2023—2024學年度第一學期期中質量檢測題答案高二數學（選擇性必修第一冊第一章、第二章、第三章第一節）2023.11一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.來源：課本107頁橢圓定義改。考查內容：本題考查橢圓的方程，是一道基礎題．課標要求：掌握橢圓的定義、標準方程。【答案】D【解析】解：若方程為橢圓方程，則，解得：，且，故選D2.來源：課本61頁例2改。考查內容：本題考查直線的一般式方程和平行關系．課標要求：能根據斜率判斷兩條直線平行.【答案】A

【解析】解：直線和直線平行，，解得或，當時，兩直線重合，故舍去；當時，經檢驗符合題意.故選3.來源：課本54頁例1、55頁練習2改。考查內容：直線的傾斜角，斜率的計算.課標要求：理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式。【答案】D

【解析】解：設直線的傾斜角為，由題得直線的斜率為，因為，所以故選：4.來源：課本22頁習題2改。考查內容：本題考查關于平面xOz對稱的點的坐標。課標要求：了解空間直角坐標系，能用空間直角坐標系刻畫點的位置。【答案】B【解析】由題意知，在空間直角坐標系中，點關于平面xOz的對稱點為，故選B5.來源：課本115頁復習鞏固1題改.考查內容：本題考查了動點的軌跡方程，橢圓的標準方程，屬于基礎題課標要求：通過對橢圓的學習，掌握簡單的曲線的軌跡的求法。【答案】C【解析】因為，所以與，的距離之和等于常數10，由橢圓的定義可知：此點的軌跡為焦點在軸上的橢圓，且，所以，則點P的軌跡為橢圓．故選C6.來源：課本15頁習題2改考查內容：本題考查空間向量基底的判定，屬于基礎題．課標要求：了解空間向量基本定理及其意義。【答案】C

【解析】解：如圖所示，不妨取，，，則，可知共面，不能作為基底，故A錯誤；，可知共面，不能作為基底，故B錯誤；，三向量不共面，可以作為基底，故C正確；，三向量共面，不可以作為基底，故D錯誤.故選：7.來源：課本96頁例5、98頁練習1改內容：本題考查兩個圓的位置關系以及圓的公切線問題．要求：能根據給定圓的方程判斷圓與圓的位置關系。【答案】C

【解析】解：兩個圓的標準方程分別為和，所以圓心分別是，，半徑分別是2，3，兩圓圓心的距離為，說明兩圓外切，因而公切線有3條．故選8.來源：課本20頁例3改。考查內容：本題考查利用空間向量求異面直線所成角的余弦值．課標要求：掌握利用空間向量，解決直線與直線的夾角問題。【答案】C

【解析】解：以AC的中點O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，，故選二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.來源：課本67頁習題7、102頁復習1（1）改、79頁習題6、7改考查內容：本題主要考查了平行線間的距離公式，考查了點到直線距離公式，以及直線的截距式方程。課標要求：探索并掌握平面上點到直線的距離公式、兩平行直線間的距離公式。【答案】ABD

【解析】解：對于A，，故A正確；對于B，直線可化為，直線與直線之間的距離是，故B正確；對于C，點到直線l：的距離，故C錯誤；對于D，①當直線過原點時，設直線方程為，代入點得，，解得，直線方程為，②當直線不過原點，且在兩坐標軸上的截距相等時，設直線方程為，代入點得，，解得，直線方程為，即，故選：ABD10.來源：課本67頁綜合運用10題、11題改考查內容：考查直線方程的一般式。課標要求：探索并掌握直線方程的一般式。【答案】ABCD

【解析】解：對于A，若在直線l上，則，于是即，正確；對于B，若、均不為零，則直線l與x軸、y軸都相交，正確；對于C，若，,，則直線即與x軸平行，正確；對于D，若，，則直線即，則直線l是y軸所在直線，正確；11.來源：課本91頁例1、93頁練習3、98習題1改考查內容：本題考查直線過定點問題，直線與圓的位置關系的判斷，直線與圓的弦長．課標要求：根據給定的直線和圓的方程，判斷直線和圓的位置關系。能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題。【答案】ABC

【解析】解：對于A、C，由，得，令，解得，所以直線l恒過定點，故A正確；因為直線l恒過定點，而，即點在圓內，所以直線l與圓O相交，故C正確；對于B，設直線l與圓O相交于兩點，若弦AB的中點為定點，則，此時為點O到直線AB距離的最大值，，圓心O到直線l的最大距離為，故B正確；對于D，時，直線，所以圓心O到直線l的距離為，所以直線l被圓O截得的弦長為，故D錯誤.故選：12.來源：課本19頁公式、21頁練習2改考查內容：本題考查空間向量平行、模、垂直和投影向量的概念．課標要求：掌握空間向量的概念及線性運算、掌握用向量方法刻畫平行和垂直。【答案】BCD

【解析】解：由題意，得，，而，故A不正確;

因為，，所以，故B正確;

因為，故C正確;

因為在上的投影向量為，故D正確

故選三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.來源：課本79頁習題9改。考查內容：本題考查兩條直線的交點問題。課標要求：能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標。【答案】9

【解析】解:聯立解得即為兩條直線的交點坐標，把代入直線方程，得，即14.來源：課本67頁復習鞏固8題改。考查內容：本題考查直線方程的求解、兩直線垂直的判定。課標要求：探索并掌握直線方程的的三種形式：點斜式、兩點式、一般式。【答案】

【解析】解：因為直線l與直線垂直，所以直線l的斜率為，因為直線l經過點，所以則直線l的方程為，即.15.來源：課本112頁練習2（1）改。考查內容：本題考查橢圓的幾何性質．課標要求：掌握橢圓的定義及簡單的幾何性質。【答案】

【解析】解：橢圓,焦點在軸上，則焦點坐標是16.來源：課本112頁3、4（2）、115頁習題4（3）改。考查內容：本題考查橢圓的幾何性質、與橢圓離心率有關的參數問題．課標要求：掌握橢圓的定義及簡單的幾何性質。【答案】9或16

【解析】解：當橢圓焦點在

x軸上時，

，解得

.當橢圓焦點在

y軸上時，

，解得

.故答案為：9或16四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.注意：每題有1分書寫分，要求卷面整潔，書寫規范，步驟條理清晰.17.（本小題滿分10分）來源：課本67頁8、79頁習題2改。考查內容：本題考查直線方程與點的位置關系．課標要求：掌握直線方程與點的位置關系.解：（1）畫圖給4分。（2）取4個點，把代入，得：，把代入，得：，把代入，得：，把代入，得：，………8分可得規律：直線l同旁的點的坐標使得的值同號，直線l上方點的坐標使得，直線l下方點的坐標使得.………10分18.（本小題滿分12分）來源：課本84頁例3改。考查內容：本題考查圓的方程。課標要求：掌握圓的標準方程與一般方程。解法（一）解：根據題意，設圓心C的坐標為

，因為圓心在直線上，所以.①………4分因為、是圓上兩點，所以，………6分根據兩點間距離公式，有，………8分即，②有①②可知………10分圓的半徑是………11分所以，所求圓的標準方程是………12分解法（二）解：設線段的中點為.由、兩點的坐標為、，可得的坐標為，直線的斜率為………4分因此，線段的垂直平分線的方程是

，即………6分由垂徑定理可知，圓心也在線段的垂直平分線上，所以它的坐標是方程組的解，………8分解這個方程組，的，所以圓心C的坐標是………10分圓的半徑是………11分所以，所求圓的標準方程是………12分19.（本小題滿分12分）來源：課本12頁例1、13頁例2改考查內容：本題考查空間向量的線性運算，空間向量的數量積運算．課標要求：理解空間向量基本定理、能在選定基底下進行向量的表示與計算。解：因為M是棱BC的中點，點N滿足，點P滿足，所以………2分………4分；………6分因為四面體OABC是正四面體，則，，………9分，………11分所以………12分20.（本小題滿分12分）來源：課本34頁例6、37頁例8、49頁11改考查內容：考查利用空間向量求點到面的距離和平面與平面的夾角問題的余弦值．課標要求：能用向量方法解決點到平面的距離、平面與平面的夾角問題。解：以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，………2分設平面的法向量為，則，取，得，………4分點到平面的距離點到平面的距離為………6分（2）由（1）可得：，，所以………8分由（1）平面的一個法向量為，因為平面，取平面的法向量為，………10分所以，，平面與平面所成夾角的余弦值為

………12分21.（本小題滿分12分）來源：課本112頁練習題4、114頁練習2改。考查內容：本題考查了橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查學生計算能力．課標要求：掌握橢圓的定義和標準方程及簡單的幾何性質，了解橢圓的簡單應用。【答案】解：橢圓的離心率為，短軸長為4，………3分解得，，………5分橢圓方程為；………6分聯立………7分得，………8分設，，則，，………9分由弦長公式可得………10分

………12分22.（本小題滿分12分）來源：2023年北京市高考真題、同課本34頁例6、49頁14題型考查內容：本題考查空間中直線與平面平行的判定、直線與平面夾角的正弦值．課標要求：掌握用向量方法解決直線與平面平行、直線與平面的夾角問題。解：（1）由正方體的性質可知，中，且，四邊形是平行四邊形，，………4分又平面，平面，………5分平面………6分（2）解法一：以A為原點，AD、AB、分別為x、y和z軸建立如圖所示的