PAGE10-4．2簡潔線性規劃學習目標核心素養1．了解目標函數、約束條件、二元線性規劃問題、可行解、可行域、最優解等基本概念．(重點)2．駕馭二元線性規劃問題的求解過程，特殊是確定最優解的方法．(重點、難點)1．通過學習與線性規劃有關的概念，培育數學抽象素養．2．通過探討最優解的方法，提升數學運算實力．簡潔線性規劃閱讀教材P100～P101“例6”以上部分，完成下列問題(1)線性規劃中的基本概念名稱意義約束條件關于變量x，y的一次不等式(組)線性約束條件關于x，y的一次不等式(組)目標函數欲求最大值或最小值的關于變量x，y的函數解析式線性目標函數關于變量x，y的一次解析式可行解滿意線性約束條件的解(x，y)可行域由全部可行解組成的集合最優解使目標函數取得最大值或最小值的可行解線性規劃問題在線性約束條件下求線性目標函數的最大值或最小值問題(2)線性規劃問題①目標函數的最值線性目標函數z＝ax＋by(b≠0)對應的斜截式直線方程是y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，在y軸上的截距是eq\f(z,b)，當z改變時，方程表示一組相互平行的直線．當b＞0，截距最大時，z取得最大值，截距最小時，z取得最小值；當b＜0，截距最大時，z取得最小值，截距最小時，z取得最大值．②解決簡潔線性規劃問題的一般步驟在確定線性約束條件和線性目標函數的前提下，解決簡潔線性規劃問題的步驟可以概括為：“畫、移、求、答”四步，即(ⅰ)畫：依據線性約束條件，在平面直角坐標系中，把可行域表示的平面圖形精確地畫出來，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側開放的無限大的平面區域．(ⅱ)移：運用數形結合的思想，把目標函數表示的直線平行移動，最先通過或最終通過的頂點(或邊界)便是最優解．(ⅲ)求：解方程組求最優解，進而求出目標函數的最大值或最小值．(ⅳ)答：寫出答案．思索：(1)在線性約束條件下，最優解唯一嗎？[提示]可能唯一，也可能不唯一．(2)若將目標函數z＝3x＋y看成直線方程時，z具有怎樣的幾何意義？[提示]由z＝3x＋y得y＝－3x＋z，z是直線在y軸上的截距．1．設變量x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y－4≤0，,x－3y＋4≤0，))則目標函數z＝3x－y的最大值為()A．－4 B．0C．eq\f(4,3) D．4D[作出可行域，如圖所示．聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－4＝0，,x－3y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2.))當目標函數z＝3x－y移到(2,2)時，z＝3x－y有最大值4．]2．若實數x，y滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,x≤4，,y≤5))則s＝x＋y的最小值為．2[如圖所示陰影部分為可行域，由s＝x＋y得y＝－x＋s，由圖可知，當直線y＝－x＋s與直線x＋y－2＝0重合時，s最小，即x＝4，y＝－2時，s的最小值為4－2＝2．]3．如圖，點(x，y)在四邊形ABCD的內部和邊界上運動，那么z＝2x－y的最小值為．1[法一：目標函數z＝2x－y可變形為y＝2x－z，所以當直線y＝2x－z在y軸上的截距最大時，z的值最小．移動直線2x－y＝0，當直線移動到經過點A時，直線在y軸上的截距最大，即z的值最小，為2×1－1＝1．法二：將點A，B，C，D的坐標分別代入目標函數，求出相應的z值，比較大小，得在A點處取得最小值為1．]4．已知點P(x，y)的坐標滿意條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤4，,y≥x，,x≥1，))點O為坐標原點，那么|PO|的最小值等于，最大值等于．eq\r(2)eq\r(10)[畫出約束條件對應的可行域，如圖陰影部分所示，因為|PO|表示可行域上的點到原點的距離，從而使|PO|取得最小值的最優解為點A(1,1)；使|PO|取得最大值的最優解為點B(1,3)，所以|PO|min＝eq\r(2)，|PO|max＝eq\r(10)．]線性目標函數的最值問題【例1】若x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x－2y≤0，,x＋2y－2≤0，))則z＝x＋y的最大值為．eq\f(3,2)[由題意畫出可行域(如圖所示)，其中A(－2，－1)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，C(0,1)，由z＝x＋y知y＝－x＋z，當直線y＝－x＋z經過Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))時，z取最大值eq\f(3,2)．]用圖解法解決線性規劃問題的關鍵和留意點,圖解法是解決線性規劃問題的有效方法.其關鍵在于平移目標函數對應的直線ax＋by＝0，看它經過哪個點或哪些點時最先接觸可行域和最終離開可行域，則這樣的點即為最優解，再留意到它的幾何意義，從而確定是取最大值還是最小值.eq\o([跟進訓練])1．若x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≥0，,x－3≤0，))則z＝x－2y的最小值為．－5[畫出可行域，數形結合可知目標函數的最小值在直線x＝3與直線x－y＋1＝0的交點(3,4)處取得，代入目標函數z＝x－2y得到－5．]線性規劃問題中的參數問題【例2】已知變量x，y滿意的約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x＋3y－3≥0，,y－1≤0.))若目標函數z＝ax＋y(其中a＞0)僅在點(3,0)處取得最大值，求a的取值范圍．[解]依據約束條件，畫出可行域．∵直線x＋2y－3＝0的斜率k1＝－eq\f(1,2)，目標函數z＝ax＋y(a＞0)對應直線的斜率k2＝－a，若符合題意，則需k1＞k2．即－eq\f(1,2)＞－a，得a＞eq\f(1,2)．含參數的線性目標函數問題的求解策略1約束條件中含有參數：此時可行域是可變的，應分狀況作出可行域，結合條件求出不同狀況下的參數值.2目標函數中含有參數：此時目標函數對應的直線是可變的，假如斜率肯定，則對直線作平移變換；假如斜率可變，則要利用斜率與傾斜角間的大小關系分狀況確定最優解的位置，從而求出參數的值.eq\o([跟進訓練])2．(1)已知x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≤2，,y≥0.))若z＝ax＋y的最大值為4，則a＝()A．3 B．2C．－2 D．－3(2)已知x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0.))若z＝y－ax取得最大值的最優解不唯一，則實數a的值為()A．eq\f(1,2)或1 B．2或eq\f(1,2)C．2或1 D．2或－1(1)B(2)D[(1)畫出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分所示．因為目標函數z＝ax＋y的最大值為4，即目標函數對應直線與可行域有公共點時，在y軸上的截距的最大值為4，作出過點D(0,4)的直線，由圖可知，目標函數在點B(2,0)處取得最大值，故有2a＋0＝4，解得a＝2．(2)作出可行域，如圖中陰影部分所示．由y＝ax＋z知z的幾何意義是直線在y軸上的截距，故當a>0時，要使z＝y－ax取得最大值的最優解不唯一，則a＝2；當a<0時，要使z＝y－ax取得最大值的最優解不唯一，則a＝－1．]非線性目標函數的最值問題[探究問題]1．(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點間的距離是什么？(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，直線AB的斜率是什么？[提示](1)|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)．(2)kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)．2．(1)代數式eq\r(x＋22＋y2)的幾何意義是什么？(2)代數式eq\f(y＋3,x－2)的幾何意義是什么？(3)代數式eq\f(|x－2y＋1|,\r(5))的幾何意義是什么？[提示](1)點(x，y)與(－2,0)間的距離．(2)點(x，y)與(2，－3)連線的斜率．(3)點(x，y)到直線x－2y＋1＝0的距離．【例3】設實數x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－2≤0，,x＋2y－4≥0，,2y－3≤0，))求(1)x2＋y2的最小值；(2)eq\f(y,x)的最大值．[解]如圖，畫出不等式組表示的平面區域ABC，(1)令u＝x2＋y2，其幾何意義是可行域ABC內任一點(x，y)與原點的距離的平方．過原點向直線x＋2y－4＝0作垂線y＝2x，則垂足為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4＝0，,y＝2x))的解，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(8,5)))，又由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4＝0，,2y－3＝0，))得Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，所以垂足在線段AC的延長線上，故可行域內的點到原點的距離的最小值為|OC|＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(13),2)，所以，x2＋y2的最小值為eq\f(13,4)．(2)令v＝eq\f(y,x)，其幾何意義是可行域ABC內任一點(x，y)與原點相連的直線l的斜率為v，即v＝eq\f(y－0,x－0)．由圖形可知，當直線l經過可行域內點C時，v最大，由(1)知Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，所以vmax＝eq\f(3,2)，所以eq\f(y,x)的最大值為eq\f(3,2)．1．(變結論)例3的條件不變，求x2＋(y＋1)2的最大值．[解]令z＝x2＋(y＋1)2，其幾何意義是可行域ABC內任一點(x，y)與(0，－1)的距離的平方，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y－3＝0,x－y－2＝0))解得點B的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，\f(3,2)))，由例3的解答可知，點B與(0，－1)間的距離的平方最大，zmax＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)－0))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋1))eq\s\up12(2)＝eq\f(37,2)．2．(變條件)把例3的線性約束條件換為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤1，,x≤1，,x＋y≥1，))求z＝x2＋y2的最小值．[解]實數x，y滿意的可行域如圖中陰影部分所示，則z的最小值為原點到直線AB的距離的平方，故zmin＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)．非線性目標函數的最值的求解策略1z＝x－a2＋y－b2型的目標函數可轉化為點x，y與點a，b距離的平方；特殊地，z＝x2＋y2型的目標函數表示可行域內的點到原點的距離的平方.2z＝eq\f(y－b,x－a)型的目標函數可轉化為點x，y與點a，b連線的斜率.3z＝|Ax＋By＋C|可轉化為點x，y到直線Ax＋By＋C＝0的距離的eq\r(A2＋B2)倍.1．用圖解法求線性目標函數的最值時，要清晰z的含義，z一般與直線在y軸上的截距有關．2．作不等式組表示的可行域時，留意標出相應的直線方程，平移直線時，要留意線性目標函數的斜率與可行域中邊界直線的斜率進行比較，確定最優解．1．推斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)只有當可行域是封閉的圖形時，目標函數才有最優解． ()(2)最優解指的是使目標函數取得最大值的變量x或y的值． ()(3)目標函數z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距． ()[答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)錯誤，可行域不是封閉的圖形，目標函數也有最優解；(2)錯誤，最優解指的是使目標函數取得最大值或最小值的可行解；(3)錯誤，由ax＋by－z＝0得y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，知z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上截距的b倍．2．目標函數z＝－3