《1.2空間兩點(diǎn)間的距離公式》教學(xué)設(shè)計(jì)##一、學(xué)情分析高中學(xué)生已經(jīng)具備了一定的平面向量和立體幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)于空間直角坐標(biāo)系也有了初步的認(rèn)識(shí)。但在將空間中的點(diǎn)的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)計(jì)算，尤其是推導(dǎo)和運(yùn)用空間兩點(diǎn)間的距離公式時(shí)，可能會(huì)遇到困難。部分學(xué)生可能對(duì)空間想象力的運(yùn)用不夠熟練，在理解公式的幾何意義和實(shí)際應(yīng)用方面存在挑戰(zhàn)。##二、教材分析北師大版（2019）選擇性必修第一冊(cè)第三章“空間向量與立體幾何”中的“1.2空間兩點(diǎn)間的距離公式”，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了空間直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探究空間兩點(diǎn)間的距離計(jì)算方法。這部分內(nèi)容是空間向量與立體幾何知識(shí)體系中的重要組成部分，為后續(xù)學(xué)習(xí)空間向量的應(yīng)用以及解決立體幾何中的距離問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)。教材通過(guò)類比平面兩點(diǎn)間距離公式，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系和發(fā)展。##三、教學(xué)目標(biāo)###（一）核心素養(yǎng)教學(xué)目標(biāo)1、**數(shù)學(xué)抽象**：能從空間兩點(diǎn)的位置關(guān)系抽象出距離概念，建立空間兩點(diǎn)間距離公式這一數(shù)學(xué)模型。2、**邏輯推理**：通過(guò)推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間距離公式，提高邏輯推理能力，理解推導(dǎo)過(guò)程中的邏輯關(guān)系。3、**數(shù)學(xué)建模**：學(xué)會(huì)運(yùn)用空間兩點(diǎn)間距離公式解決實(shí)際問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型解決空間距離相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。4、**直觀想象**：借助空間直角坐標(biāo)系，培養(yǎng)空間想象能力，直觀理解兩點(diǎn)間的距離在空間中的幾何意義。5、**數(shù)學(xué)運(yùn)算**：熟練運(yùn)用空間兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行計(jì)算，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的準(zhǔn)確性和速度。###（二）知識(shí)與技能目標(biāo)1、學(xué)生能夠理解空間兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)過(guò)程。2、熟練掌握空間兩點(diǎn)間距離公式，并能準(zhǔn)確運(yùn)用公式計(jì)算空間兩點(diǎn)間的距離。###（三）過(guò)程與方法目標(biāo)1、通過(guò)類比平面兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間距離公式，培養(yǎng)學(xué)生類比推理和知識(shí)遷移的能力。2、在推導(dǎo)和應(yīng)用公式的過(guò)程中，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。###（四）情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)1、感受數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。2、培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和勇于探索的精神。##四、教學(xué)重難點(diǎn)###（一）教學(xué)重點(diǎn)1、空間兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)過(guò)程。2、空間兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用。###（二）教學(xué)難點(diǎn)1、空間兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)過(guò)程中的邏輯構(gòu)建。2、如何引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用空間兩點(diǎn)間距離公式求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題。##五、教學(xué)方法1、**講授法**：講解空間兩點(diǎn)間距離公式的概念、推導(dǎo)過(guò)程和應(yīng)用要點(diǎn)。2、**探究法**：引導(dǎo)學(xué)生探究空間兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力。3、**類比法**：通過(guò)類比平面兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間距離公式，幫助學(xué)生理解新知識(shí)。4、**練習(xí)法**：通過(guò)課堂練習(xí)，讓學(xué)生熟練掌握空間兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用。##六、教學(xué)過(guò)程###（一）導(dǎo)入（5分鐘）同學(xué)們，咱們之前學(xué)過(guò)平面直角坐標(biāo)系里兩點(diǎn)間的距離公式，就像咱們?cè)诘貓D上找兩個(gè)地方的距離一樣，平面上的事兒咱們好理解。那現(xiàn)在呢，咱們來(lái)到了三維空間，就像咱們生活的這個(gè)世界，東西可以上下、前后、左右地放，這時(shí)候怎么求兩個(gè)點(diǎn)之間的距離呢？比如說(shuō)，在一個(gè)大倉(cāng)庫(kù)里，一個(gè)貨物在這個(gè)角落（隨便指一個(gè)空間位置），另一個(gè)貨物在另一個(gè)角落（再指一個(gè)不同的空間位置），咱們?cè)趺此愠鏊鼈冎g的距離呢？今天咱們就來(lái)學(xué)習(xí)空間兩點(diǎn)間的距離公式。###（二）新授（20分鐘）####1、回顧平面兩點(diǎn)間距離公式（3分鐘）咱們先回憶一下平面直角坐標(biāo)系里兩點(diǎn)間的距離公式。如果有兩點(diǎn)A(x1,y1)和B(x2,y2)，那么它們之間的距離d(A,B)=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。這個(gè)公式大家應(yīng)該很熟悉了，那咱們?cè)趺磸倪@個(gè)平面的公式得到空間的公式呢？####2、推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間距離公式（12分鐘）在空間直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)P(x1,y1,z1)和Q(x2,y2,z2)。咱們可以把這個(gè)空間距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面距離問(wèn)題來(lái)解決。首先，咱們?cè)趚y平面上看，點(diǎn)P和Q在xy平面上的投影分別是P'(x1,y1,0)和Q'(x2,y2,0)，那在xy平面上，根據(jù)咱們剛才的平面兩點(diǎn)間距離公式，P'和Q'之間的距離d(P',Q')=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。然后呢，咱們?cè)倏碢P'和QQ'的長(zhǎng)度，因?yàn)镻的z坐標(biāo)是z1，P'在xy平面上，所以PP'的長(zhǎng)度就是z1的絕對(duì)值，同理QQ'的長(zhǎng)度就是z2的絕對(duì)值。那現(xiàn)在咱們看三角形PQ'P'，這是個(gè)直角三角形，PQ'的長(zhǎng)度就是d(P',Q')=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)，PP'的長(zhǎng)度是z1的絕對(duì)值，根據(jù)勾股定理，在直角三角形PQ'P'里，PQ的長(zhǎng)度的平方就等于PQ'的長(zhǎng)度的平方加上PP'的長(zhǎng)度的平方。再看三角形PQP'，這也是個(gè)直角三角形，QQ'的長(zhǎng)度是z2的絕對(duì)值，那PQ的長(zhǎng)度的平方又等于PQ'的長(zhǎng)度的平方加上QQ'的長(zhǎng)度的平方。所以最后咱們得到空間兩點(diǎn)P(x1,y1,z1)和Q(x2,y2,z2)之間的距離公式：d(P,Q)=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。####3、空間兩點(diǎn)間距離公式的幾何意義（5分鐘）這個(gè)公式有啥幾何意義呢？其實(shí)就是以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度。就像咱們之前說(shuō)的倉(cāng)庫(kù)里兩個(gè)貨物的距離，這個(gè)公式就能準(zhǔn)確地算出來(lái)。###（三）鞏固（15分鐘）####1、簡(jiǎn)單計(jì)算練習(xí)（8分鐘）給大家出幾道簡(jiǎn)單的題目，來(lái)練練手。（1）已知點(diǎn)A(1,2,3)和點(diǎn)B(4,5,6)，求A和B兩點(diǎn)間的距離。（2）點(diǎn)C(-1,0,2)和點(diǎn)D(3,-2,1)，求d(C,D)。答案：（1）d(A,B)=sqrt((4-1)^2+(5-2)^2+(6-3)^2)=sqrt(9+9+9)=3sqrt(3)（2）d(C,D)=sqrt((3-(-1))^2+((-2-0)^2+(1-2)^2))=sqrt(16+4+1)=sqrt(21)####2、實(shí)際應(yīng)用練習(xí)（7分鐘）一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為3，一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0,0)，相對(duì)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3,3)，求這兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離。答案：根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式，d=sqrt((3-0)^2+(3-0)^2+(3-0)^2)=sqrt(9+9+9)=3sqrt(3)###（四）總結(jié)（5分鐘）好啦，同學(xué)們，今天咱們學(xué)習(xí)了空間兩點(diǎn)間的距離公式。咱們先回顧了平面兩點(diǎn)間距離公式，然后通過(guò)類比和轉(zhuǎn)化，推導(dǎo)出了空間兩點(diǎn)間的距離公式。這個(gè)公式在解決空間里點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離問(wèn)題的時(shí)候非常有用，不管是簡(jiǎn)單的坐標(biāo)計(jì)算，還是像正方體頂點(diǎn)距離這樣的實(shí)際問(wèn)題，都能解決。大家一定要記住這個(gè)公式，還有推導(dǎo)過(guò)程中的思路，這對(duì)咱們以后學(xué)習(xí)立體幾何和空間向量都很有幫助。###（五）作業(yè)布置（課后完成）1、課本上相關(guān)習(xí)題。2、已知長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1,1)，與這個(gè)頂點(diǎn)相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,2,1)、(2,1,1)、(1,1,2)，求長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)度。答案：設(shè)長(zhǎng)方體對(duì)角線的另一個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y,z)，因?yàn)殚L(zhǎng)方體對(duì)角線連接相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)，根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)，x=2，y=2，z=2。所以對(duì)角線長(zhǎng)度為d=sqrt((2-1)^2+(2-1)^2+(2-1)^2)=sqrt(3)##七、教學(xué)評(píng)價(jià)###（一）形成性評(píng)價(jià)1、在課堂提問(wèn)環(huán)節(jié)，觀察學(xué)生對(duì)平面兩點(diǎn)間距離公式的回顧情況，以及在推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間距離公式過(guò)程中的參與度和理解程度，及時(shí)給予反饋和指導(dǎo)。2、通過(guò)課堂練習(xí)，查看學(xué)生對(duì)空間兩點(diǎn)間距離公式的計(jì)算準(zhǔn)確性和應(yīng)用能力，對(duì)存在的問(wèn)題進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)。###（二）終結(jié)性評(píng)價(jià)1、課后作業(yè)的完成情況將作為評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)掌握程度的重要依據(jù)，檢查學(xué)生是否能夠熟練運(yùn)用空間兩點(diǎn)間距離公式解決各種類型的問(wèn)題。2、在單元測(cè)試或階段性考試中，設(shè)置與空間兩點(diǎn)間距離公式相關(guān)的題目，全面考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的掌握情況。##八、教學(xué)資源1、教材：北師大版（2019）選擇性必修第一冊(cè)教材。2、教具：黑板、粉筆