期初模擬考試

一、選擇題

L若集合"=2=目｝,1如=3/+1｝,則（）

A.[0,+oo)B.[0,1]

C.[4,+oo）D,[l,+oo）

【答案】D

【解析】

【分析】先求得集合M，N,再求其并集即可.

【詳解】由x—420,得xW4,故〃=[4,”），

由y=3尤2+1,得yNl,故"=[1,4<0),

故MuN=[l,+oo).

故選：D.

2.已知復數z滿足z(l—i)=|l+i/,則z=()

A1-iB.l+iC.-1-iD.-l+i

【答案】B

【解析】

【分析】利用復數的模及除法運算求解.

【詳解】由Z（l—i）=|l+i/得

故選：B.

3.已知等比數列｛%｝的公比為＜7,若4+%=12,且弓,。2+6,生成等差數列，則4=（）

33

A.—B.----C.3D.—3

22

【答案】C

【解析】

【分析】根據等差數列定義和等比數列通項公式可構造方程求得結果.

【詳解】???％,4+6,%成等差數列，二2（。2+6）=4+%,又4+4=12,

「.2(12—q+6)=q+%,整理可得：3。1+%=3囚+囚，=36,

a+%\+q121

x-=記=§，解得：q=。(舍)或4=3.

3〃i+tz3

故選：C.

31

4.已知cos(a-/?)二一不以光(a+/)=二，貝|sinasin/?=()

3223

A.--B.——C.—D.—

5555

【答案】B

【解析】

【分析】由已知利用兩角和與差的余弦公式化簡，再將兩式相減可求得結果.

33

【詳解】由cos(a-/?)二-1，得cosocosA+sinasin/u—y,

由cos(a+J3)=g,得cos。cos，—sinisin/?=[,

3142

所以2sinosin0----—=sinasinf3---,

故選：B

5.已知軸截面為正三角形的圓錐的體積為9后，則圓錐的高為()

A.73B.273C.3&D.373

【答案】D

【解析】

【分析】設圓錐的底面圓半徑為廠，用廠表示高的長，由圓錐體積求得廣的值，繼而得高.

^-x2r=yf3r

【詳解】設圓錐的底面圓半徑為「，因圓錐軸截面為正三角形，故圓錐的高即

2

于是有3兀/*也-=96兀，解得廠=3,故圓錐的高為3君.

故選：D.

【答案】A

【解析】

【分析】根據函數的奇偶性可得函數為偶函數，可排除CD,然后根據xe（O,7i）時的函數值可排除B.

【詳解】因為/（x）=1l,el、

sinx=sinx,定義域為R,

'e-x-P

又/(-x)=sin(-x)=-sin%=/(x),

所以/（%）是偶函數，圖象關于y軸對稱，故排除CD,

又當為?0,兀）時,三彳〉O,sinx〉O,f（x）＞0,故排除B.

故選：A.

7.某罐中裝有大小和質地相同的4個紅球和3個綠球，每次不放回地隨機摸出1個球.記用="第一次摸球

時摸到紅球"，5="第一次摸球時摸到綠球“，&="第二次摸球時摸到紅球”，G2="第二次摸球時摸到

綠球"，"兩次都摸到紅球”，G="兩次都摸到綠球”，則下列說法中正確的是（）

A.P（H）=P（Hj.P（鳥）B.P（G）=P（G1）+P（G2）

c.（對凡）=；Gj）+P（5

PD.P（G1G2）=I

【答案】c

【解析】

【分析】根據題意，利用條件概率的計算公式，以及相互獨立事件的概念和計算，逐項求解，即可求解.

Aj

【詳解】由條件概率的公式，可得===g或尸（41?）="|=3,故C正確；

7

9

因為R=Kn與，4小2不相互獨立，所以P（R）wP（K）P（尺2）或尸（夫）=尸（用鳥）=—，

P（^）=P（7?17?2）+P（G1^）=1,P（i?,）=1,所以P（R）W尸（RjP（6）,所以A錯誤；

33A21

因P（G1）=-,P（G2）=P（i?1G2）+P（G1G2）=-,P（G）=P（G1G2）=-f=-）

///

所以P（G）wP（Gj+P（G2）,故B錯誤；

11

由p⑸GJ=喘U=

yCrj_3k（5）_3

77

2

則P（G2[G1）+P（G1|G2）=J,所以D錯誤.

故選：c.

8.純電動汽車是以車載電源為動力，用電機驅動車輪行駛，符合道路交通、安全法規各項要求的車輛，它

使用存儲在電池中的電來發動.因其對環境影響較小，逐漸成為當今世界的乘用車的發展方向.研究發現

電池的容量隨放電電流的大小而改變，1898年Peukert提出鉛酸電池的容量C、放電時間/和放電電流/

之間關系的經驗公式：C=I"其中；I為與蓄電池結構有關的常數（稱為Peukert常數），在電池容量不

變的條件下，當放電電流為7.5A時，放電時間為60h；當放電電流為25A時，放電時間為15h,則該蓄

電池的Peukert常數％約為（參考數據：lg2ao.301,lg3ao.477）（）

A.1.12B.1.13

C.1.14D.1.15

【答案】D

【解析】

【分析】根據題意可得C=7.5"x60=25"x15,再結合對數式與指數式的互化及對數的運算性質即可求

解.

【詳解】由題意知C=7.5"x60=25"x15，

所以（得]=3=4,兩邊取以10為底的對數，得Xlgg=21g2,

21g22x0.301

所以％=“15

l-lg31-0.477

故選：D.

二、多選題

9.若正數a,Z?滿足a+/?=l,則（）

B.2a+2b>2yf2

A.log,a+log2b<-2

C.a+lnZ?<0D.a2+b2<—

2

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用基本（均值不等式）可判斷ABD的真假；設函數/（x）=l—x+lnx（0<%<1）,分析其單

調性，可判斷C的真假.

【詳解】因為。>0,/?>0且=所以l=a+bN2\/^=>abw：（當且僅當a=Z?=g時取

所以log?a+log?b=log2（ab）<log2^-=-2,故A正確；

2a+2]N2J2ax2=2=2及'故B正確；

iA—x

設〃x）=l—x+lnx（0<x<l）,則/■?）=—1+—=—^>0在（0,1）上恒成立，所以函數在

XX

（0,1）上單調遞增，所以/■（1）</■⑴=0,

所以a+lnZ?v0成立，故C正確；

^a+b=l=>[a+b）2=l=>a2+2ab+b2=l,又或+投22ab，所以2（/+廿）21,即

a2+b2>-,故D錯誤.

2

故選：ABC

10.已知函數〃x）=log3（尤2—2x）,則下列結論正確的是（）

A.函數/（%）的單調遞增區間是[1,+8）B,函數/（%）的值域是R

C.函數“X）的圖象關于x=l對稱D.不等式的解集是（—1,3）

【答案】BC

【解析】

【分析】根據對數函數相關的復合函數的單調性，值域，對稱性，及解對數不等式，依次判斷即可得出結果.

【詳解】對A：令2%>0,解得％>2或x<0,故"力的定義域為/=（—8,0）D（2,+8）,

：y=log3〃在定義域內單調遞增，〃=%2—2%在（。,0）上單調遞減，在（2,+8）上單調遞增，

故/（%）在（-8,0）上單調遞減，在（2,+巧上單調遞增，A錯誤;

對B：VX2-2X=(X-1)2-1>-1,即y=Y—2x的值域M=

???（0,+8）￡4,故函數/（尤）的值域是R,B正確；

22

對C：?.?/（2-x）=log3（2-x）-2（2-x）=log3（x-2x）=/（x）,即—,

故函數/（%）的圖象關于x=l對稱，c正確；

2

對D：/（x）=log3（x-2x）<1=log33,且y=log3X在定義域內單調遞增，

可得。<%2一2%<3，解得2cx<3或-1<%<0，

故不等式/（%）<1的解集是（-1,0）U（2,3）,D錯誤.

故選：BC.

11.如圖，棱長為2的正方體ABC。—46GA中，E為棱。2的中點，產為正方形GCDA內一個動點

（包括邊界），且男尸//平面ABE,則下列說法正確的有（）

A.動點尸軌跡的長度為&

B.三棱錐用-'EE體積的最小值為:

C.耳尸與45不可能垂直

D.當三棱錐用-已。口的體積最大時，其外接球的表面積為三兀

【答案】ABD

【解析】

【分析】對A由4尸//平面ABE,聯想到存在一個過男尸的平面與平面ABE平行，利用正方體特征找

到平面〃平面A41E,進而得到產的軌跡為線段MN,對B,根據棱錐體積公式分析即可，對C舉反

例即可；對D,利用勾股定理求出外接球半徑即可.

【詳解】對A,如圖，令CC]中點為中點為N,連接肱V,

又正方體ABCD-A4G2中，E為棱。2的中點，可得B[MHA.E,MN//CD,UBA,,

：.B[MII平面BAE,MNII平面BQ,又BXM=M,

且B[M,MNu平面B[MN,平面B】MNII平面B^E,

又男尸//平面ABE,且與e平面目MN,5]Fu平面gMN,

又尸為正方形G。。內一個動點（包括邊界），.?.尸€平面與MNn平面GCD2,而=平面

用MNn平面GCDQ，

：.F^MN,即產的軌跡為線段MN.

由棱長為2正方體得線段的長度為夜，故選項A正確；

12

對B,由正方體側棱4G，底面，所以三棱錐用體積為v=§4G卬^=§5?^，

所以△。萬萬面積S-01f最小時，體積最小，如圖，?.?產eMZV,易得產在N處時25注最小，

此時5皿比=!人0-2石=工，所以體積最小值->故選項B正確；

對C,當產為線段MN中點時，由可得用E，MN,又CG中點為M,CR中點為N,

.-.MN//D.C,而AB//，。，.^.JB/，A3,故選項C不正確；

對D,如圖，當尸在M處時，三棱錐耳的體積最大時，

由己知得此時FD=FR=FBi=^，所以F在底面B}DDy的射影為底面外心，

DD[=2,BR=20,DB1=273,所以底面BXDDX為直角三角形，

所以產在底面的射影為4。中點，設為。「如圖，設外接球半徑為R，

由收=OO「+O[B；=OO；+3,R+OOi=FOi=g可得外接球半徑R=平，

外接球的表面積為4萬4=與無，故選項D正確.

2

故選：ABD.

三、填空題

1=（2,1）,若則

12.已知平面向量2=（—1,左），Q+石二

【答案】回

【解析】

【分析】先根據向量垂直得坐標公式求出％,再根據向量的模的坐標公式即可得解.

【詳解】因為力工坂,

所以a,。=-2+左=0，解得k=2,

故°+石=（1,3）,

所以卜+q=.

故答案為：Vw.

13.在2024年巴黎奧運會志愿者活動中，甲、乙、丙、丁4人要參與到A,B,C三個項目的志愿者工

作中，每個項目必須有志愿者參加，每個志愿者只能參加一個項目，若甲只能參加C項目，那么不同的志

愿者分配方案共有種（用數字表示）.

【答案】12

【解析】

【分析】分類討論，結合排列組合即可求解.

【詳解】分兩種情況：（1）只有甲參加C項目，則有C；A；=6種分配方案；

（2）甲與另外一人共同參與C項目，則有A；=6種分配方案.

綜上：共有12種分配方案.

故答案為：12

14.某個體戶計劃同時銷售A,B兩種商品，當投資額為無（尤＞0）千元時，在銷售42商品中所獲收益分

別為〃龍)千元與g(x)千元，其中/(x)=2x,g(x)=41n(2x+l),如果該個體戶準備共投入5千元

銷售A,8兩種商品，為使總收益最大，則8商品需投千元.

3

【答案】-##1.5

2

【解析】

【分析】列出利潤關于投資5商品x千元的函數，利用導數判斷函數的單調性，再求函數的最大值及對應的

x的值.

【詳解】設投入經銷8商品x千元(OWxW5),則投入經銷A商品的資金為(5—x)千元，所獲得的收益

S(x)千元,

則S(x)=2(5-x)+41n(2x+l)=41n(2x+l)-2x+10(0<x<5),

96—4丫

可得S，(x)=4x---------2=--

''2x+l2x+l

a

當時，可得S'(x)>0,函數S(x)單調遞增；

當,<x45時，可得S(x)<0,函數S(x)單調遞減;

所以當x=|時，函數S(x)取得最大值，最大值為s1|].

3

故答案為：一

2

四、解答題

15.已知VABC的內角A,B,C所對邊分別為b,c,且/?=2,a2=(c—1)2+3.

(1)求A;

(2)a—4sinAsinB,求cosC的值.

TT

【答案】(1)V

3

(2)瓜一6

4

【解析】

【分析】(1)直接用條件6=2將等式—1)2+3齊次化，再比較余弦定理即可得出結果；

(2)使用正弦定理得到sinB=變，再進一步確定3=烏，然后用余弦和公式即可.

24

【小問1詳解】

由已知條件Z?=2和4=(c—1)2+3有"=(c-l)2+3=c2-2c+22=c2-Z?c+&2.

^22_

2b1+C1-c1+bc-b1

所以由余弦定理可得cosA=3^——-=因為Ae(O,7i),

2bc2bc2bc2''

從而A=工.

3

【小問2詳解】

若a=4sinAsin5,則結合正弦定理得4sin5=------=-------=-------

sinAsinBsinB

所以sin23=L,從而sinB=Y2,這得到3=四或3=型.

2244

2兀jr

而5=兀一A—。＜兀一A=——,故3=—.

34

所以cosC=cos(兀一A-3)=-cos(A+3)

=sinAsinB—cosAcosB

.n.717171V3y/21V2V6-V2

sin—sin——cos—cos—

34342-2-2，24

16.在四棱錐P—ABCD中，底面ABC。是邊長為2的正方形，PC±PD,二面角A—CD—P為直二

面角.

(1)求證：PBLPD-,

(2)當PC=?。時，求直線PC與平面乃45所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

⑵叵.

5

【解析】

【分析】(1)根據面面垂直的性質定理可得平面PCD,進而得出6CJ_?D.然后即可根據線面垂直

的判定定理得出平面PBC,然后即可得出PBLPD；

(2)取CO中點為。，連結尸。.取A3中點為E,連結0E.由已知可證平面ABC。，

OELCD.以點。為坐標原點，建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出平面A45的一個法向量

方=（0,1,2）,即可根據向量法求出答案.

【小問1詳解】

由題意知平面PCD_L平面ABCD,

又平面PC。。平面ABCD=CD,BCLCD,BCu平面ABC。，

所以6CL平面PCD.

因為PDu平面尸CD,所以BdY）.

又因為PCLPD,BCcPC=C,PCu平面P6C,BCu平面P3C,

所以2D,平面P3C.

因為P5u平面P6C,所以

【小問2詳解】

取C。中點為。，連結PO.取A3中點為E，連結OE.

因為PC=?。，點。是。中點，所以POLCD.

又因為平面PCD_L平面ABCD,平面PCD。平面A6CD=CD，POu平面PCD,

所以POJ_平面ABCD.

因為點。、E分別是C。、的中點，所以O石〃AD,則OELCD.

則OP」CD=1,OE=AD=2.

2

以點。為坐標原點，8,OE,OP所在直線分別為蒼%z軸，如圖建立空間直角坐標系。-取z,

則0（0,0,。），D（l,0,0）,C（-l,0,0）,5（—1,2,0）,P（0,0,l）,E（0,2,0）,A（l,2,0）,

AP=（-1,-2,1）,AB=（-2,0,0）,PC=（-1,O,-1）.

設n=（%,y,z）是平面A43的一個法向量，

ft?AP=—2y+z=0

則＜—.,取y=l,則z=2,

n-AB=-2x=0

所以3=（0,1,2）是平面PAB的一個法向量.

-2_M

設直線尸C與平面RW所成的角為。，則Sine=，os伍4）n-PC

RM75x72—5

所以直線PC與平面乃45所成的角的正弦值為?

5

17.無人機已廣泛用于森林消防、搶險救災、環境監測等領域.

（1）消防員甲操縱某一品牌的無人機在不同的氣候中進行了投彈試驗，結果見下表，根據小概率值

。=0.001的獨立性檢驗，分析消防員甲操縱該無人機的投彈命中率跟氣候是否有關:

晴雨

天天

命中4530

不命

520

中

n(ad-bc)

附：Z27-------77-------w-------77------7其中n=a+b+c+d

a0.150.100.050.0100.001

Xa2.0722.7063.8416.63510.828

（2）某森林消防支隊在一次消防演練中利用無人機進行投彈滅火試驗，消防員乙操控無人機對同一目標

4

起火點進行了三次投彈試驗，已知無人機每次投彈時擊中目標的概率都為彳，每次投彈是否擊中目標相互

獨立.無人機擊中目標一次起火點被撲滅的概率為,，擊中目標兩次起火點被撲滅的概率為2,擊中目標

23

三次起火點必定被撲滅.

（i）求起火點被無人機擊中次數X的分布列及數學期望;

（ii）求起火點被無人機擊中且被撲滅的概率.

【答案】(1)答案見解析

(2)(i)分布列見解析，—(ii)

5125

【解析】

【分析】(1)根據已知數據得到列聯表，求出力？，即可判斷;

(2)(i)由二項分布概率公式求概率即可得分布列，再由二項分布期望公式可得；(ii)根據互斥事件的概

率公式求解可得

【小問1詳解】

零假設"。：消防員甲操縱該無人機的投彈命中率跟氣候無關

合

晴天雨天

計

命中453075

不命中52025

合計5050100

因為黑蟲產心…

根據小概率值a=0.001的獨立性檢驗，零假設不成立，消防員甲操縱該無人機的投彈命中率跟氣候有

關.

【小問2詳解】

(i)起火點被無人機擊中次數X的所有可能取值為0,1,2,3

3

p(x=o)=&j(x=i)=c；g

5II125

P(X=2)&囚工喂,*x=3)=4j-

\JJJJI125

X的分布列如下：

X0123

1124864

P

125125125125

擊中三次被火撲滅的概率為名=

63264102

二所求概率p=---1----1---

125125125125

18.已知函數/(x)=a(x-l)-lnx(aeR).

(1)求函數/(尤)的單調區間；

(2)若人力20恒成立,求實數。的取值集合.

【答案】(1)答案見解析

⑵{1}

【解析】

【分析】(1)先求函數的定義域，再求導，分類討論aWO和a>0,即可求解函數的單調區間；

(2)結合(1)知，當aWO時，不合題意，則a>0,將〃上0恒成立等價于/(%)血/0，令

g(a)=l—a+lna,利用導數研究g(a)的單調性即最值，即可求解.

【小問1詳解】

由題意得：/(力的定義域為(0,+。)，

八力=J=竺匚，

XX

當aWO時，/，(%)<0,則/(%)單調遞減區間為(0,+“)，無單調遞增區間，

當a>0時，令/'(￡)=0,解得：x=j,

所以當時，/,(%)<0,

當xe(，,+oo］時，/(%)>0,

所以/(%)的單調遞減區間為1o,單調遞增區間為Q,+s］,

綜上所述：aWO時，則/(力的單調遞減區間為(0,+“)，無單調遞增區間，

a>0時，/(%)的單調遞減區間為〔0,：］,單調遞增區間為+8.

【小問2詳解】

當aWO時，/(2)=a-ln2<0,不合題意，

當a>0時，由(1)知/。*正=l—a+lna,

則1—a+lna20,

令g(Q)=l—a+ln〃，則/(〃)=，—1,

所以當ae(O,l)時，g'(a)>0,

當ae(l,+8)時，g'(a)<0,

所以g(a)在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減，

所以g(嘰ax=g(l)=。,

所以。=1,

實數。的取值集合為{1}.

221

19.已知橢圓C：=+與=1(。〉6〉0)的離心率為一，左、右焦點分別為片，歹2,上、下頂點分別為