第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年山東師大附中高三（上）期中數學模擬試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|log3x<2}，B={y|y=xA.(0,9) B.[9,+∞) C.{0}∪[9,+∞) D.[0,9)2.若“sinθ=?22”是“tanθ=1”的充分條件，則θ是A.第四象限角 B.第三象限角 C.第二象限角 D.第一象限角3.已知正數x，y滿足9x2?1+A.1 B.2 C.3 D.44.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P為△ABC內的一點，AP=xAB+yACA.若P為△ABC的重心，則2x+y=1

B.若P為△ABC的外心，則PB?BC=18

C.若P為△ABC的垂心，則x+y=716

D.若5.數列{an}滿足a1=1，an+1+an=2n+1，若數列{an+1A.6 B.7 C.8 D.96.已知f(x)=?x2+2|x|，若關于x的方程[f(x)]2+mf(x)+n=0(m,n∈R)A.m<?1 B.m≤0

C.m<?1或m>0 D.m=0或m<?17.設a=ln54,b=sin14,c=0.2，則aA.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a8.f(x)是定義在[a,b]上的函數，f′(x)為f(x)的導函數，若方程f(x)=f′(x)在[a,b]上至少有3個不同的解，則稱f(x)為[a,b]上的“波浪函數”.已知定義在[?4,3]上的函數f(x)=x3+2x2A.?565?m<?7 B.?565?m<?4二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數f(x)=?2x+1,x>m?x2A.當m=0時，函數最大值為1

B.當m=1時，函數最大值為0

C.若f(x)存在最大值，則m≥12

D.?m∈R，f(x)在10.已知函數f(x)=|sin2x|+cos4x，則(

)A.f(x)的最大值為54

B.f(x)的最小正周期為π2

C.曲線y=f(x)關于直線x=kπ4(k∈Z)軸對稱

D.當x∈[0,π]11.1843年，Hamilton在愛爾蘭發現四元數.當時他正研究擴展復數到更高的維次(復數可視為平面上的點).他不能做到三維空間的例子，但四維則造出四元數.根據哈密頓記述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家運河上散步時突然想到的方程解.之后哈密頓立刻將此方程刻在Broug?antBridge.對四元數u=a+bi+cj+dk，a，b，c，d∈R的單位i，j，k，其運算滿足：i2=j2=k2=?1，ij=k，jk=i，ki=j，ji=?k，kj=?i，ik=?j；記u?=a?bi?cj?dk，N(u)=uA.集合{1,i,j,k}的元素按乘法得到一個八元集合

B.若非零元u，v∈V，則有：u?1vu=v?1

C.若u，v∈V，則有：N(uv)=N(u)N(v)

D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.復數z滿足|z?5|=|z?1|=|z+i|，則|z|=______．13.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c(a≠b).已知c=2acosA，則sinB?sinA的最大值是______．14.已知函數y=f(x)的圖象關于y軸對稱，且對于y=f(x)(x∈R)，當x1，x2∈(?∞,0)時，f(x1)?f(x2)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知等差數列{an}公差為d，d≠0，且a2=7，a1=2，a4，a5成等比數列．

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)16.(本小題15分)

已知函數f(x)=cosx(23sinx+cosx)?sin2x．

(1)求函數f(x)的最小正周期和單調遞增區間；

(2)若把y=f(x)的圖像先向右平移π6個單位，再向上平移1個單位，得到y=g(x)的圖像，則當17.(本小題15分)

已知函數f(x)=x2+aln(x+1)，a∈R．

(1)若函數f(x)有兩個不同的極值點，求a的取值范圍；

(2)求函數g(x)=f(x)?(18.(本小題17分)

數列{bn}滿足b1+b22+b322+?+bn2n?1=n,{bn}的前n項和為Tn，等差數列{an}滿足a1=b1，a4=T3．

(1)求數列{19.(本小題17分)

設正整數n≥3，集合A={a|a=(x1,x2,???,xn)，xk∈R，k=1，2，???，n}，對于集合A中的任意元素a=(x1,x2,???xn)和b=(y1,y2,???yn)，及實數λ，定義：當且僅當xk=yk(k=1,2,???,n)時a=b；a+b=(x1+y1,x2+y2,???xn+yn)；λa=(λx1,λx2,???λxn).若A的子集B={a1,a2,a3}滿足：當且僅當λ參考答案1.C

2.B

3.A

4.B

5.C

6.D

7.B

8.D

9.BC

10.BC

11.ACD

12.313.214.(?15.解：(1)已知等差數列{an}公差為d，d≠0，且a1=2，a2=7，a4，a5成等比數列，

則a1+d=7(a1+3d)2=a1(a1+4d)，解得16.解：(1)因為f(x)=cosx(23sinx+cosx)?sin2x

=23sinxcosx+cos2x?sin2x=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，

所以函數f(x)的最小正周期為T=2π2=π．

令?π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ(k∈Z)，可得?π3+kπ≤x≤π6+kπ(k∈Z)，

17.解：(1)易知f(x)的定義域為(?1,+∞)，

可得f′(x)=2x+ax+1=2x2+2x+ax+1，

令f′(x)=0，可得2x2+2x+a=0，

因為函數f(x)有兩個不同的極值點，

所以2x2+2x+a=0有兩個大于?1的不等實根，

此時?22×2>?12×12+2×(?1)+a>0Δ=22?4×2a>0，

解得0<a<12，

則a的取值范圍為(0,12)；

(2)因為g(x)=f(x)?(a2+2)x=x2+aln(x+1)?(a2+2)x，

可得g′(x)=2x+ax+1?(a2+2)=(4x+4?a)(x?1)2(x+1)，

令g′(x)=0，

解得x=a4?1或x=1，

當a>8時，a4?1>1，

令g′(x)<0，

解得1<x<a4?1，

所以函數g(x)在(1,a4?1)上單調遞減；

當a=8時，a4?1=1，

令g′(x)<0，

解得x∈?，

所以函數g(x)無單調遞減區間；

當0<a<8時，?1<a4?1<1，

令18.解：(1)由題可知，當n=1時，b1=1；

當n≥2時，得b1+b22+b322+?+bn?12n?2=n?1，

因為b1+b22+b322+?+bn2n?1=n，

兩式相減得bn2n?1=1?bn=2n?1，

經檢驗，當n∈N”時，bn=2n?1，

顯然，{bn}是以1為首項，2為公比的等比數列，

所以Tn=1?2n1?2=2n?1，

所a1=b1=1，a4=T3=7，

等差數列{}an}的公差d=7?14?1=2，

所以an=2n?1．

(2)由(1)可知，Tm+1=2m，T2m+1=22m，

因為an=2n?1，所以an=2n?1為奇數；

故cm(m∈N?)為區間(Tm+1,T2m+1)的奇數個數，

顯然Tm+1=2m，T2m+1=22m為偶數，

所以cm=22m?2m2=4m2?2m?1，

所以Hm=4+42+?+4m2?(1+2+?+2m?2+2m?1)=12×4(1?4m)1?4?1?2m1?2=22m+13?2m+13．

(3)根據第一問可知Sn=n2，Tn=2n?1，

所以Sm+Tm+3Sm+Tm=m2+2m+3?1m2+219.解：(Ⅰ)由λ11,0,0+λ20,1,0+λ30,0,1=λ1,λ2,λ3，

顯然λ1,λ2,λ3=0,0,0只有唯一解，即λ1=λ2=λ3=0，

所以B1為A的完美子集；

同理，對于B2，λ11,