第六章圓

（考試時間：100分鐘試卷滿分：120分）

選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.如圖所示，X（2V2,0）,AB=3V2,以點A為圓心，長為半徑畫弧交x軸負半軸于點C,則點C的

坐標為（）

A.（3V2,0）B.（V2,0）C.（-V2,0）D.（一3企,0）

【答案】C

【分析】先求得OA的長，從而求出OC的長即可.

【詳解】解：???4（2夜,0）,

：.OA=2y[2,

,：AB=3V2,以點A為圓心，長為半徑畫弧交x軸負半軸于點C,

.'.AC—AB-3-/2,

OC=AC-OA=3近-=V2,

?.?點C為無軸負半軸上的點，

AC（-V2,0）,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了坐標與圖形的性質，勾股定理等知識，明確AB=AC是解題的關鍵.

2.【原創題】在同一平面內，已知。。的半徑為2,圓心。到直線/的距離為3,點P為圓上的一個動

點，則點P到直線/的最大距離是（）

A.2B.5C.6D.8

【答案】B

【分析】過點。作041I于點力，連接OP,判斷出當點P為4。的延長線與O。的交點時，點P到直線I的距

離最大，由此即可得.

【詳解】解：如圖，過點。作。4,2于點4,連接。P,

P

A

0A=3,OP=2,

???當點P為40的延長線與O。的交點時，點P到直線2的距離最大，最大距離為P4=3+2=5,

故選：B.

【點睛】本題考查了圓的性質，正確判斷出點P到直線I的距離最大時，點P的位置是解題關鍵.

3.如圖，四邊形48CD內接于。。，E為3C延長線上一點.若NDCE=65。，則NB。。的度數是（）

A.65°B.115°C.130°D.140°

【答案】C

【分析】根據鄰補角互補求出NDCB的度數，再根據圓內接四邊形對角互補求出N84D的度數，最后根據圓

周角定理即可求出NB0D的度數.

【詳解】解：=65。,

:.乙DCB=180°-乙DCE=180°-65°=115°,

:四邊形力BCD內接于。。，

C./.BAD+Z.DCB=180°,

."./.BAD=65°,

"BOD=2ABAD=2x65°=130°,

故選：C.

【點睛】本題考查了圓內接四邊形的性質、圓周角定理，熟練掌握這些定理和性質是解題的關鍵.

【新考法】數學與實際生活一一利用數學知識解決實際問題

4.陜西飲食文化源遠流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一.圖②是從正面看到的一個“老碗”(圖

①)的形狀示意圖.腦是。。的一部分，。是腦的中點，連接。D,與弦4B交于點C,連接040B.已知

AB=24cm,碗深CD=8cm,則O。的半徑04為()

圖①圖②

A.13cmB.16cmC.17cmD.26cm

【答案】A

【分析】首先利用垂徑定理的推論得出。。1AB,AC=BC==12cm,再設。。的半徑。4為Rem,

則。C=(R-8)cm.在CMC中根據勾股定理列出方程R2=12?+(R-8)2,求出R即可.

【詳解】解：；腦是。。的一部分，0是腦的中點，力8=24cm,

???ODLAB,AC=BC=-AB=12cm.

2

設O。的半徑04為Rem,則。C=OD—CD=(R—8)cm.

在Rt△CMC中，???Z.OCA=90°,

OA2=AC2+OC2,

；.R2=122+(R-8)2,

R=13,

即O。的半徑CM為13cm.

故選：A.

【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理的應用，設。。的半徑。力為Rem,列出關于R的方程是解題的關

鍵.

5.【創新題】如圖，4B是。。的直徑，弦CD104于點E,連結。C,。。.若O。的半徑為小，乙40。=

Na,則下列結論一定成立的是()

2

A.OE=m-tanaB.CD=2m-sinaC.AE=m-cosaD.SAC0D=m-sina

【答案】B

【分析】根據垂徑定理、銳角三角函數的定義進行判斷即可解答.

【詳解】解：是。。的直徑，弦CC04于點E,

：

.DE=2-CD

在Rt/EO。中,0D=m,Z.AOD=Zzr

,4DE

??tancr=—

OE

：?0E=/=嬴，故選項A錯誤,不符合題意;

又sina=—

0D

?'.DE=OD-sina

.9.CD=2DE=2m-sina,故選項8正確，符合題意;

又cosa=—

OD

OE=OD?cosa=m-cosa

9：A0=D0=m

.9.AE=AO—OE=m—m-cosa,故選項C錯誤，不符合題意；

*.*CD=2m-sina,OE=m-cosa

2

?'?SAC0D=^CDxOE=jx2m-sinaxm-cosa=msina-cosa,故選項。錯誤，不符合題意；

故選艮

【點睛】本題考查了垂徑定理，銳角三角函數的定義以及三角形面積公式的應用，解本題的關鍵是熟記垂

徑定理和銳角三角函數的定義.

6.已知的周長為Z,其內切圓的面積為仃2,則的面積為（）

11

A.-rlB.-TITIC.rlD.nrl

22

【答案】A

【分析】由題意可得S-0B=1力BxOE=[4Bxr,SAB0C=|fiCXr,S^A0C=IACXr,由面積關系可

求解.

【詳解】解：如圖，設內切圓。與△力BC相切于點。，點E,點F,連接。4,OB,OC,OE,OF,0D,

???AB切O。于E,

???0E1AB,0E=r,

S^AOB~3"8x0E—3ABxr,

同理：ShBOC=lBCXr,

S〉AOC~24cxr,

1111、

S=SAAOB+S^BOC+S^AOC=5aBXr+-BCXr+-ACXr=~(AB+BC+AC}Xr,

???l=AB+BC+AC,

■■■S—~lr,

2

故選A

【點睛】本題考查了三角形的內切圓與內心，掌握內切圓的性質是解題的關鍵.

7.【創新題】如圖，AABC的內切圓。/與BC,CA,4B分別相切于點。，E,F,若O/的半徑為r,5=

a,則(BF+CE-8C)的值和NFDE的大小分別為()

BDC

aa

A.2-，90°—ccB.0,90°—ccC-"，90°--D.0,900--

【答案】D

【分析】如圖,連接/凡/E.利用切線長定理，圓周角定理，切線的性質解決問題即可.

【詳解】解：如圖，連接/凡IE.

：AABC的內切圓。/與BC,CA,48分別相切于點D,E,F,

；.BF=BD,CD=CE,IFVAB,IELAC,

：.BF+CE—BC=BD+CD—BC=BC-BC=0,/.AFI=Z.AEI=90°,

:.乙E1F=180°-a,

."ED昨*E/F=90。-”

故選：D.

【點睛】本題考查三角形的內切圓與內心，圓周角定理，切線的性質等知識，解題的關鍵是掌握切線的性

質，屬于中考常考題型.

8.如圖，四邊形2BCD內接于O。，。。的半徑為3,=120。，則Af的長是（）

2

A.7TB.-7TC.27rD.47r

3

【答案】c

【分析】根據圓內接四邊形的性質得到NB=60。，由圓周角定理得到乙4。。=120。，根據弧長的公式即可

得到結論.

【詳解】解：?.?四邊形力BCD內接于。。，ND=120。，

乙B=60°,

???^AOC=2乙B=120°,

...我的長=幽三=2兀.

180

故選：C.

【點睛】本題考查的是弧長的計算，圓內接四邊形的性質和圓周角定理，掌握圓內接四邊形的對角互補是

解題的關鍵.

9.已知一個正多邊形的邊心距與邊長之比為亨，則這個正多邊形的邊數是（）

A.4B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】如圖，A為正多邊形的中心，BC為正多邊形的邊，AB,4C為正多邊形的半徑，力D為正多邊形的

邊心距，由蔡=苧可得券=百，可得乙8=60。，而4B=4C,可得AABC為等邊三角形，從而可得答

案.

【詳解】解：如圖，A為正多邊形的中心，BC為正多邊形的邊，AB,4C為正多邊形的半徑，4。為正多邊

形的邊心距,

=ADLBC,果=當

1

-BD=CD=-BC,

???taS，=?

:.乙B=60°,而4B=AC,

...△ABC為等邊三角形,

J.^BAC=60°,

多邊形的邊數為：—=6,

60

故選B

【點睛】本題考查的是正多邊形與圓，銳角三角函數的應用，熟練的利用數形結合的方法解題是關鍵.

10.【原創題】如圖，正六邊形4BCDEF的外接圓O。的半徑為2,過圓心。的兩條直線4、%的夾角為

60。，則圖中的陰影部分的面積為（）

A.-n-y/3C.—n—V3

【答案】C

【分析】如圖，連接力0,標注直線與圓的交點，由正六邊形的性質可得：A,0,。三點共線，△COD為等

邊三角形，證明扇形40Q與扇形COG重合，可得S陰影=S扇形co。-SACOD，從而可得答案.

【詳解】解：如圖，連接4。，標注直線與圓的交點，

由正六邊形的性質可得：A,0,。三點共線，AC。。為等邊三角形，

H

D

：.Z.AOQ=4DOH,4COD=乙GOH=60°,

J./.COG=乙DOH=N40Q,

扇形40Q與扇形COG重合,

?'?S陰影=S扇形COD-SACOD'

COD為等邊三角形，0C=0D=2,過。作。K1CD于K,

：.ACOD=60°,CK=DK=1,OK=V22-I2-V3,

'S陰影=S扇形COD一SAC。.喑Tx2xg=猙一后

故選C

【點睛】本題考查的是正多邊形與圓，扇形面積的計算，勾股定理的應用，熟記正六邊形的性質是解本題

的關鍵.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.如圖，在△力BC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,則△ABC的內切圓半徑r=.

【答案】1

【分析】本題考查了切線長定理，圓的切線的性質，正方形的判定與性質，熟練掌握切線長定理是解答本

題的關鍵，首先利用切線的性質證明四邊形OECF是正方形，得到CE=CF=r,再利用切線長定理得到

2E=3—r,BF=4—r,最后由4。+=48列方程即可求解.

【詳解】設△ABC的內切圓與4B、AC,BC分別相切于點。、E、F,

OE1AC,OF1BC,

zC=90°,

???四邊形OEC尸是矩形，

???CE=CF,

???四邊形OECF是正方形，

???CE=CF=OE=r,

???AE=3—r,BF=4—r,

AD=AE,BD=BF,

???AD=3—r,BD=4—r,

在Rt△ABC中，AB=y/AC2+BC2=停+在=5,

??,AD+BD=AB,

3—r+4—r=5,

解得r=1.

故答案為：1.

12.如圖，在RtAABC中，ZXCB=90°,zS=60°,BC=3,將△ABC繞點C逆時針旋轉至EDC的位

置，點B的對應點。首次落在斜邊48上，則點2的運動路徑的長為.

【答案】痘n

【分析】首先證明△BCD是等邊三角形，再根據弧長公式計算即可.

【詳解】解：在RtA/lBC中，'：^ACB=90°,ZB=60°,BC=3,

??AB—2BC—6,

由旋轉的性質得CE=CA=y/AB2-BC2=3百，^ACE=乙BCD=90°-^ACD,

CB=CD,

...△BCD是等邊三角形，

:.乙BCD=60°=^ACE,

點a的運動路徑的長為空萼=V37T.

故答案為：V37T.

【點睛】本題考查了旋轉變換，含30。直角三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，弧長公式等知識，

解題的關鍵是證明△BCD是等邊三角形.

13.圓錐的高為2魚，母線長為3,沿一條母線將其側面展開，展開圖（扇形）的圓心角是度，該

圓錐的側面積是（結果用含兀的式子表示）.

【答案】1203兀

【分析】根據勾股定理，先求出圓錐底面半徑，進而得出底面周長，即圓錐展開圖的弧長，根據圓錐母線

為圓錐的側面展開圖的半徑，結合扇形弧長公式和面積公式，即可求解.

【詳解】解：根據勾股定理可得：圓錐底面半徑=/32-（2夜）2=1,

該圓錐底面周長=2兀，

..?圓錐母線長為3,

...該圓錐的側面展開圖的半徑為3,

...吟=2兀，解得：n=I2。，

180

即展開圖（扇形）的圓心角是120度，

圓錐的側面積=|Zr=|x27rx3=3兀，

故答案為：120,3兀.

【點睛】本題主要考查了求圓錐地面半徑，扇形面積公式和弧長公式，解題的關鍵是掌握弧長/=黑，扇

180

形面積=,「=喏.

2360

14.如圖，2D是O。的直徑，△力是。。的內接三角形.若=AC=4,則。。的直徑

AD=.

C

【答案】4V2

【分析】連接CD,OC,根據在同圓中直徑所對的圓周角是90。可得N4CD=90。，根據圓周角定理可得

ZCOD=/.COA,根據圓心角，弦，弧之間的關系可得ac=CO,根據勾股定理即可求解.

【詳解】解：連接CD,0C,如圖：

C

'B

：4。是0。的直徑,

：.^ACD=90°,

"."2LDAC=4ABC,

:.乙COD=/.COA,

：.AC=CD,

又："=4,

CD=4,

在Rt△ACD中，AD=y/AC2+CD2=V42+42=4VL

故答案為：4A/2.

【點睛】本題考查了在同圓中直徑所對的圓周角是90。，圓周角定理，圓心角，弦，弧之間的關系，勾股

定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

【新考法】數學與實際生活一一利用數學知識解決實際問題

15.小明對《數書九章》中的“遙度圓城”問題進行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正南、正西和正

北四個門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一顆大樹，向樹的方向走9里到達城堡邊，再往前

走6里到達樹下.則該城堡的外圍直徑為_________里.

大樹大

烏西門1東門

【答案】9

【分析】由48切圓于。，8c切圓于C,連接。。，得到。。14B,OC1BC,BD=BC=9里，由勾股定

理求出AC=V482—BC2=",由tan4="=空，求出。。=4.5（里），即可得到答案.

ADAC

【詳解】解：如圖，O。表示圓形城堡，

A

CB

由題意知：4B切圓于切圓于C,連接。D,

：.0D1AB,OC1BC,BD=BC=9里，

'：AD=6里,

：.AB=4。+8。=15里，

：.AC=7AB2-BC2=12,

….ODBC

?tanA==,

ADAC

,OD_9

6-12，

：.0D=4.5（里）.

城堡的外圍直徑為2。。=9（里）.

故答案為：9.

【點睛】本題考查勾股定理，解直角三角形，切線的性質，切線長定理，關鍵是理解題意，得到tan4=

—,求出。。長即可.

ADAC

16.【創新題】如圖，在矩形2BCD中，AB=8,4D=10,點M為BC的中點，E是BM上的一點，連接

AE,作點B關于直線4E的對稱點"，連接。夕并延長交8C于點?當BF最大時，點夕到8c的距離

是______

【答案】

【分析】如圖，由題意可得：夕在04上，過夕作夕HL8c于H,由點2關于直線4E的對稱點用，可得

AB=AB',BE=B'E,^AEB=^AEB',^ABE=^AB'E,當DE與。4切于點B'時，BF最大,止匕時DF1

AB',證明E,F重合，可得ACME=N4EB=AD=DE=10,求解BE==4,證明△

EB'H-AEDC,可得器'=從而可得答案.

EDCD

【詳解】解：如圖，由題意可得：在上，過作?H1BC于H,

丁點&關于直線4E的對稱點夕，

：.AB=AB',BE=B'E,乙AEB=LAEB',乙ABE=LAB'E,

當DE與02切于點夕時，BF最大,此時DF14B、

；.UBE=^AB'F=90°,

：.E,F重合，

：./.AEB=/.AEB',

:矩形ABCD,

：.AD\\BC,Z.C=90°,AD=BC=10,AB=CD=8,

C.Z.DAE=/.AEB=Z.AEB',

：.AD=DE=10,

/.CE=V102-82=6,

：.BE=B'E=4,

?:B'H1BC,ZC=90°,

：.B'H\\CD,

：.AEB'HMEDC,

.EB'_B'H

??=9

EDCD

?4B'H

??—,

108

：.B'H=^,

點夕到BC的距離是冷.

故答案為：y.

【點睛】本題考查的是軸對稱的性質，矩形的性質，勾股定理的應用，相似三角形的判定與性質，圓的基

本性質，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.

三.解答題（共9小題，滿分72分，其中17、18、19題每題6分，20題、21題每題7分，22題8分，23

題9分，24題10分，25題13分）

17.如圖，4B是。。的弦，半徑。C14B,垂足為。，弦CE與4B交于點R連接ZE,AC,BC.

⑴求證：^BAC=NE；

（2）若4B=8,DC=2,CE=3V10,求CF的長.

【答案】（1）見解析

⑵第

【分析】（1）由垂徑定理，得AD=BD#?=此，由圓周角定理，得NB4C=NE；

（2）可證AACF=生；RtAAOC中，勾股定理求得4C='AD?+DC2=2?于是CF=

ECCA

2V10

3?

【詳解】（1）證明：。。是。0的半徑

：.AD=BD,熊=四（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧）

：.^BAC=ZF（同弧或等弧所對的圓周角相等）

（2）解：=XVZXCF=AECA

.-.△4CFsAECA（兩角分別相等的兩個三角形相似）

???9=烏（相似三角形對應邊成比例）

ECCA

9：AB=8

：.AD=BD=4

在Rt△4DC中NAOC=90°AD=4CD=2

：.AC=y/AD2+DC2=V42+22=2V5（勾股定理）

?

.?5CF=-2V-1-0?

3

【點睛】本題考查垂徑定理，相似三角形的判定和性質，圓周角定理；由相似三角形得到線段間的數量關

系是解題的關鍵.

18.如圖，半徑為6的。。與RdABC的邊相切于點A,交邊于點C,D,ZB=90°,連接

⑴若NAC8=20。，求？W的長(結果保留兀).

(2)求證：平分/8DO.

【答案】⑴等

(2)見解析

【分析】(1)連接。4,由乙4c8=20。，得乙4。。=40。，由弧長公式即得益的長為當；

(2)根據4B切。。于點4,AB=90°,可得。力〃BC,=AADB,而。4=。￡),即可得N4DB=

/.ODA,從而4。平分NBD。.

【詳解】(1)解：連接。4,

NACB=20°,

ZAOD=4Q°,

...AD=——nnr

180

40X7TX6

__180-

_47r

-3?

(2)證明：???OA=OD,

Z.OAD=乙ODA,

???ZB切O。于點人,

???OALAB,

???乙B=90°,

.??。/〃BC,

???Z-OAD=Z-ADB,

???Z.ADB=Z.ODAf

???4。平分48。。.

【點睛】本題考查與圓有關的計算及圓的性質，解題的關鍵是掌握弧長公式及圓的切線的性質.

19.已知：AABC.

(1)尺規作圖：用直尺和圓規作出△48C內切圓的圓心。；(只保留作圖痕跡，不寫作法和證明)

(2)如果A/IBC的周長為14cm,內切圓的半徑為1.3cm,求AABC的面積.

【答案】(1)作圖見詳解

(2)9.1

【分析】(1)根據角平分線的性質可知角平分線的交點為三角形內切圓的圓心，故只要作出兩個角的角平

分線即可；

(2)利用割補法，連接。4,OB,OC,作OO_LAB,OELBC,OFLAC,這樣將△ABC分成三個小三角

形，這三個小三角形分別以AABC的三邊為底，高為內切圓的半徑，利用提取公因式可將周長代入，進而

求出三角形的面積.

【詳解】(1)解：如下圖所示，O為所求作點,

A

(2)解：如圖所示，連接04,OB,0C,作。。_LA5,OELBC,0FXAC,

?.?內切圓的半徑為1.3cm,

：.0D=0F=0E=13,

???三角形ABC的周長為14,

.\AB+BC+AC=14,

則SMBC=SAAOB+SACOB+S^A0CAB-OD+1-BC-OE+1-AC-OF

11

=-x1.3x(AB+BC+AC)=-x1.3x14=9.1

故三角形ABC的面積為9」.

【點睛】本題考查三角形的內切圓，角平分線的性質，割補法求幾何圖形的面積，能夠將角平分線的性質

與三角形的內切圓相結合是解決本題的關鍵.

【新考法】數學與實際生活一一利用數學知識解決實際問題

20.群舸江“余月郎山，西陵晚渡”的風景描繪中有半個月亮掛在山上，月亮之上有個“齊天大圣”守護洞口

的傳說.真實情況是老王山上有個月亮洞，洞頂上經常有猴子爬來爬去，下圖是月亮洞的截面示意圖.

(1)科考隊測量出月亮洞的洞寬CD約是28%，洞高2B約是12m通過計算截面所在圓的半徑可以解釋月亮

洞像半個月亮，求半徑。C的長(結果精確到0.1優)；

(2)若=162。，點M在◎上，求NCMD的度數，并用數學知識解釋為什么“齊天大圣”點M在洞頂CB上

巡視時總能看清洞口CD的情況.

【答案】⑴14.2m

(2)NCMD=99。，因為C￡＞在/CM。的內部，所以點M在洞頂⑵上巡視時總能看清洞口CD的情況

【分析】(1)根據垂徑定理可得BC=|CD=14,勾股定理解RtAOBC,即可求解；

(2)在優弧CWO上任取一點N,連接CM,DM,CN,DN根據圓周角定理可得“ND=，C。。=81。，根據圓

內接四邊形對角互補即可求解.根據因為CO在NCMO的內部，所以點M在洞頂6上巡視時總能看清洞

口CD的情況.

【詳解】(1)解：：AB1CD,CD=28,

BC=-CD=14,

2

設半徑為r,貝U08=r—2B=r—12

在RtAOBC中，OC2=OB2+BC2

r2=(r-12)2+142

解得r=—?14.2

6

答：半徑OC的長約為14.2m

(2)如圖，在優弧上任取一點N,連接CM,DM,CN,DN

???乙COD=162°,CD=CD

???乙CND=-/.COD=81°,

???ZCMD=180°-Z.CND=99°

???乙CMD=99°,

因為CD在NCAW的內部，所以點M在洞頂◎上巡視時總能看清洞口CD的情況.

【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，圓內接四邊形的性質，掌握以上知識是解題的關

鍵.

21.如圖，已知48是。。的直徑，BD是。。的弦，點尸是。。外的一點，PCLAB,垂足為點C,PC與

BD相交于點E,連接PD,且PD=PE,延長PD交BA的延長線于點R

(1)求證：PD是。。的切線；

(2)若DF=4,PE=coszPFC=求8E的長.

【答案】(1)見解析

Q)展

【分析】(1)根據PD=PE,得出NPED="。已進而得出NPDE=4BEC,易得48=根據

PC1AB,得出NB+NBEC=90。，貝!JNODB+NPDE=90。，即可求證PD是。。的切線；

(2)易得PD=PE=g,貝l|PF=PD+。尸=最根據COS"FC=￡求出CF=PF?COSNPFC=6,OF=

=5,則。。=。/一。尸=1,根據勾股定理求出。。=3,PC=3進而求出BC=2,CE=1,最后

COSZ.PFC2

根據勾股定理即可求解.

【詳解】(1)證明：［PD=PE,

"PED=乙PDE,

■:乙PED=(BEC,

；ZPDE=(BEC,

'：0B=OD,

:?乙B=Z.ODB,

9：PC1AB,

:?乙BCP=90°,則NB+乙BEC=90°,

；.4ODB+乙PDE=90。,即々OOP=90。,

???PO是。。的切線；

(2)解：'：PD=PE,PE=I，

：.PD=-,

2

U：DF=4,

1q

：.PF=PD+DF=—

2f

4

VcosZPFC=|,

iq4

???CF=PF?coszPFC=—x-=6,

25

???PD是。。的切線，

；?0D上PD,則4OOF=90。，

：.OC=CF-OF=6-5=1,

根據勾股定理可得：OD=V。尸2一DF2=752-42=3,PC=y/PF2-CF2=I，

：.OB=。。=3,

97

：.BC=OB-OC=3-1=2CE=PC-PE=---=1,

f22

根據勾股定理可得：BE=VC￡2+BC2=Vl2+22=V5.

【點睛】本題主要考查了切線的判定，解題直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握經過半徑外端且垂直于半

徑的直線是圓的切線，以及解直角三角形的方法和步驟.

【新考法】圓與反比例函數綜合

22.小軍借助反比例函數圖象設計“魚形”圖案，如圖，在平面直角坐標系中，以反比例函數y=:圖象上的

點2(百,1)和點B為頂點，分別作菱形力OCD和菱形OBEF,點E在x軸上，以點。為圓心，04長為半

徑作沖3連接BF.

(1)求上的值;

(2)求扇形AOC的半徑及圓心角的度數；

(3)請直接寫出圖中陰影部分面積之和.

【答案】⑴8

(2)半徑為2,圓心角為60。

(3)3b_|兀

【分析】(1)將4(百,1)代入y=］中即可求解；

(2)利用勾股定理求解邊長，再利用三角函數求出乙40。的度數，最后結合菱形的性質求解；

(3)先計算出S旁形=2V3,再計算出扇形的面積，根據菱形的性質及結合k的幾何意義可求出

SMBO=百，從而問題即可解答?

【詳解】(1)解：將4(百,1)代入y=：中，

得1=5

解得：k=V3；

(2)解：???過點/作。。的垂線，垂足為G,如下圖：

???71(734)，

AG—1,0G=V3,

0A=J(A/3)2+I2=2,

???半徑為2；

AG=-0A,

2

sixiZ-AOG=—=一，

OG2

???Z.AOG=30°,

由菱形的性質知：Z.AOG=^LCOG=30°,

???Z-AOC=60°,

???扇形40C的圓心角的度數：60°；

(3)解：???OD=2OG=2V3,

???S菱形幺Ou。=AGxOD=1x2A/3=2V3,

S扇形=-^nr2=-xnx22=-n,

如下圖：由菱形。BEF知，ShFH0^S^BH0,

SABHO=y=y

SAFBO=2xf=V3,

"S陰影部分面積=SAFBO+S菱形40CD-S扇形40c=V3+28~^n=一”一

【點睛】本題考查了反比例函數及k的幾何意義，菱形的性質、勾股定理、圓心角，解題的關鍵是掌握k的

幾何意義.

23.【創新題】如圖，四邊形4BCD內接于。。，對角線AC,BD相交于點E,點尸在邊4。上，連接EF.

⑴求證：AABEs&DCE；

(2)當ETC=CB,NDFE=2NCDB時，則歿一些=；竺+笠=；—+—-

-BECE-----------ABAD-----------ABAD

.(直接將結果填寫在相應的橫線上)

A2F=______

(3)①記四邊形ABC。，KABE,△CDE的面積依次為S.S^S2,若滿足質=圾+J用，試判斷，4ABE,

△CDE的形狀，并說明理由.

②當屬t=⑶，AB=m,AD=n,CD=p時，試用含機，n,p的式子表示ZE?CE.

【答案】(1)見解析

(2)0,1,0

2

(3)①等腰三角形，理由見解析，②心巴

p￡+mn

【分析】(1)根據同弧所對的圓周角相等，對頂角相等，即可得證；

(2)由⑴的結論，根據相似三角形的性質可得=BEME,即可得出蕓-ff=0,根據已知條

BECE

件可得EF||AB,FA=FE,即可得出^DFED4B根據相似三角形的性質可得黑=蕓，根據恒等式變

ABAD

形，進而即可求解.

(3)①記△ADEAEBC的面積為53，$4，貝US=+S2+S3+S4,=S3s4,根據已知條件可得S3=

NBDMDC

S4,進而可得S=S，得出C0I4B,結合同弧所對的圓周角相等即可證明△ABE,ADCE是等腰三角

形；

②證明4cs△瓦4B,&DCEFACD,根據相似三角形的性質，得出及4?4C+CE?AC=4/=巾幾+

p2,則AC=Jmn+p2,EC=—-=,,,AE=AC-CE=.mn,,計算4E-CE即可求解.

ACyjTnn+p2-y/mn+pz

［詳解】(1)證明：AD=AD,

Z.ACD=乙ABD,

=乙DCE,

又上DEC=乙AEB,

???△ABE^△DCE；

(2)v2ABEiDCE,

.AB_BE_AE

??DC-CE一DE'

???AE?CE=BE?DE,

AEDEAECE-BEDE

----------=----------------=u,

BECEBECE

??啦=CB,

Z.BAC=Z.DAC=Z.CBD=乙CDB,

:?乙CDB+ABD=180°-乙BCD=2LDAB=2乙CDB,

ZDFE=2乙CDB

乙DFE=Z-DAB,

???EFWAB,

???2LFEA=乙EAB,

???ETC=CB,

:.Z.DAC=Z-BAC

Z.FAE=Z-FEA,

??.FA=FE,

???EFWAB,

???△DFEDAB,

.EF_DF

??—,

ABAD

，竺+竺=空+竺=變+竺=絲=

ABADABADADADAD

AF,AFAF,EF.

V---1------=---------1=1,

ABADABAD

AF,AF-

???------=1,

ABAD

1,11_

??----1----------=0n,

ABADAF

故答案為：0,1,0

(3)①記△4DEAEBC的面積為$3，54,

則S=S1+S2+S3+S4,

,,_S4_BE

S3~S2~DE'

???SrS2=s3s4①

'*'V?=JS]+Js2，

即s=Si+S2+2閥可，

S3+S4=2JS1S2②

由①②可得

S3+S4=26底,

2

即(居_圖=0,

???S3=S4,

9

???^LABE+S—OE=S^ABE+S^EBC

即SUB。=S—BC，

?,?點。和點。到ZB的距離相等,

???CDWAB,

???Z-ACD=Z-BAC,Z.CDB=Z-DBA,

Z-ACD=Z.ABD,Z.CDB=Z-CAB,

???乙EDC=乙ECD=乙EBA=Z-EAB,

ABEADCE都為等腰三角形；

?vETC=BG,

Z.DAC=乙EAB,

vZ.DCA=Z.EBA,

??.△DACEAB,

AD_AC

EA~ABf

AB=m,AD=n,CD=p,

???EA?AC=DAxAB=mn,

Z-BDC=Z-BAC=Z.DAC,

Z.CDE=4CAD,

又上ECD=/.DCA,

???△DCEACD,

CD_CE

AC~CD"

???CE-CA=CD2=p2,

：?EA?AC+CE-AC=AC2=mn+p2,

Ir'r)22

則4C=y/mn+p2,EC=P

y/mn+p2

mn

???/E=AC-CE=

y/mn+p21

..=^L.

:AEECmn+pz

【點睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定，相似三角形的性質與判定，對于相似恒

等式的推導是解題的關鍵.

【幾何模型】定弦定角模型

24.已知NMON=a，點A,8分別在射線。M,ON上運動，AB=6.

圖①圖②圖③

(1汝口圖①，若a=90。，取AB中點。，點A,8運動時，點。也隨之運動，點A,B,。的對應點分別為

A'.B'.D',連接判斷0。與。》有什么數量關系?證明你的結論：

(2)如圖②，若a=60。，以AB為斜邊在其右側作等腰直角三角形ABC,求點。與點C的最大距離：

(3)如圖③，若a=45。，當點A,8運動到什么位置時，△A0B的面積最大?請說明理由，并求出AAOB面

積的最大值.

【答案】(1)。。=OD',證明見解析

(2)373+3

(3)當。4=OB時，AAOB的面積最大；理由見解析，A4。8面積的最大值為9a+9

【分析】(1)根據“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半”可得OD=|AB,OD'=^A'B',進而得出結論；

(2)作AAOB的外接圓/,連接C/并延長，分別交。/于。，和。，當。運動到0,時，OC最大,求出CD

和等邊三角形上的高OQ,進而求得結果；

(3)以為斜邊在其右側作等腰直角三角形ABC,連接OC交A8于點T,在。7上取點E,使

OE=BE,連接BE,由(2)可知：當OC_LAB時，OC最大，BT=3,當。4=。8時，ZBOC=22.5°,此時

OT最大,根據等腰三角形的性質可得/OBE=/BOC=22.5。，由外角的性質可得/BEr=45。，貝U

ET=BT=3,利用勾股定理可得OE,由OT=OE+ET可得OT,然后根據三角形的面積公式進行計算.

【詳解】(1)解:OD=oa,證明如下：

???AAOB=a=90°,AB中點為D,

1

???OD=-AB,

2

???D'為48'的中點，Z.A,OB,=a=90°,

??.OD'—AB',

2

???AB=A'