2.2.4均值不等式及其應用第1課時均值不等式一、選擇題1.在不等式a+b2≥ab中,a,b需滿足 ()A.a>0,b>0 B.a≥0,b≥0C.ab≥0 D.ab>02.已知x,y均為正數,且滿足x+2y=4,則xy的最大值為 ()A.2 B.2 C.22 D.33.若x>1,則y=x2x-1的最小值為A.3 B.-3 C.4 D.-44.已知a>0,若關于x的不等式x+ax+1≥3在(-1,+∞)上恒成立,則a的最小值為 (A.1 B.2 C.4 D.85.下列函數中,最小值是22的是 ()A.y=x+2x B.y=x3+C.y=x2+2x2+4 D.y=6.[2023·廣東佛山一中高一月考]已知x>1,則x-1x2-A.36 B.12 C.23 7.已知x>0,y>0,且x+2y=4,則(1+x)(1+2y)的最大值為 ()A.36 B.4 C.16 D.98.(多選題)以下結論中正確的是 ()A.y=x+1xB.當a>0,b>0時,1a+1b+2C.y=x(1-2x),0<x<12的最大值為D.當且僅當a,b均為正數時,ab+b9.(多選題)[2023·江西撫州一中高一期中]已知正數m,n滿足2m+2n+5=mn,則 ()A.?m,n∈(0,+∞),mn≥25B.?m,n∈(0,+∞),m+n≥10C.?m,n∈(0,+∞),4m+n=20D.?m,n∈(0,+∞),4m+n<25二、填空題★10.設x>0,y>0,x+y=2xy,則x+y的最小值為.

11.已知不等式x+4x-2>m對任意x∈(2,+∞)恒成立,則實數m12.[2023·浙江溫州中學高一期末]若x>0,y>1,則4yx+x3三、解答題13.已知a>0,b>0,且a+b+ab=3.(1)求ab的取值范圍;(2)求a+b的取值范圍.14.(1)若x<3,求y=2x+1+1x-(2)已知x>0,求y=2xx15.規定a☉b=ab+a+b(a,b為正實數).若1☉k=3,則k的值為,此時函數y=k☉xx16.(1)已知0<x<32,求4x(3-2x(2)已知a>b>c,求(a-c)1a-2.2.4均值不等式及其應用第1課時均值不等式1.B[解析]在均值不等式中,我們規定a>0,b>0,但當a=0,b=0時也滿足a+b2≥ab2.B[解析]∵x,y均為正數,x+2y=4,∴xy=12×2xy≤12×(x+2y)24=3.C[解析]∵x>1,∴y=x2x-1=x2-1+1x-1=x+1+1x-1=x-1+1x-1+2≥24.C[解析]因為x>-1,所以x+1>0,所以x+ax+1=x+1+ax+1-1≥2(x+1)·ax+1-1=2a-1,當且僅當x+1=ax+1,即x=a-1時取等號,所以x+ax+1的最小值為2a-1.因為不等式x+ax5.D[解析]對于A,當x<0時,y=x+2x<0,故A不符合題意;對于B,當x<0時,y=x3+1x3<0,故B不符合題意;對于C,當x=0時,y=x2+2x2+4=12,故C不符合題意;對于D,由均值不等式知y=x+2x≥2x·6.A[解析]由x>1,得x-1>0,則x-1x2-2x+4=x-1(x-1)2+3=1x-1+37.D[解析]由題意得,(1+x)+(1+2y)=6,1+x>1,1+2y>1,所以(1+x)(1+2y)≤(1+x)+(1+2y)22=9,當且僅當1+x=1+8.BC[解析]對于A,當x<0時,y<0,故A錯誤;對于B,當a>0,b>0時,1a+1b+2ab≥21a·1b+2ab=2ab+2ab≥2·2ab·2ab=4,當且僅當a=b=1時取到等號,故B正確;對于C,y=x(1-2x)=12×2x(1-2x)≤122x+1-2x22=18,當且僅當x=9.ABD[解析]由mn=2m+2n+5≥4mn+5,得(mn-5)(mn+1)≥0,可得mn≥25,當且僅當m=n=5時等號成立,故A正確;由2m+2n+5=mn≤(m+n)24,得(m+n-10)(m+n+2)≥0,可得m+n≥10,當且僅當m=n=5時等號成立,故B正確;顯然m≠2,則n=2m+5m-2=2+9m-2,m>2,所以4m+n=4m+9m-2+2=4(10.2[解析]∵x>0,y>0,x+y=2xy,xy≤x+y22,∴x+y≤(x+y)2[技巧點撥]由含有兩個變量的等式求這兩個變量的和(或積)的最值,需要借助基本不等式消去積(或和),得到關于這兩個變量的和(或積)的一元二次不等式,解這個不等式即可.11.(-∞,6)[解析]因為x>2,所以x-2>0,所以x+4x-2=x-2+4x-2+2≥24+2=6,當且僅當x-2=4x-2,即x=4時等號成立,又不等式x+4x-2>m對任意12.8[解析]4yx+x3y-1=4(y-1)+4x+x3y-1=4(y-1)x+x3y-1+4x.因為4(y-1)x+x3y-1≥24(y-1)x·13.解:(1)因為a>0,b>0,且a+b+ab=3,所以a+b=3-ab≥2ab,當且僅當a=b=1時取等號,可得0<ab≤1,所以0<ab≤1,故ab的取值范圍是(0,1].(2)因為a+b=3-ab≥3-a+b22,當且僅當a=b=1時取等號,所以a+b≥2,故a+b14.解:(1)因為x<3,所以3-x>0.y=2(x-3)+1x-3+7=-2(3-x)+13-當且僅當2(3-x)=13-x,即x=3-22時,等號成立,所以-2(3-x)+13-x≤-22,所以(2)因為x>0,所以y=2xx2+1=2x+1x,又x+1x≥2x·1x=2,當且僅當x=15.13[解析]由題意得1☉k=k+1+k=3,即k+k-2=0,可得k=1,則y=k☉xx=x+x+1x=1+x+1x≥1+2=3,當且僅當x=1x,即x=16.解:(1)∵0<x<32