角三角形的幾何性質(zhì)得出，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，，則為直角三角形，且為斜邊，故.故答案為：42．（2024高二·全國(guó)·課堂例題）已知點(diǎn)，，，則的面積為．【答案】5【分析】利用兩點(diǎn)間距離公式求出一邊長(zhǎng)，再根據(jù)兩點(diǎn)式求出該邊所在直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求高，進(jìn)而求得三角形面積.【詳解】設(shè)邊上的高為，則就是點(diǎn)C到AB所在直線的距離．易知．由兩點(diǎn)式可得邊所在直線的方程為，即．點(diǎn)到直線的距離，所以的面積為．故答案為：543．（2024·云南保山·一模）已知坐標(biāo)原點(diǎn)為O，過點(diǎn)作直線n不同時(shí)為零)的垂線，垂足為M，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意，將直線變形為，分析可得該直線恒過點(diǎn)，設(shè)，進(jìn)而分析可得點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，其方程為，據(jù)此分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，直線，即，則有，解可得，則直線恒過點(diǎn)．設(shè)，又由與直線垂直，且為垂足，則點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，其方程為，所以；即的取值范圍是；故答案為．【點(diǎn)睛】此類問題為“隱形圓問題”，常規(guī)的處理辦法是找出動(dòng)點(diǎn)所在的軌跡（通常為圓），常見的“隱形圓”有：（1）如果為定點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓；（2）如果ΔABC中，為定長(zhǎng)，為定值，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為一段圓弧．特別地，當(dāng)，則的軌跡為圓（除去）；（3）如果為定點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)滿足(為正常數(shù))，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓；44．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知點(diǎn)、、，且，則.【答案】【分析】利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】已知點(diǎn)、、，且，則，解得.故答案為：.45．（2024高二上·安徽六安·期中）已知兩直線和的交點(diǎn)為，則過兩點(diǎn)的直線方程為.【答案】【分析】根據(jù)兩直線和的交點(diǎn)列方程，對(duì)比后求得直線的方程.【詳解】依題意兩直線和的交點(diǎn)為，所以在直線上，所以過兩點(diǎn)所在直線方程為.故答案為：46．（2024高三上·上海青浦·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，若動(dòng)點(diǎn)到兩直線和的距離之和為，則的最大值為.【答案】8【分析】由已知可知兩直線，取在的右側(cè)時(shí)，分別過作兩直線的垂線，結(jié)合幾何性質(zhì)確定點(diǎn)軌跡，即可求得的最大值,其他位置同理可得．【詳解】若動(dòng)點(diǎn)到兩直線和的距離之和為，交點(diǎn)為的斜率分別為，則，在的右側(cè)時(shí)，過分別向引垂線，垂足分別為，那么，過作軸的平行線，與交點(diǎn)為如圖，則，所以，其它位置同理，那么點(diǎn)軌跡為正方形，當(dāng)在時(shí)，取得最大值，即取得最大值8.故答案為：8．47．（2024·四川）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】（2，4）【詳解】取四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)到四點(diǎn)的距離之和就是最小值．可證明如下：假設(shè)在四