探索和證明不等式的性質

教學目標（1）梳理等式的基本性質，能從中歸納出等式的基本性質中蘊含的數學思想。（2）能類比等式的基本性質，猜想并證明不等式的基本性質，體會等式基本性質與不等式基本性質的共性與差異性。（3）能利用不等式的基本性質，猜想并證明不等式的一些常用性質。教學重點與難點（1）教學重點：梳理等式基本性質中蘊含的思想方法；猜想和證明不等式的基本性質。（2）梳理等式基本性質中蘊含的思想方法；猜想和證明不等式的基本性質；發現不等式的一些常用性質。環節一

確定研究內容，明確研究方法引導語：

我們知道現實世界的大小關系包括相等關系和不等關系兩類，數學中用“等式”和“不等式”表達這兩類關系。上節課我們提到，與解方程要用等式的性質一樣,解不等式要用不等式的性質。不等式到底有哪些性質呢?今天我們就來研究這個問題。問題1

你能回憶出初中學過的等式的性質嗎?環節二

梳理等式的基本性質，歸納其中蘊含的數學思想方法追問1

這些性質有什么共性?追問2

這些性質中，不同的是“加”，“減”，“乘”“除”，你能用一個詞來概括它們嗎?

追問3

我們知道,字母可以表示任意實數,因此減法、除法可以分別化歸為加法、乘法。由此，請你進一步梳理這些性質,并說說哪些性質更為“基本”。討論分析：

等式兩邊減同一個數c可以看成是等式兩邊加同一個數一c;等式兩邊除同一個數c(c≠0)可以看成是等式兩邊乘同一個數一

。所以,性質1、3更為基本,性質2、4可以看作是由性質1、3“派生”出來的,性質1、3可稱為等式的“基本性質”。

追問3

我們知道,字母可以表示任意實數,因此減法、除法可以分別化歸為加法、乘法。由此，請你進一步梳理這些性質,并說說哪些性質更為“基本”。總結：

由以上分析可知,我們可以把剛才梳理的四條性質合并為兩條:

性質1如果a=b,那么a+c=b+c。

性質2如果a=b,那么ac=bc。追問4

等式乘方、開方的性質是否可以看作是由等式的基本性質“派生”出來的?總結：乘方運算是特殊的乘法運算,開方運算可以看作是乘方運算的“逆運算”,它們都可以看作是由乘法運算派生出來的。追問5

等式是否還有其他性質?

回顧一下初中的數學學習過程就會發現,這兩條性質可以說是隨時隨地都在使用著的。

性質3如果a=b,那么b=a。

性質4如果a=b,b=c,那么a=c。

教師總結:

在研究數學對象的性質時,應該按照先研究數學對象自身具有的性質，再研究其他性質的順序。所以,我們要把這些性質重新排序,即:性質1如果a=b,那么b=a。性質2如果a=b，b=c,那么a=c。性質3如果a=b,那么a+c=b+c。性質4如果a=b,那么ac=bc。追問如何類比?問題2

剛才,我們回顧了等式的基本性質并從中歸納概括出了數學思想方法,下面我們來研究不等式的基本性質。你打算如何研究?環節三

類比等式的基本性質，探究不等的性質追問1

你能證明“如果a>b,那么b<a”?問題3

類比相等關系“自身的特性”,你能猜想并證明不等關系“自身的特性”嗎?證明如下：根據基本事實，由a>b可得a-b>0。在a-b>0兩邊乘-1,不等號反向,得(-1)(a-b)<0。由分配律可得-a+b<0,即b-a<0。由基本事實可得b<a。

追問2

類比等式的性質2,你得到了什么?你能證明嗎?問題4

以“運算中的不變性就是性質”為指導,類比等式的基本性質3和性質4,你能猜想出不等式的哪些性質?能給出證明嗎?

追問1

用文字語言表達性質,有助于加深對性質的理解。你能用文字語言表述性質3嗎?

追問2

從幾何角度“直觀”解釋性質,有助于我們數形結合地理解性質。你能利用數軸來解釋性質3嗎?

追問3

類比等式的基本性質4,你得到了什么結論?能給出證明嗎?問題5

加法、乘法是數學的基本運算,因此上述四條性質是不等式的基本性質。你能比較一下不等式的基本性質與等式的基本性質,說說它們的共性與差異性嗎?問題6

在不等式的性質3中,不等式兩邊所加的數是相同的。如果兩邊所加的數不同,你能得出什么結論?

追問

當不等式兩邊所加的數不同但有確定的大小關系時,例如在a>b的兩邊分別加上c和d,且c>d,這時a+c和b+d是否具有確定的大小關系?問題7

性質5的發現方法對你有什么啟發?你能由此對性質4進行變式,得出類似的結論嗎?證明你的猜想。

追問

我們知道,不等式的性質反映了“運算中的不變性”,我們還有哪些運算沒有研究?你能從已有的性質出發得出新的性質嗎?點拔：利用不等式基本性質,體現“分析法”的證明思路和“綜合法”的表達方式。例題

已知a>b>0,c<0，求證:環節四

應用性質證明問題,鞏固加深性質的理解問題8

請你帶著下面的問題,對本課的學習進行總結。(1)等式的基本性質反映了相等關系哪些方面的特性?我們是如何歸納概括出其中蘊含的數學思想方法的?(2)我們經歷了怎樣的不等式