第二章控制系統數學模型一、數學模型的基本概念1、數學模型數學模型是描述系統輸入、輸出量以及內部各變量之間關系的數學表達式，它揭示了系統結構及其參數與其性能之間的內在關系。

靜態數學模型：靜態條件（變量各階導數為零）下描述變量之間關系的代數方程。

動態數學模型：描述變量各階導數之間關系的微分方程。

12、建立數學模型的方法

解析法依據系統及元件各變量之間所遵循的物理或化學規律列寫出相應的數學關系式，建立模型。人為地對系統施加某種測試信號，記錄其輸出響應，并用適當的數學模型進行逼近。這種方法也稱為系統辨識。數學模型應能反映系統內在的本質特征，同時應對模型的簡潔性和精確性進行折衷考慮。

實驗法23、數學模型的形式

時間域：微分方程（一階微分方程組）、差分方程、狀態方程

復數域：傳遞函數、結構圖

頻率域：頻率特性3動態系統數學模型有多種表達形式，可以是馬上討論的微分方程，也可以是狀態方程、傳遞函數模型。微分方程描述的系統模型，通過求解微分方程，可以得到系統隨時間變化的規律，比較直觀。但是當微分方程階次較高時，微分方程的求解變得十分困難，不易實現，而采用拉氏變換就能把問題的求解從原來的時域變換到幅頻域，把微分變成代數方程，而代數方程的求解通常是比較簡單的。二、拉普拉斯變換41、定義函數f(t)的拉普拉斯變換定義為：式中：s=

+j

（

，

均為實數）稱為拉普拉斯算子；F(s)稱為函數f(t)的拉普拉氏變換或象函數，它是一個復變函數；f(t)稱為F(s)的原函數；L為拉氏變換的符號。5f（0）極限值錯誤！6

4、實微分定理

11、初值定理

12、終值定理7表2-3常用函數的拉氏變換s-a8原函數（微分方程的解）象函數微分方程象函數的代數方程拉氏反變換拉氏變換解代數方程拉氏變換法求解線性微分方程的過程三、拉普拉斯反變換9由F(s)求f(t)常用部分分式法

如果f(t)的拉氏變換F(s)已分解成為下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)假定F1(s),F2(s),…，Fn(s)的拉氏反變換可以容易地求出，則：L-1[F(s)]=L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)]=f1(t)+f2(t)+…+fn(t)10在控制理論中，通常：將F(s)的分母多項式A(s)進行因式分解得A(s)=(s-s1)(s-s2)…(s-sn)式中，si(i=1,2,…,n)為A(s)=0的根。下面分兩種情況討論。111、

A(S)=0有n個不等根，此時F(s)可分解為：式中，Ci為待定系數

由拉氏變換表2-3查得的反變換為，然后相加得（2-16）待定系數ci可按下式求得,即（2-14）12例2-5

求的原函數f(t)

由式2-14計算，得所以

由式2-16，求得原函數

解：將F(s)分解為分式132、A(S)=0有重根設s1為r階重根，sr+1,sr+2,…,sn為單根，則F(s)可展成如下部分分式式中cr+1,cr+2,…,cn為單根部分的待定系數由式（2-14）計算。而重根部分的計算公式如下（2-17）14將諸待定系數求出后，帶入F(s)取反變換即求得原函數f(t)15例2-7求的原函數f(t)

根據式（2-17）可求得：c1=-0.75