2025年中考數學復習新題速遞之概率

選擇題（共10小題）

1.（2023秋?交城縣期末）在一個不透明的袋子中裝有4個紅球和若干個白球，它們除顏色外其余都相同.通

過多次摸球試驗后發現摸到紅球的頻率穩定在0.4附近.則估計袋子中的白球有（）

A.6個B.8個C.10個D.12個

2.（2024春?濟寧期中）下列事件是必然事件的是（）

A.車輛隨機到達一個路口遇到紅燈

B.早上的太陽從西方升起

C.400人中至少有兩人的生日在同一天

D.投擲一枚質地均勻的硬幣，正面朝上

3.（2024春?芮城縣期末）下列事件中，必然事件是（）

A.明年“雨水”時節會下雨

B.任意買一張電影票，座位號是奇數

C.從地面向上踢出的足球會落下

D.任意擲一枚圖釘，釘帽朝下

4.（2024?陸豐市模擬）將分別標有“善”、“行”、“日”、“照”四個漢字的小球裝在一個不透明的口袋中，

這些小球除漢字以外其它完全相同，每次摸球前先攪勻，隨機摸出一球，不放回，再隨機摸出一球，兩

次摸出的球上的漢字組成“日照”的概率是（）

1115

A.—B.-C.-D.—

68416

5.（2023秋?固原期末）從數學的觀點看，以下成語描述的事件屬于必然事件的是（）

A.水中撈月B.甕中捉鱉C.守株待兔D.拔苗助長

6.（2023秋?西山區校級期末）在聯歡會上，有A、B、C三名選手站在一個三角形的三個頂點的位置上，

他們在玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應放

的最適當的位置是在△ABC的（）

A.三邊中線的交點

B.三邊垂直平分線的交點

C.三條角平分線的交點

D.三邊上高的交點

7.（2023秋?武昌區期末）不透明的袋子里裝有8個小球，其中5個紅色，3個藍色，則下列說法不正確

的是（）

A.從中隨機抽取1個球，抽到紅色的可能性更大

B.從中隨機抽取1個球，抽到紅色和藍色的可能性一樣大

C.從中隨機抽取6個球，一定有藍色的

D.從中隨機抽取5個球，可能都是紅色的

8.（2024?廣陵區二模）一個不透明的袋子中只有4個黑球和2個白球，這些球除顏色外無其他差別，隨

機從袋子中一次摸出3個球，下列事件是必然事件的是（）

A.3個球都是黑球B.3個球都是白球

C.3個球中有黑球D.3個球中有白球

9.（2024?江岸區模擬）下列事件中是必然事件的是（）

A.床前明月光B.大漠孤煙直

C.手可摘星辰D.黃河入海流

10.（2024?港南區四模）下列成語所描述的事件屬于不可能事件的是（）

A.守株待兔B.水中撈月C.水滴石穿D.百發百中

二.填空題（共5小題）

11.（2024春?句容市期中）一影院正在放映《熱辣滾燙》，某人在售票窗口購票一張，該票座位號碼是奇

數屬于事件.

12.（2024春?句容市期中）為了解該微信二維碼中間帶微信圖標小正方形區域的面積，某小組同學做了拋

擲點的實驗，實驗數據如下：

在正方1002003004006008009001000

形內投

擲的點

數n

落入小915273450667685

正方形

區域的

頻數m

落入小0.0900.0750.0900.0850.0830.08250.0840.085

正方形

區域的

頻率一

n

試估計“點落入圓形區域內”的概率（精確到0.01）.

13.（2024?沙坪壩區自主招生）為弘揚紅巖精神，廉續紅色血脈，沙坪壩區開展“小小紅巖講解員”風采

展示活動.兩同學從宋振中、陳然和江竹筠三位烈士中隨機選擇一位烈士的故事進行講解，則他們恰好

選擇同一位烈士的概率是.

14.（2023秋?嘉興期末）一個不透明的箱子里有3個球，其中2個白球，1個紅球，它們除了顏色外其他

都相同，從中任意摸出一個球，記下顏色后放回，攪勻，再摸出一個球，則摸出的兩個球恰好顏色不同

的概率為.

15.（2024?濰坊）小瑩在做手抄報時，用到了紅色、黃色、藍色三支彩筆，這三支彩筆的筆帽和筆芯顏色

分別一致.完成手抄報后，她隨機地將三個筆帽分別蓋在三支彩筆上，每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配

的概率是.

三.解答題（共5小題）

16.（2024?吉州區模擬）吉安高鐵站開通后，旅客在網購車票時，系統是隨機分配座位的，王某和李某打

算購買從吉安西到南昌西的高鐵車票（如圖所示，一排中的座位編號為A,B,C,D,尸）.假設系統已

將兩人的位置分配到同一排后，在同一排分配各個座位的機會是均等的.

（1）“系統分給這兩個人A,G座位”是（填“必然”或“不可能”或“隨機”）事件；

（2）利用畫樹狀圖或列表格，求系統分配給王某和李某相鄰座位（過道兩側座位C,。不算相鄰）的

概率.

取消選擇一個座位確認

ABC過道DF

17.（2023秋?交城縣期末）某校為了提高課后延時服務的質量，自主研發了書法（A）,閱讀（B）,足球

（C）,器樂（D）四門選修課程供學生選擇，每門課程被選到的機會均等.

(1)學生小李計劃選修兩門課程，他所有可能的選法共有種；

(2)若學生小李和小杜各計劃選修一門課程，求他們兩人恰好選到同一門課程的概率.

18.(2024春?芮城縣期末)為迎接2024年“五?一”國際勞動節，某市總工會組織了以“中國夢，勞動美”

為主題的演講比賽.某校兩位語文老師小張和小李都想參加比賽，但每校只有一個參賽名額.該校工會

主席準備了如圖所示的寫有“社會主義核心價值觀”的12張卡片，這些卡片的背面完全相同，將這些

卡片背面朝上洗勻，隨機從中摸出一張卡片，若摸到的卡片屬于國家層面，則小張去；若摸到的卡片屬

盤停止轉運后記下指針所指扇形區域內的數字(如果指針恰好指在分割線上，那么重新轉一次，直到指

針指向一個區域為止).

(1)指針指向扇形區域內的數字小于3是事件；(填“必然”“隨機”或“不可能”)

(2)請利用畫樹狀圖或列表的方法求兩次記錄數字之和小于5的概率.

20.(2024?鄲都區模擬)2021年，“碳中和、碳達峰”成為高頻熱詞.為了解學生對“碳中和、碳達峰”

知識的知曉情況，某校團委隨機對該校部分學生進行了問卷調查，調查結果共分成四個類別：A表示“從

未聽說過”，8表示“不太了解”，C表示“比較了解”，。表示“非常了解”.根據調查統計結果，繪制

成兩種不完整的統計圖.請結合統計圖，回答下列問題.

(1)參加這次調查的學生總人數為人；

(2)扇形統計圖中，8部分扇形所對應的圓心角度數是；

(3)將條形統計圖補充完整；

(4)現需從。類的4名學生中隨機抽取2名作為“碳中和、碳達峰”知識的義務宣講員，這四人中，

1名來自七年級，1名來自八年級,2名來自九年級，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽到的2名學生

來自不同年級的概率.

2025年中考數學復習新題速遞之概率（2024年9月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2023秋?交城縣期末）在一個不透明的袋子中裝有4個紅球和若干個白球，它們除顏色外其余都相同.通

過多次摸球試驗后發現摸到紅球的頻率穩定在0.4附近.則估計袋子中的白球有（）

A.6個B.8個C.10個D.12個

【考點】利用頻率估計概率.

【專題】概率及其應用；運算能力.

【答案】A

【分析】根據概率公式計算數量即可.

【解答】解：???摸到紅球的頻率穩定在0.4附近，

，摸到紅球的概率為0.4,

:袋子中裝有4個紅球，

.?.球的總個數為：44-0.4=10（個），

白球的個數為：10-4=6（個），

故選：A.

【點評】本題主要考查了頻率估計概率，解題的關鍵是根據題意得出摸到紅球的概率為04.

2.（2024春?濟寧期中）下列事件是必然事件的是（）

A.車輛隨機到達一個路口遇到紅燈

B.早上的太陽從西方升起

C.400人中至少有兩人的生日在同一天

D.投擲一枚質地均勻的硬幣，正面朝上

【考點】隨機事件.

【專題】概率及其應用.

【答案】C

【分析】根據事件發生的可能性大小判斷即可.

【解答】解：選項A,是隨機事件，不是必然事件，不符合題意；

選項2,是不可能事件，不是必然事件，不符合題意；

選項C,是必然事件，符合題意；

選項D是隨機事件，不是必然事件，不符合題意.

故選：C.

【點評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條件下，一定發生

的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，

可能發生也可能不發生的事件.

3.（2024春?芮城縣期末）下列事件中，必然事件是（）

A.明年“雨水”時節會下雨

B.任意買一張電影票，座位號是奇數

C.從地面向上踢出的足球會落下

D.任意擲一枚圖釘，釘帽朝下

【考點】隨機事件.

【專題】概率及其應用.

【答案】C

【分析】根據事件發生情況大小進行解題即可.

【解答】解：A、明年“雨水”時節會下雨，是隨機事件，故A不符合題意；

8、任意買一張電影票，座位號是奇數，是隨機事件，故8不符合題意；

C、從地面向上踢出的足球會落下，是必然事件；故C符合題意；

。、任意擲一枚圖釘，釘帽朝下，是隨機事件，故。不符合題意.

故選：C.

【點評】本題主要考查必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.用到的知識點為：確定事件包括必然

事件和不可能事件.必然事件指在一定條件下一定發生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不

發生的事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件.

4.（2024?陸豐市模擬）將分別標有“善”、“行”、“日”、“照”四個漢字的小球裝在一個不透明的口袋中，

這些小球除漢字以外其它完全相同，每次摸球前先攪勻，隨機摸出一球，不放回，再隨機摸出一球，兩

次摸出的球上的漢字組成“日照”的概率是（）

1115

A.-B.-C.-D.—

68416

【考點】概率公式.

【專題】概率及其應用；推理能力.

【答案】A

【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，其中兩次摸出的球上的漢字組成“日照”的結果有2種,

再由概率公式求解即可.

【解答】解：畫樹狀圖如下：

行日照善日照善行照善行日

共有12種等可能的結果，其中兩次摸出的球上的漢字組成“日照”的結果有2種，

兩次摸出的球上的漢字組成“宜昌”的概率為三=

126

故選：A.

【點評】本題考查了樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適用于兩步

或兩步以上完成的事件.解題時還要注意是放回試驗還是不放回試驗.用到的知識點為：概率=所求情

況數與總情況數之比.

5.（2023秋?固原期末）從數學的觀點看，以下成語描述的事件屬于必然事件的是（）

A.水中撈月B.甕中捉鱉C.守株待兔D.拔苗助長

【考點】隨機事件.

【專題】數據的收集與整理；數據分析觀念.

【答案】B

【分析】根據事件的分類對各選項進行逐一分析即可.

【解答】解：A、水中撈月是不可能事件，故本選項錯誤；

8、翁中捉鱉是必然事件，故本選項正確

C、守株待兔是隨機事件，故本選項錯誤；

。、拔苗助長是不可能事件，故本選項錯誤；

故選：B.

【點評】本題考查的是隨機事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念；必

然事件指在一定條件下一定發生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件；不確定事

件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件.

6.（2023秋?西山區校級期末）在聯歡會上，有A、B、C三名選手站在一個三角形的三個頂點的位置上,

他們在玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應放

的最適當的位置是在△ABC的（）

A.三邊中線的交點

B.三邊垂直平分線的交點

C.三條角平分線的交點

D.三邊上高的交點

【考點】游戲公平性.

【專題】數據分析觀念.

【答案】B

【分析】為使游戲公平，要使凳子到三個人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點到線段兩端的

距離相等可知，要放在三邊中垂線的交點上.

【解答】解：,??三角形的三條垂直平分線的交點到三角形三個頂點的距離相等，

凳子應放在△ABC的三條垂直平分線的交點最適當.

故選：B.

【點評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質的應用；利用所學的數學知識解決實際問題是一種能力,

要注意培養.想到要使凳子到三個人的距離相等是正確解答本題的關鍵.

7.（2023秋?武昌區期末）不透明的袋子里裝有8個小球，其中5個紅色，3個藍色，則下列說法不正確

的是（）

A.從中隨機抽取1個球，抽到紅色的可能性更大

B.從中隨機抽取1個球，抽到紅色和藍色的可能性一樣大

C.從中隨機抽取6個球，一定有藍色的

D.從中隨機抽取5個球，可能都是紅色的

【考點】概率的意義.

【專題】概率及其應用；數據分析觀念.

【答案】B

【分析】根據概率的意義，逐一判斷即可解答.

【解答】解：A、從中隨機抽取1個球，抽到紅色的可能性更大，故A不符合題意；

8、從中隨機抽取1個球，抽到紅色和藍色的可能性不一樣，故8符合題意；

C、從中隨機抽取6個球，一定有藍色的，故C不符合題意；

。、從中隨機抽取5個球，可能都是紅色的，故。不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查了概率的意義，熟練掌握概率的意義是解題的關鍵.

8.（2024?廣陵區二模）一個不透明的袋子中只有4個黑球和2個白球，這些球除顏色外無其他差別，隨

機從袋子中一次摸出3個球，下列事件是必然事件的是（）

A.3個球都是黑球B.3個球都是白球

C.3個球中有黑球D.3個球中有白球

【考點】隨機事件.

【專題】概率及其應用；數據分析觀念.

【答案】C

【分析】根據事件發生的可能性大小判斷相應事件的類型即可.

【解答】解：一個不透明的袋子中只有4個黑球和2個白球，這些球除顏色外無其他差別，隨機從袋子

中一次摸出3個球,

A、3個球都是黑球,是隨機事件，故本選項不符合題意;

B、3個球都是白球,是不可能事件，故本選項不符合題意;

3個球中有黑球,是必然事件，故本選項符合題意;

D、3個球中有白球,是隨機事件，故本選項不符合題意;

故選：C.

【點評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條件下，一定發生

的事件.不可能事件是指在一定條件下,一定不發生的事件,不確定事件即隨機事件是指在一定條件下,

可能發生也可能不發生的事件.

9.（2024?江岸區模擬）下列事件中是必然事件的是（）

A.床前明月光B.大漠孤煙直

C.手可摘星辰D.黃河入海流

【考點】隨機事件.

【專題】概率及其應用；數據分析觀念.

【答案】D

【分析】根據事件發生的可能性大小判斷.

【解答】解：A、床前明月光，是隨機事件,不符合題意;

B、大漠孤煙直,是隨機事件，不符合題意;

C、手可摘星辰,是不可能事件，不符合題意;

D、黃河入海流,是必然事件，符合題意;

故選：D.

【點評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條件下，一定發生

的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件,不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，

可能發生也可能不發生的事件.

10.（2024?港南區四模）下列成語所描述的事件屬于不可能事件的是（）

A.守株待兔B.水中撈月C.水滴石穿D.百發百中

【考點】隨機事件.

【專題】概率及其應用；應用意識.

【答案】B

【分析】根據事件發生的可能性大小判斷.

【解答】解：A、守株待兔，是隨機事件，故本選項不符合題意；

2、水中撈月，是不可能事件，故本選項符合題意；

C、水滴石穿是必然事件，故本選項不符合題意；

。、百發百中，是隨機事件，故本選項不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，必然事件指在一定條件下，一定發生

的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件,不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，

可能發生也可能不發生的事件.

二.填空題（共5小題）

11.（2024春?句容市期中）一影院正在放映《熱辣滾燙》，某人在售票窗口購票一張，該票座位號碼是奇

數屬于隨機事件.

【考點】隨機事件；有理數.

【專題】概率及其應用；推理能力.

【答案】隨機.

【分析】根據隨機事件的定義解答即可.

【解答】解：根據題意，座位號碼是奇數屬于隨機事件，

故答案為：隨機.

【點評】本題考查了隨機事件，有理數，熟知隨機事件是在一定條件下可能發生，也可能不發生的事件；

必然事件是在一定條件下，不可能發生的事件；不可能事件是在一定條件下一定不發生的事件是解題的

關鍵.

12.（2024春?句容市期中）為了解該微信二維碼中間帶微信圖標小正方形區域的面積，某小組同學做了拋

擲點的實驗，實驗數據如下:

在正方1002003004006008009001000

形內投

擲的點

數n

落入小915273450667685

正方形

區域的

頻數m

落入小0.0900.0750.0900.0850.0830.08250.0840.085

正方形

區域的

頻率一

n

試估計“點落入圓形區域內”的概率0.08（精確到0.01）.

【考點】利用頻率估計概率；正方形的性質.

【專題】概率及其應用；推理能力.

【答案】0.08.

【分析】大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據

這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率.

【解答】解：觀察表格發現：隨著實驗次數的增多，”點落入圓形區域內”的頻率逐漸穩定到0.08附近，

所以估計“點落入圓形區域內”的概率為0.08,

故答案為:0.08.

【點評】本題考查了利用頻率估計概率，熟知當實驗的所有可能結果不是有限個或結果個數很多，或各

種可能結果發生的可能性不相等時，一般通過統計頻率來估計概率是解題的關鍵.

13.（2024?沙坪壩區自主招生）為弘揚紅巖精神，麋續紅色血脈，沙坪壩區開展“小小紅巖講解員”風采

展示活動.兩同學從宋振中、陳然和江竹筠三位烈士中隨機選擇一位烈士的故事進行講解，則他們恰好

選擇同一位烈士的概率是~.

【考點】列表法與樹狀圖法.

【專題】概率及其應用；運算能力.

【答案

【分析】由題意畫樹狀圖，然后求概率即可.

【解答】解：記宋振中、陳然和江竹筠分別為A、B、C,

由題意畫樹狀圖如下；

共有9種等可能的結果，其中他們恰好選擇同一位烈士共有3種等可能的結果，

，他們恰好選擇同一位烈士的概率為2=

93

1

故答案為：--

【點評】本題考查了列舉法求概率.正確的畫樹狀圖是解題的關鍵.

14.（2023秋?嘉興期末）一個不透明的箱子里有3個球，其中2個白球，1個紅球，它們除了顏色外其他

都相同，從中任意摸出一個球，記下顏色后放回，攪勻，再摸出一個球，則摸出的兩個球恰好顏色不同

4

的概率為-.

【考點】列表法與樹狀圖法.

【專題】概率及其應用；運算能力；推理能力；應用意識.

4

【答案】--

【分析】根據題意先畫出樹狀圖，求出總情況數，再根據概率公式即可得出答案.

【解答】解：畫樹狀圖如下:

共有9種等可能結果，其中兩次摸出的球恰好顏色不相同的為4種,

所以摸出的兩個球恰好顏色不同的概率=*

4

故答案為：--

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題

是放回實驗還是不放回實驗.解題的關鍵是掌握概率公式：概率=所求情況數與總情況數之比.

15.（2024?濰坊）小瑩在做手抄報時，用到了紅色、黃色、藍色三支彩筆，這三支彩筆的筆帽和筆芯顏色

分別一致.完成手抄報后，她隨機地將三個筆帽分別蓋在三支彩筆上，每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配

1

的概率是一-

-3~

【考點】列表法與樹狀圖法.

【專題】統計的應用；數據分析觀念.

1

【答案】--

【分析】列出所有可能出現的結果，再找出每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的結果，利用概率公式計算

即可求解.

【解答】解：由題意可得，共有6種結果：紅紅，黃黃，藍藍；紅紅，藍黃，黃藍；黃紅，紅黃，藍藍；

黃紅，藍黃，紅藍；藍紅，紅黃，黃藍；藍紅，黃黃，紅藍；

其中每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的有2種結果，

，每個筆帽和筆芯的顏色都不匹配的概率是2=

63

,,心—,1

故答案為：

【點評】本題考查了列舉法與樹狀圖法，正確列出所有可能出現的結果是解題的關鍵.

三.解答題（共5小題）

16.（2024?吉州區模擬）吉安高鐵站開通后，旅客在網購車票時，系統是隨機分配座位的，王某和李某打

算購買從吉安西到南昌西的高鐵車票（如圖所示，一排中的座位編號為A,B,C,D,尸）.假設系統已

將兩人的位置分配到同一排后，在同一排分配各個座位的機會是均等的.

（1）“系統分給這兩個人A,G座位”是不可能（填“必然”或“不可能”或“隨機”）事件；

（2）利用畫樹狀圖或列表格，求系統分配給王某和李某相鄰座位（過道兩側座位C,。不算相鄰）的

概率.

取消選擇一個座位確認

ABC過道D

【考點】列表法與樹狀圖法；隨機事件；概率公式.

【專題】統計的應用；概率及其應用；數據分析觀念.

【答案】(1)不可能；

3

(2)系統分配給王某和李某相鄰座位(過道兩側座位C,。不算相鄰)的概率是一.

10

【分析】(1)一排中的座位編號為A,B,C,D,F,不存在編號為G的座位，即可得到“系統分給這

兩個人A,G座位”是不可能事件；

(2)列出表格，得到系統分配給王某和李某相鄰座位共有20種等可能的情況，其中相鄰座位共有6

種等可能情況，根據概率公式計算即可得到答案.

【解答】解：(1).??一排中的座位編號為A,B,C,D,F,不存在編號為G的座位，

”系統分給這兩個人A,G座位”是不可能事件，

故答案為：不可能；

z/V

BCDFACDFABDFABCFABCD

由樹狀圖可知，共有20種等情況數，其中相鄰座位的情況數有6種，

則系統分配給王某和李某相鄰座位(過道兩側座位C,。不算相鄰)的概率是9=三.

2010

【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法，隨機事件，概率公式，熟練掌握樹狀圖或列表法求概率是解題

的關鍵.

17.(2023秋?交城縣期末)某校為了提高課后延時服務的質量，自主研發了書法(A),閱讀(B),足球

(C),器樂(D)四門選修課程供學生選擇，每門課程被選到的機會均等.

(1)學生小李計劃選修兩門課程，他所有可能的選法共有6種;

(2)若學生小李和小杜各計劃選修一門課程，求他們兩人恰好選到同一門課程的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法.

【專題】概率及其應用；運算能力.

【答案】⑴6；

【分析】（1）利用直接列舉得到所有的情況即可得出答案；

（2）列表得出所有等可能的結果數，再從中找到符合條件的結果數，然后再用概率公式求解即可.

【解答】解：（1）學生小李計劃選修兩門課程，他所有可能的選法有：AB.AC、AD,BC、BD、CD,

共6種，

故答案為：6；

（2）根據題意列表如下：

小杜ABcD

小李

A(A,A)(B,A)(C,A)(D,A)

B(A,B)(B,B)(C,B)(D,B)

C(A,C)(B,C)(C,C)CD,C)

D(A,D)(3,O)(C,D)(Q,D)

由列表可知：共有16種情況，并且它們出現的機會均等，其中恰好選到同一門課程的情況有4種：（A,

A）,（B,B）,（C,C）,（。，￡））,

：.P（恰好選到同一門課程）=條=/.

【點評】本題主要考查的是用列表法或樹狀圖法求概率,列表法可以重復不遺漏的列出所有可能的結果,

適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，用到的知識點為：概率等于所求情

況數與總情況數之比.

18.（2024春?芮城縣期末）為迎接2024年“五?一”國際勞動節，某市總工會組織了以“中國夢，勞動美”

為主題的演講比賽.某校兩位語文老師小張和小李都想參加比賽，但每校只有一個參賽名額.該校工會

主席準備了如圖所示的寫有“社會主義核心價值觀”的12張卡片，這些卡片的背面完全相同，將這些

卡片背面朝上洗勻，隨機從中摸出一張卡片，若摸到的卡片屬于國家層面，則小張去；若摸到的卡片屬

于社會層面，則小李去.請你判斷該校工會主席的做法對小張和小李是否公平，并說明理由.

，,一，民文和自平

強主明諧由等

公法愛敬誠友

正治國業信善

【考點】概率公式.

【專題】概率及其應用；數據分析觀念.

【答案】該校工會主席的做法對小張和小李公平，見解析.

【分析】根據題意分別求出摸到的卡片屬于國家層面的概率和摸到的卡片屬于社會層面的概率，然后比

較求解即可.

【解答】解：該校工會主席的做法對小張和小李公平.

理由：從寫有“社會主義核心價值觀”的12張卡片中隨機摸出一張卡片，共有12種結果，每種結果出

現的可能性相同，

其中出現國家層面的結果有4種，分別是“富強”、“民主”、“文明”、“和諧”，

出現社會層面的結果有4種，分別是“自由”、“平等”、“公正”、“法治”，

.p_1p_1

'?r（小張君-12-3*1y小李玲-12-3,

??P＜小張去）=P（小李去），

該校工會主席的做法對小張和小李公平.

【點評】此題主要考查了概率公式，解答本題的關鍵是熟練掌握概率的求法.

19.（2024?東海縣一模）如圖是一個可以自由轉動的轉盤，被等分成3個扇形，每個扇形上分別標有相應

的數字1,2,3.小華轉動轉盤，當轉盤停止轉動后記下所指扇形區域內的數字，再次轉動轉盤，當轉

盤停止轉運后記下指針所指扇形區域內的數字（如果指針恰好指在分割線上，那么重新轉一次，直到指

針指向一個區域為止）.

（1）指針指向扇形區域內的數字小于3是隨機事件;（填“必然”“隨機”或“不可能”）

（2）請利用畫樹狀圖或列表的方法求兩次記錄數字之和小于5的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法；隨機事件.

【專題】概率及其應用；運算能力.

【答案】(1)隨機.

2

(2)

3

【分析】(1)根據隨機事件的定義可得答案.

(2)列表可得出所有等可能的結果數以及兩次記錄數字之和小于5的結果數，再利用概率公式可得出

答案.

【解答】解：(1)由題意得，指針指向扇形區域內的數字小于3是隨機事件.

故答案為：隨機.

(2)列表如下:

123

1(1,1)(1,2)(1,3)

2(2,1)(2,2)(2,3)

3(3,1)(3,2)(3,3)

共有9種等可能的結果，其中兩次記錄數字之和小于5的結果有：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),

(2,2),(3,1),共6種，

62

兩次記錄數字之和小于5的概率為-=

93

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、隨機事件，熟練掌握列表法與樹狀圖法、隨機事件的定義是解答

本題的關鍵.

20.(2024?鄲都區模擬)2021年，“碳中和、碳達峰”成為高頻熱詞.為了解學生對“碳中和、碳達峰”

知識的知曉情況，某校團委隨機對該校部分學生進行了問卷調查，調查結果共分成四個類別：A表示“從

未聽說過”，B表示“不太了解”，C表示“比較了解”，。表示“非常了解”.根據調查統計結果，繪制

成兩種不完整的統計圖.請結合統計圖，回答下列問題.

(1)參加這次調查的學生總人數為40人;

(2)扇形統計圖中，8部分扇形所對應的圓心角度數是108。；

(3)將條形統計圖補充完整；

(4)現需從。類的4名學生中隨機抽取2名作為“碳中和、碳達峰”知識的義務宣講員，這四人中，

1名來自七年級，1名來自八年級，2名來自九年級，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽到的2名學生

來自不同年級的概率.

【專題】數據的收集與整理;概率及其應用；運算能力.

【答案】(1)40.

(2)108°.

(3)見解答.

5

(4)

6

【分析】(1)用A類別的人數除以其所占的百分比可得參加這次調查的學生總人數.

(2)用360。乘以本次調查中B類別的人數所占的百分比，即可得出答案.

(3)求出C類別的人數，補全條形統計圖即可.

(4)畫樹狀圖得出所有等可能的結果數以及抽到的2名學生來自不同年級的結果數，再利用概率公式

可得出答案.

【解答】解：(1)參加這次調查的學生總人數為6?15%=40(人).

故答案為：40.

(2)扇形統計圖中，8部分扇形所對應的圓心角度數是360°X含=108°.

故答案為：108°.

(3)C類別的人數為40-6-12-4=18(人).

補全條形統計圖如圖所示.

(4)將1名來自七年級的學生記為A,1名來自八年級的學生記為3,2名來自九年級的學生分別記為

C,D,

畫樹狀圖如下:

開始

共有12種等可能的結果，其中抽到的2名學生來自不同年級的結果有：AB,AC,AD,BA,BC,BD,

CA,CB,DA,DB,共10種，

105

抽到的2名學生來自不同年級的概率為一=

126

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、條形統計圖、扇形統計圖，能夠理解條形統計圖和扇形統計圖,

熟練掌握列表法與樹狀圖法是解答本題的關鍵.

考點卡片

1.有理數

有理數的概念：整數和分數統稱為有理數.

有理數的分類:

(正整數

①按整數、分數的關系分類：有理數《

②按正數、負數與0的關系分類：有理數V

注意：如果一個數是小數，它是否屬于有理數，就看它是否能化成分數的形式，所有的有限小數和無限循

環小數都可以化成分數的形式，因而屬于有理數，而無限不循環小數，不能化成分數形式，因而不屬于有

理數.

2.正方形的性質

(1)正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.

(2)正方形的性質

①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；

②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；

③正方形具有四邊形、平