專題14集合，復數，邏輯語言專題（數學文化）

一、單選題

1.（2022?高一課時練習）數系的擴張過程以自然數為基礎，德國數學家克羅內克（KraieMer,1823-1891）

說“上帝創造了整數，其它一切都是人造的”設為虛數單位，復數Z滿足2=產2°（1+萬），則Z的共軌復數是

()

A.2+zB.2-zC.l-2zD.l+2z

2.（2022秋?浙江溫州?高一樂清市知臨中學?？计谥校┠硣臻_展了大規模COVTO-19核酸檢測，并將數

據整理如圖所示，其中集合S表示（）

3.（2021秋?湖北十堰?高一校聯考期中）必修一課本有一段話：當命題“若〃，則牙’為真命題，貝廣由〃可以

推出/’，即一旦。成立，q就成立，p是q成立的充分條件.也可以這樣說，若q不成立，那么？一定不成立，

q對〃成立也是很必要的.王安石在《游褒禪山記》中也說過一段話：“世之奇偉、瑰怪，非常之觀，常在于

險遠，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.從數學邏輯角度分析，“有志”是“能至”的（）

A.充分條件B.必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2022秋?云南曲靖.高一?？计谥校┒鸥υ凇斗钯涰f左丞丈二十二韻》中有詩句：“讀書破萬卷，下筆如

有神.”對此詩句的理解是讀書只有讀透書，博覽群書，這樣落實到筆下，運用起來才有可能得心應手，如有

神助一般，由此可得，“讀書破萬卷”是“下筆如有神”的（）

A.充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

5.（2020?陜西榆林?統考一模）在復平面內，復數z=a+灰（。，beR）對應向量無（。為坐標原點），

設|應卜廠，以射線3為始邊，OZ為終邊旋轉的角為6,貝ljz=r（cose+，sine）,法國數學家棣莫弗發現了

棣莫弗定理：Zi=/；(cos6>+zsin6"),z2=(cosft+z'sin6^),則々z?=皿［cos(4+“)+isin(a+幻］,由棣

莫弗定理可以導出復數乘方公式：［r（cos6）+isinO）J'=/'（cos“0+isin,7。），已知z=（百+0,則口=（）

A.273B.4C.8A/3D.16

6.（2021春?重慶沙坪壩?高三重慶一中?？茧A段練習）在代數史上，代數基本定理是數學中最重要的定理之

一，它說的是：任何一元〃次復系數多項式f（x）在復數集中有〃個復數根（重根按重數計）那么/（力=丁-1

在復平面內使，（力=。除了1和-g+這兩個根外，還有一個復數根為（）

7.（2021春?安徽宣城?高一校聯考期中）瑞士著名數學家歐拉發現了公式=cosx+isinx3為虛數單位），

它將指數函數的定義域擴大到復數集，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里占有非常重

要的地位.根據歐拉公式可知，e苧表示的復數在復平面內對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.（2022?全國?高三專題練習）“虛數”這個名詞是17世紀著名數學家、哲學家笛卡爾（ReaeDescMes）創制

的，直到19世紀虛數才真正聞人數的領域，虛數不能像實數一樣比較大小.已知復數z,|z|=l且z.（l+i）＞0

（其中，是虛數單位），則復數z=（）

A.72-V2iB.V2+72i

「正近.V2V2.

C.--------1nD.----1----1

2222

9.（2022?全國?高三專題練習）2022年1月，中科大潘建偉團隊和南科大范靖云團隊發表學術報告，分別獨

立通過實驗，驗證了虛數i在量子力學中的必要性，再次說明了虛數i的重要性.對于方程d+1=0,它的

兩個虛數根分別為（）

A1±后R-1±V3i

22

C±1+后D±1-后

'-2-'-2-

10.（2022?全國?高三專題練習）人們對數學研究的發展一直推動著數域的擴展，從正數到負數、從整數到

分數、從有理數到實數等等.16世紀意大利數學家卡爾丹和邦貝利在解方程時，首先引進了i2=-l，17世

紀法因數學家笛卡兒把i稱為“虛數”，用“+歷（。、6eR）表示復數，并在直角坐標系上建立了“復平面”.若

復數z滿足方程Z2+2Z+5=0,則2=（）

A.-l+2iB.-2-iC.-l±2iD.-2±i

11.（2022?高一單元測試）中國古代重要的數學著作《孫子算經》下卷有題：今有物，不知其數?三三數之,

剩二；五五數之，剩三；七七數之，剩二響：物幾何？現有如下表示：已知A=kk=3"+2,"eN*},

B=\x\x=5n+3,n&N*],C={耳元=7〃+2,”eN*},若xeAcBcC,則下列選項中符合題意的整數x為

A.8B.127C.37D.23

12.（2022秋?浙江溫州?高一?？茧A段練習）在數學漫長的發展過程中，數學家發現在數學中存在著神秘的“黑

洞”現象.數學黑洞：無論怎樣設值，在規定的處理法則下，最終都將得到固定的一個值，再也跳不出去，

就像宇宙中的黑洞一樣.目前已經發現的數字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡爾黑洞”、“自戀性數字黑洞”等.定

義：若一個"位正整數的所有數位上數字的〃次方和等于這個數本身，則稱這個數是自戀數.已知所有一

位正整數的自戀數組成集合4集合3={x|-3<x<4,xeZ},則AcB的子集個數為（）

A.3B.4C.7D.8

13.（2019?江西?高三校聯考階段練習）我國南北朝數學家何承天發明的“調日法”是程序化尋求精確分數來表

示數值的算法，其理論依據是：設實數x的不足近似值和過剩近似值分別為由和《（a，》，c，deN.）,則@W

aca+c

是犬的更為精確的不足近似值或過剩近似值.我們知道e=2.71828…，若令2松7<e<《14，則第一次用“調日法”

412741

后得段是e的更為精確的過剩近似值，即木<e<]，若每次都取最簡分數，那么第三次用“調日法”后可

得e的近似分數為

■109「68〃19-87

A.B.—C.—D.—

4025732

14.（2022?上海?高一專題練習）古希臘科學家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿原理，

它是使用天平秤物品的理論基礎，當天平平衡時，左臂長與左盤物品質量的乘積等于右臀長與右盤物品質

量的乘積，某金店用一桿不準確的天平（兩邊臂不等長）稱黃金，某顧客要購買10g黃金，售貨員先將5g的

祛碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將5g的祛碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使

之平衡后又給顧客，則顧客實際所得黃金（）

A.大于10gB.小于10gC.大于等于10gD.小于等于10g

15.（2022.高一課時練習）三國時期趙爽在《勾股方圓圖注》中，對勾股定理的證明可用現代數學表述為如

圖所示，我們教材中利用該圖作為幾何解釋的是（）

A.如果a>6,6>c,那么a>c

B.如果a>b>Q,那么°2>匕2

C.如果。>6,c>0,那么ac>6c

D.對任意實數a和b,有/+6222成>,當且僅當a=匕時，等號成立

16.（2022秋?北京豐臺?高一統考期末）《幾何原本》卷II的幾何代數法成了后世西方數學家處理數學問題的

重要依據.通過這一原理，很多代數的定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之為無字證明現有如圖所示圖形，

點尸在半圓。上，點C在直徑AB上，MOFLAB,設AC=a,BC=b,可以直接通過比較線段與線段

CT的長度完成的無字證明為（）

A.a2+b2>2ab(cz>0,b>0)B."+>y[ab(〃>0,。〉0)

2

cD.-2^a—b<y[ab(a>0,b>0)

『尸…"a+b

17.（2022?全國?高三專題練習）18世紀末,挪威測量學家維塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復數，使

復數及其運算具有了幾何意義，例如|z|=|OZ|,也即復數Z的模的幾何意義為Z對應的點Z到原點的距離.已

知復數z滿足目=2,則|z-3-4i|的最大值為（）

A.3B.5C.7D.9

18.（2022?全國?高三專題練習）數學家歐拉發現了復指數函數和三角函數的關系，并給出以下公式

b=cos尤+isinx,（其中i是虛數單位，e是自然對數的底數，xeR）,這個公式在復變論中有非常重要的

地位，被稱為“數學中的天橋”，根據此公式，有下列四個結論，其中正確的是（）

（吏J2V022

A.e111—1=0B.2cosx=eLl+eL'C.2sinx=e1Y—euD.------1-----i=-1

22

19.（2020?天津?南開中學校考模擬預測）由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀，直到1872年，德國

數學家戴金德提出了“戴金德分割”才結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機.所謂戴金德分割，是

指將有理數集Q劃分為兩個非空的子集/與N,且滿足MuN=Q,McN=0,M中的每一個元素都

小于N中的每一個元素，則稱（M,N）為戴金德分割.試判斷，對于任一戴金德分割下列選項中一

定不成立的是（）

A.沒有最大元素，N有一個最小元素

B.又沒有最大元素，N也沒有最小元素

C.A/有一個最大元素，N有一個最小元素

D.M有一個最大元素，N沒有最小元素

20.（2021春.安徽.高三校聯考階段練習）不定方程的整數解問題是數論中一個古老的分支，其內容極為豐

富，西方最早研究不定方程的人是希臘數學家丟番圖.請研究下面一道不定方程整數解的問題：已知

x2O2O+y2^2y,（xeZ,yeZ）則該方程的整數解有（）組.

A.1B.2C.3D.4

21.（2022秋?四川成都?高一成都七中?？计谥校τ谥苯侨切蔚难芯?，中國早在商朝時期，就有商高提

出了“勾三股四弦五”這樣的勾股定理特例，而西方直到公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯才提出并證明了

勾股定理.如果一個直角三角形的斜邊長等于5,則這個直角三角形周長的最大值等于（）.

Ll25

A.10A/2B.10C.5+50D.—

22.（2017?湖北?校聯考一模）我國古代太極圖是一種優美的對稱圖.如果一個函數的圖像能夠將圓的面積和

周長分成兩個相等的部分，我們稱這樣的函數為圓的“太極函數”.下列命題中情保命題的個數是

A:對于任意一個圓其對應的太極函數不唯一；

P2:如果一個函數是兩個圓的太極函數，那么這兩個圓為同心圓；

Pj:圓（%-l）2+（y-l）2=4的一個太極函數為/（x）=/一3一+3x；

心：圓的太極函數均是中心對稱圖形；

心：奇函數都是太極函數；

《：偶函數不可能是太極函數.

A.2B.3C.4D.5

二、多選題

23.（2021春?廣東梅州?高二統考期末）歐拉公式*=cos尤+isinx（其中i為虛數單位，龍eR）是由瑞士

著名數學家歐拉創立的，該公式將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數與指數函數的關聯，在

復變函數論里而占有非常重要的地位，被譽為數學中的天橋，依據歐拉公式，下列選項正確的是（）

A.復數3對應的點位于第一象限B./為純虛數

C.復數*-的模長等于;D.啟的共朝復數為L-Yli

V3+i2e22

24.（2022春?廣東梅州?高一統考期末）歐拉公式e&=cosx+isinx（本題中e為自然對數的底數，i為虛數單

位）是由瑞士若名數學家歐拉創立，該公式建立了三角函數與指數函數的關系，在復變函數論中占有非常

重要的地位，被譽為“數學中的天橋”，依據歐拉公式，則下列結論中正確的是（）

A.e加+1=0

B.復數e"在復平面內對應的點位于第二象限

C.復數守的共軌復數為正一Li

e22

D.復數e@（JeR）在復平面內對應的點的軌跡是圓

25.（2022?高一課時練習）群論是代數學的分支學科，在抽象代數中具有重要地位，且群論的研究方法也對

抽象代數的其他分支有重要影響，例如一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識證明.群的概念

則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設G是一個非空集合，“?”是G上的一個代數運算，即對所有

的a、bQG,有a-t>WG,如果G的運算還滿足：①V。、b、ceG,有-c=a-（〃c）；②mewG,使得

VaeG,有e-a=a-e=a,③X/aeG,Bb&G,Ua-b=b-a=e,則稱G關于“?"構成一個群.則下列說法正確

的有（）

A.G={-1,0,1}關于數的乘法構成群

B.G={X|X=Y,左GZ,k^0}^J[x\x=m,相9}關于數的乘法構成群

k

C.實數集關于數的加法構成群

D.G={〃z+犯〃eZ}關于數的加法構成群

26.（2020秋?江蘇鹽城?高二江蘇省東臺中學校考期中）《九章算術》中“勾股容方”問題：“今有勾五步，股

十二步，問勾中容方幾何？”魏晉時期數學家劉徽在其《九章算術注》中利用出入相補原理給出了這個問題

的一般解法：如圖1,用對角線將長和寬分別為6和4的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成

一個內接正方形（黃）和兩個小直角三角形（朱、青）.將三種顏色的圖形進行重組，得到如圖2所示的矩

形，該矩形長為。+》，寬為內接正方形的邊長/由劉徽構造的圖形可以得到許多重要的結論，如圖3.設。

為斜邊的中點，作直角三角形ABC的內接正方形對角線AE,過點A作AF人5c于點F,則下列推理

正確的是（）

②由AENAF可得之竺

V22

22

la+b>2

③由ADNAE可得1——"T^T;

ab

④由AD2AF可得/+/22".

A.①B.②C.③D.@

27.（2022秋.黑龍江佳木斯?高一樺南縣第一中學校考期中）《幾何原本》卷II的幾何代數法（以幾何方法研

究代數問題）成了后世西方數學家處理問題的重要依據.通過這一原理，很多代數的公理或定理都能夠通過

圖形實現證明，也稱為無字證明.現有如圖所示圖形，點。在半圓。上，點C在直徑A3上，且設

AC=a,CB=b,CE1OD,垂足為E,則該圖形可以完成的無字證明為（）

22

A,而辿Ba+b<a+b

a+b，一廠

C.”D.a2+b2>2y[ab

28.（2022秋.遼寧大連.高一大連八中?？茧A段練習）古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度

與肚臍至足底的長度之比是叵［（避二1。0,618,稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.

22

此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是好二1.若某人滿足上述兩個黃金分割比

2

例，且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是（）

A.168cmB.172cmC.176cmD.180cm

29.（2021秋?全國?高一期末）早在西元前6世紀，畢達哥拉斯學派已經知道算術中項，幾何中項以及調和

中項，畢達哥拉斯學派哲學家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，其中算術中項，幾何中項的定

義與今天大致相同.而今我們稱三為正數的算術平均數，點為正數的幾何平均數，并把這兩者

結合的不等式，石4學（〃>0力>0）叫做基本不等式.下列與基本不等式有關的命題中正確的是（）

A.若ab=4,則

B.若a>0,b>0,則（a+2b）］：+［最小值為4&

C.若a,6e（0,+co）,2a+b=1,——\-->A

D.若實數a/滿足a>0,b>0,a+6=4,則上+工的最小值是《

a+1b+13

30.（2022秋?遼寧大連?高一統考期末）十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”

作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用和“〉”符號，不等號的引入對不等式的發展影響深

遠.若a,b,ceR,則下列命題正確的是（）

A.若"工0且a<b,則B.若a>b,0<c<l,則c"<J

ab

C.若a>b>l,c>l,則log°c<log/D.若a<b<-l,c>0,則仕］>佟］

三、填空題

31.（2022?全國?高三專題練習）中國古代數學著作《九章算術》中記載了平方差公式，平方差公式是指兩

個數的和與這兩個數差的積，等于這兩個數的平方差.若復數a=5+3i,6=4+3i（i為虛數單位），貝1］/一從=

32.（2022.全國?高三專題練習在《清平樂?六盤山》中的兩句詩為“不到長城非好漢，屈指行

程二萬”，假設詩句的前一句為真命題，貝『‘到長城”是“好漢”的條件（填“充分不必要”“必要不充

分”“充要”“既不充分也不必要”）

33.（2022.高一課時練習）中國古代數學專著《孫子算經》中有一問題“今有三女，長女五日一歸，中女四

日一歸，少女三日一歸，問：三女幾何日相會？”，則此三女前三次相會經過的天數組成的集合用列舉法可

表示為,此三女相會經過的天數組成的集合用描述法可表示為.

34.（2022秋.江蘇揚州?高一校考階段練習）《幾何原本》中的幾何代數法是指以幾何方法研究代數問題，這

種方法是后世西方數學家處理問題的重要依據，通過這一原理，很多代數公理或定理都能夠通過圖形實現

證明，也稱之為無字證明.現有圖形如圖所示，C為線段上的點，S.AC=a,BC=b,。為48的中點，

以A3為直徑作半圓.過點C作A8的垂線交半圓于O,連接OD,AD,BD,過點C作。D的垂線，垂足

為E,過點。作0。的垂線0G,使得OG=OC.該圖形完成〈/石〈巴史＜J工±C的無字證明.圖

a+b2\2

中線段的長度表示。，6的調和平均數當，線段______________的長度表示。，〃的平方平均

a+b

數戶a

35.（2022秋?浙江溫州?高三溫州中學校聯考期末）我國古代數學著作《田畝比類乘除捷法》中有這樣一個

問題：“給銀八百六十四兩，只云所得銀之兩數比總分人數，其銀多十二兩.問總是幾人，每人各得幾兩”，

其意思是：“現一共有銀子八百六十四兩，只知道每個人分到的銀子數目的兩倍比總人數多十二，則一共有

人,每個人分得兩銀子”.

36.（2023?全國?高三專題練習）著名數學家棣莫佛（Oe根山vre,1667~1754）出生于法國香檳，他在概率論

和三角學方面，發表了許多重要論文.1707年棣莫佛提出了公式：卜（cos。+isin。）］"=rn（cosnd+isinnO'）,

--|4

其中廠＞0,.已知r（cos—+isin—）=-16,根據這個公式可知尸=.

44

37.（2022秋.遼寧沈陽.高一沈陽市第八十三中學校考階段練習）我國南北朝數學家何承天發明的“調日法”

b

是程序化尋求精確分數來表示數值的算法，其理論依據是：設實數X的