PAGE四十五二項(xiàng)分布1．(2024·長(zhǎng)沙高二檢測(cè))設(shè)隨機(jī)變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，則P(X＝3)等于()A．eq\f(5,16)B．eq\f(3,16)C．eq\f(5,8)D．eq\f(3,8)【解析】選A.由題意，隨機(jī)變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，所以P(X＝3)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))＝eq\f(5,16).2．一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地射擊四次，已知至少命中一次的概率為eq\f(80,81)，則此射手每次擊中的概率是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,4)D．eq\f(2,5)【解析】選B.設(shè)此射手每次擊中的概率是p，因?yàn)橹辽倜幸淮蔚母怕蕿閑q\f(80,81)，所以1－(1－p)4＝eq\f(80,81)，所以p＝eq\f(2,3).3．某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為()A．100B．200C．300D．400【解析】選B.設(shè)沒(méi)有發(fā)芽的種子數(shù)為ξ，則ξ～B(1000，0.1)，X＝2ξ，所以EX＝2Eξ＝2×1000×0.1＝200.4．(2024·天津高二檢測(cè))某校為了增加學(xué)生的記憶力和辨識(shí)力，組織了一場(chǎng)類似《最強(qiáng)大腦》的PK賽，A，B兩隊(duì)各由4名選手組成，每局兩隊(duì)各派一名選手PK，競(jìng)賽四局．除第三局勝者得2格外，其余各局勝者均得1分，每局的負(fù)者得0分．假設(shè)每局競(jìng)賽A隊(duì)選手獲勝的概率均為eq\f(2,3)，且各局競(jìng)賽結(jié)果相互獨(dú)立，競(jìng)賽結(jié)束時(shí)A隊(duì)的得分高于B隊(duì)的得分的概率為()A．eq\f(16,27)B．eq\f(64,81)C．eq\f(20,27)D．eq\f(7,9)【解析】選C.競(jìng)賽結(jié)束時(shí)A隊(duì)的得分高于B隊(duì)的得分的狀況有3種；A全勝，A三勝一負(fù)，A第三局勝，另外三局兩負(fù)一勝，所以競(jìng)賽結(jié)束時(shí)A隊(duì)的得分高于B隊(duì)的得分的概率為：P＝＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋eq\f(2,3)Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\f(20,27).5．某射手射擊1次，擊中目標(biāo)的概率是0.9，他連續(xù)射擊4次，且他各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒(méi)有影響．有下列結(jié)論：①他第3次擊中目標(biāo)的概率是0.9；②他恰好擊中目標(biāo)3次的概率是0.93×0.1；③他至少擊中目標(biāo)1次的概率是1－0.14.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．(寫出全部正確結(jié)論的序號(hào))【解析】因?yàn)樯鋼粢淮螕糁心繕?biāo)的概率是0.9，所以第3次擊中目標(biāo)的概率是0.9，所以①正確，因?yàn)檫B續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒(méi)有影響，所以本題是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，依據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式得到恰好擊中目標(biāo)3次的概率是Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))×0.93×0.1，所以②不正確，因?yàn)橹辽贀糁心繕?biāo)1次的概率用對(duì)立事務(wù)表示是1－0.14.所以③正確．答案：①③6．某氣象站天氣預(yù)報(bào)的精確率為80%，計(jì)算(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后面第2位)：(1)5次預(yù)報(bào)中恰有2次精確的概率；(2)5次預(yù)報(bào)中至少有2次精確的概率．【解析】(1)記“預(yù)報(bào)一次精確”為事務(wù)A，則P(A)＝0.8.5次預(yù)報(bào)相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，恰有2次精確的概率為Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))0.82×0.23＝0.0512≈0.05.因此5次預(yù)報(bào)中恰有2次精確的概率為0.05.(2)“5次預(yù)報(bào)中至少有2次精確”的對(duì)立事務(wù)為“5次預(yù)報(bào)全部不精確或只有1次精確”，其概率為Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(5))(0.2)5＋Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))×0.8×0.24＝0.00672≈0.01.故所求概率為1－0.01＝0.99.一、單選題(每小題5分，共20分)1．投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為()A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312【解析】選A.該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))×0.62×0.4＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))×0.63＝0.648.2．(2024·廣州高二檢測(cè))某同學(xué)通過(guò)英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試的概率為eq\f(1,2)，他連續(xù)測(cè)試n次，要保證他至少有一次通過(guò)的概率大于0.9，那么n的最小值是()A．3B．4C．5D．6【解析】選B.由題意可得，1－Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(n))·>0.9，求得<0.1，所以n≥4.3．(2024·濰坊高二檢測(cè))連續(xù)投擲2枚大小相同，質(zhì)地勻稱的骰子3次，則恰有2次點(diǎn)數(shù)之和不小于10的概率為()A．eq\f(1,12)B．eq\f(5,72)C．eq\f(1,15)D．eq\f(5,216)【解析】選B.連續(xù)投擲2枚大小相同，質(zhì)地勻稱的骰子1次，基本領(lǐng)件總數(shù)n＝6×6＝36，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和不小于10包含的基本領(lǐng)件有：(4，6)，(6，4)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)，共有6個(gè)，所以每次投擲，兩骰子點(diǎn)數(shù)之和不小于10的概率為eq\f(1,6)，又投擲3次，相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故恰有兩次點(diǎn)數(shù)之和不小于10的概率為Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))·eq\f(5,6)＝eq\f(5,72).4．(2024·長(zhǎng)春高二檢測(cè))已知隨機(jī)變量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，則隨機(jī)變量η的期望Eη及方差Dη分別為()A．6和2.4B．2和2.4C．2和5.6D．6和5.6【解析】選B.因?yàn)閄～B(10，0.6)，由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式得EX＝10×0.6＝6，由二項(xiàng)分布的方差公式得DX＝10×0.6×0.4＝2.4，因?yàn)閄＋η＝8，所以η＝8－X，則Eη＝E(8－X)＝8－EX＝8－6＝2，Dη＝D(8－X)＝DX＝2.4.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)5．(2024·鹽城高二檢測(cè))設(shè)火箭放射失敗的概率為0.01，若放射10次，其中失敗的次數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是()A．EX＝0.1B．P(X＝k)＝0.01k×0.9910－kC．DX＝0.99D．P(X＝k)＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(10))×0.01k×0.9910－k【解析】選AD.因?yàn)閄～B(10，0.01)，所以EX＝10×0.01＝0.1，DX＝10×0.01×0.99＝0.099.所以P(X＝k)＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(10))×0.01k×0.9910－k.6．(2024·徐州高二檢測(cè))某計(jì)算機(jī)程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)五位二進(jìn)制數(shù)A＝a1a2a3a4a5(例如10100)其中A的各位數(shù)中ak(k＝2，3，4，5)出現(xiàn)0的概率為eq\f(1,3)，出現(xiàn)1的概率為eq\f(2,3)，記X＝a2＋a3＋a4＋a5，則當(dāng)程序運(yùn)行一次時(shí)()A．X聽(tīng)從二項(xiàng)分布B．P(X＝1)＝eq\f(8,81)C．X的期望EX＝eq\f(8,3)D．X的方差DX＝eq\f(8,3)【解析】選ABC.由二進(jìn)制數(shù)A的特點(diǎn)知每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字只能填0，1，且每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字在填時(shí)互不影響，故5位數(shù)中后4位的全部結(jié)果有4類：①后4位數(shù)都出現(xiàn)0，X＝0，記其概率為P(X＝0)＝＝eq\f(1,81)；②后4位數(shù)只出現(xiàn)1個(gè)1，X＝1，記其概率為P(X＝1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\f(8,81)；③后4位數(shù)出現(xiàn)2個(gè)1，X＝2，記其概率為P(X＝2)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝eq\f(24,81)，④后4位數(shù)出現(xiàn)3個(gè)1，x＝3，記其概率為P(X＝3)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(32,81)，⑤后4位數(shù)都出現(xiàn)1，X＝4，記其概率為P(X＝4)＝＝eq\f(16,81)，故X～B(4，eq\f(2,3))，故A正確；又P(X＝1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\f(8,81)，故B正確；因?yàn)閄～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,3)))，所以EX＝4×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3)，故C正確；因?yàn)閄～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,3)))，所以X的方差DX＝4×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(8,9)，故D錯(cuò)誤．三、填空題(每小題5分，共10分)7．箱子中有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，6且大小、形態(tài)完全相同的6個(gè)球，從箱子中一次摸出兩個(gè)球，登記號(hào)碼并放回，假如兩球號(hào)碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎(jiǎng)．若有4人參與摸獎(jiǎng)，則恰好有3人獲獎(jiǎng)的概率為_(kāi)_______．【解析】獲獎(jiǎng)的概率為p＝eq\f(6,Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)))＝eq\f(2,5)，記獲獎(jiǎng)的人數(shù)為ξ，ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,5)))，所以4人中恰好有3人獲獎(jiǎng)的概率為P＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))·eq\f(3,5)＝eq\f(96,625).答案：eq\f(96,625)8．在一射擊測(cè)試中每人射擊三次，每擊中目標(biāo)一次記10分，沒(méi)有擊中記0分，某人每次擊中目標(biāo)的概率為eq\f(2,3)，則此人得分的期望與方差分別為_(kāi)_______，________．【解析】依據(jù)題意，記此人三次射擊擊中目標(biāo)η次得分為ξ分，則η～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，ξ＝10η，所以Eξ＝10Eη＝10×3×eq\f(2,3)＝20，Dξ＝100Dη＝100×3×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(200,3).答案：20eq\f(200,3)四、解答題(每小題10分，共20分)9．乒乓球單打競(jìng)賽在甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員間進(jìn)行，競(jìng)賽采納7局4勝制(即先勝4局者獲勝，競(jìng)賽結(jié)束)，假設(shè)兩人在每一局競(jìng)賽中獲勝的可能性相同．(1)求乙以4比1獲勝的概率；(2)求甲獲勝且競(jìng)賽局?jǐn)?shù)多于5局的概率．【解析】(1)由已知，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在每一局競(jìng)賽中獲勝的概率都是eq\f(1,2)，記“乙以4比1獲勝”為事務(wù)A，則A表示乙贏了3局甲贏了一局，且第五局乙贏，所以P(A)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))××eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).(2)記“甲獲勝且競(jìng)賽局?jǐn)?shù)多于5局”為事務(wù)B，則B表示甲以4比2獲勝，或甲以4比3獲勝．因?yàn)榧滓?比2獲勝，表示前5局競(jìng)賽中甲贏了3局且第六局競(jìng)賽中甲贏了，這時(shí)，無(wú)需進(jìn)行第7局競(jìng)賽，故甲以4比2獲勝的概率為Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))×××eq\f(1,2)＝eq\f(5,32).甲以4比3獲勝，表示前6局競(jìng)賽中甲贏了3局且第7局競(jìng)賽中甲贏了，故甲以4比3獲勝的概率為Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))×××eq\f(1,2)＝eq\f(5,32)，故甲獲勝且競(jìng)賽局?jǐn)?shù)多于5局的概率為eq\f(5,32)＋eq\f(5,32)＝eq\f(5,16).10．(2024·北京高二檢測(cè))一家面包房依據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示．將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立．(1)求在將來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率；(2)用X表示在將來(lái)3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望EX及方差DX.【解析】(1)設(shè)A1表示事務(wù)“日銷售量不低于100個(gè)”，A2表示事務(wù)“日銷售量低于50個(gè)”，B表示事務(wù)“在將來(lái)連續(xù)3天里有連續(xù)2天日銷售量不低于100個(gè)且另一天的日銷售量低于50個(gè)”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6.P(A2)＝0.003×50＝0.15.P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X的可能取值為0，1，2，3.相應(yīng)的概率為P(X＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))·(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))·0.63＝0.216，分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216因?yàn)閄～B(3，0.6)，所以期望為EX＝3×0.6＝1.8，方差DX＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.1．位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下述規(guī)則移動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位，移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴遥⑶蚁蛏稀⑾蛴乙苿?dòng)的概率都是eq\f(1,2).質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后位于點(diǎn)(2，3)的概率是________．【解析】質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后，位于點(diǎn)(2，3)處，則需向右移動(dòng)2次，向上移動(dòng)3次，則所求概率為Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))··＝eq\f(5,16).答案：eq\f(5,16)2．甲、乙兩隊(duì)參與聽(tīng)歌猜歌名嬉戲，每隊(duì)3人．隨機(jī)播放一首歌曲，參賽者起先搶答，每人只有一次搶答機(jī)會(huì)，答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分，假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為eq\f(2,3)，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為eq\f(2,3)，eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，且每人回答正確與否相互之間沒(méi)有影響．(1)若競(jìng)賽前隨機(jī)從兩隊(duì)的6個(gè)選手中抽取兩名選手進(jìn)行示范，求抽到的兩名選手在同一個(gè)隊(duì)的概率；(2)用ξ表示甲隊(duì)的總得分，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)求兩隊(duì)得分之和大于4的概率．【解析】(1)6個(gè)選手中抽取兩名選手共有Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＝15種結(jié)果，抽到的兩名選手在同一個(gè)隊(duì)包括同在甲隊(duì)或乙隊(duì)，共有：2Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))＝6種結(jié)果，用A表示事務(wù)：“從兩隊(duì)的6個(gè)選手中抽取兩名選手，求抽到的兩名選手在同一個(gè)隊(duì)”，P(A)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)，故從兩隊(duì)的6個(gè)選手中抽取兩名選手進(jìn)行示范，抽到的兩名選手在同一個(gè)隊(duì)的概率為eq\f(2,5).(2)由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3))).P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))＝eq\f(1,27)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)