專題03函數的概念與性質

（思維構建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）

維構建?耀精向紿

年01求具體國改睚義《

廠（函數的概念：兩個非空段集之間的對應關系）

型02

_（。知識點一函數的有關高）-（函數的三要素定義域、值域、對應關系）型03/函數的定義域求參數

型04判斷是否為同一個函數

L（相等函數與分段函數）

型05求國蛻解儂

型06分段函數及其應用

型01函數單調性瞪廝（硼）

______________________________函數單調性的定義凝02求西毀的單調區間

Y◎知取點二函數的單箍）4^豳嫡隼卓彘）霞03利用函數單調t物盤值

型04曲酒數直或目涯的大小

函數單調性的性質朝05利用函數的隼謂也跖得式

朝06利用函單調性求皴雌腕圉

函數的概念與性質型01函數奇偈性腓廝

,------------------------、H奇『（-xA/tr法于原點51搭型02利用奇偶性求函擊信

,-------------------------------「函數奇偶性的定義與圖象特點T）.......■

Y。知設點三函數的奇倜性XK"（"R市送于稱J型03利用奇蝌求參數

翹04利用奇儡性求翩成

、----------------------------，匚函數奇偶性的幾個重要結論型05利用單調性與卻黯解不管

型06利用單調性與奇禺在t般大小

周期函數的定義：存砂鑄常數T滿足f（x+7）弓Xx）

知識點四函數的周期性型01利用周期性求函數直

是小正周期：所有周期中最小的正數周期型02利用周期性求函數解儂

一（。知識點五函數的對稱性^,3遜）1周期性與康超學應用

京。2奇號三壬二Q■三鎧學

刀轉點前）

41j轆03gg

口端盤點?置；層訃與

知識點1函數的有關概念

1、函數的概念：一般地，設A3是非空的數集，如果對于集合A中的任意一個數x,按照某種確定的對應

關系/,在集合5中都有唯一確定的y和它對應，那么就稱/:Af3為從集合A到集合3的一個函數，

記作y=f（x）,XGA.

2、函數的三要素：

（1）在函數y=/（x）,xeA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；

（2）與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合伏x）|xGA｝叫做函數的值域。顯然，值域是集合8

的子集.

（3）函數的對應關系：y=/（x）,xeA.

3、相等函數與分段函數

（1）相等函數：如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，則這兩個函數相等，這是判斷兩函數相等的

依據.

（2）分段函數：在函數定義域內，對于自變量x取值的不同區間，有著不同的對應關系，這樣的函數稱為

分段函數。分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集。分段函數雖然是由幾個部分

構成，但它表示的是一個函數，各部分函數定義域不可以相交。

知識點2函數的單調性

1、單調函數的定義

設函數人犬)的定義域為I.如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值的,馬，

當王＜巧時，都有了(xJv/X0),那么就說函數力勸在區間D上是單調遞增函數。

當王＜%2時，都有/'(匹)＞/(％)，那么就說函數在區間D上是單調遞減函數。

單調性的圖形趨勢(從左往右)

2、函數的單調區間

若函數y=/")在區間D上是增函數或減函數，則稱函數幻在這一區間上具有(嚴格的)單調性，區間D

叫做y=/田的單調區間.

【注意】

(1)函數單調性關注的是整個區間上的性質，單獨一點不存在單調性問題，

故單調區間的端點若屬于定義域，則區間可開可閉，若區間端點不屬于定義域則只能開.

(2)單調區間。U定義域/.

(3)遵循最簡原則，,單調區間應盡可能大；

(4)單調區間之間可用“，”分開，不能用“U”，可以用“和”來表示；

3、函數單調性的性質

若函數f(x)與g(x)在區間。上具有單調性，則在區間D上具有以下性質：

(1)/(x)與/(x)+C(C為常數)具有相同的單調性.

(2)/(%)與—/(x)的單調性相反.

(3)當。＞0時，400與/(%)單調性相同；當。＜0時，4(%)與/(%)單調性相反.

(4)若/(x)K),則/(x)與具有相同的單調性.

(5)若/(幻恒為正值或恒為負值，則當。＞0時，/(x)與」^具有相反的單調性；

/(x)

當。＜0時，/(%)與'具有相同的單調性.

/(X)

(6)/(%)與g(x)的和與差的單調性(相同區間上)：

簡記為：/+/=/;(2)'+、=、；(3)/-\=7;(4)\-/=、.

(7)復合函數的單調性：對于復合函數y=/[g(x)],

若t=g(x)在區間(a,6)上是單調函數，且>=式。在區間(g(a),g(6))或(g(6),g(a))上是單調函數

若f=g(x)與y=/⑺的單調性相同，則y=/[g(x)]為增函數

若r=g(尤)與的單調性相反，則y=/[g(x)]為減函數.簡稱“同增異減

知識點3函數的奇偶性

1、函數的奇偶性

奇偶性定義圖象特點

如果對于函數/(X)的定義域內任意一個尤，都

偶函數關于y軸對稱

有/(-%)=f(x),那么函數y(x)是偶函數

如果對于函數兀0的定義域內任意一個無，都有

奇函數關于原點對稱

/(-%)=-/(x),那么函數/(尤)是奇函數

2、函數奇偶性的幾個重要結論

(1)/(X)為奇函數=/(x)的圖象關于原點對稱；/(尤)為偶函數Q/(x)的圖象關于y軸對稱.

(2)如果函數/(x)是偶函數，那么/(x)=f(M).

(3)既是奇函數又是偶函數的函數只有一種類型，即/(x)=0,xG。，其中定義域。是關于原點對稱的非

空數集.

(4)奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性，偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的單調性.

(5)偶函數在關于原點對稱的區間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數；奇函數在關于

原點對稱的區間上的最值互為相反數，取最值時的自變量也互為相反數.

知識點4函數的周期性

1、周期函數的定義

對于函數y=/(x),如果存在一個非零常數T,使得當x取定義域內的任何值時，都有/(x+T)=/(x),那

么就稱函數/(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期.

2、最小正周期：如果在周期函數了(無)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做了(無)的

最小正周期.

知識點5函數的對稱性

1、關于線對稱

若函數y=/(x)滿足〃a+x)=/S-x),則函數y=/(x)關于直線彳=也對稱，特別地，當。=6=0時，

2

函數y=/(x)關于y軸對稱，此時函數y=f(x)是偶函數.

2、關于點對稱

若函數y=/(%)滿足f(2a-x)=2b-f^x),則函數y=/(%)關于點(。，/?)對稱，特別地,當a=0,Z?=0時，

/（^）=-/（-x）,則函數y=/（x）關于原點對稱，此時函數了（X）是奇函數.

Xy點突破?春分?必檢

重難點01求函數值域的七種方法

法一、單調性法：如果一個函數為單調函數，則由定義域結合單調性可快速求出函數的最值（值域）.

（1）若函數y=/（x）在區間㈤切上單調遞增，則ymax=A6）,Jmin=/（?）-

（2）若函數y=A無）在區間［a,切上單調遞減，貝！Jymax=Aa），＞而產和）.

（3）若函數y=/（元）有多個單調區間，那就先求出各區間上的最值，再從各區間的最值中決定出最大（?。┲?函

數的最大（小）值是整個值域范圍內的最大（?。┲?

【典例1】（2324高三?全國?專題）函數〃同=等（尤目2,6］）的最大值為（）

X—1

?22

A.2B.—C.—D.—

3535

【答案】B

【解析】因為函數了=爐-1在［2,6］上單調遞增，

所以根據單調性的性質知：函數了（切=下一在［2,6］上單調遞減，

X—1

所以當x=2時，函數/（無）=等取到最大值為了（2）=3=；故選：B

x—12—13

【典例2】（2324高三.全國.專題）函數f（x）=lgx+x的定義域為10,則值域為（）

【答案】A

【解析】因為函數〃x）=lgx+x的定義域為《，1。，

且y=lgx,三在',10內單調遞增，可知〃尤）在^,10內單調遞增,

可知在\，1°內的最小值為了位=-奈，最大值為/（1。）=11，

「91

所以值域為一丁11.故選：A.

法二、圖象法：作出函數的圖象，通過觀察曲線所覆蓋函數值的區域確定值域，以下函數常會考慮進行數

形結合.

(1)分段函數：盡管分段函數可以通過求出每段解析式的范圍再取并集的方式解得值域，但對于一些便于

作圖的分段函數，數形結合也可很方便的計算值域.

(2)的函數值為多個函數中函數值的最大值或最小值，此時需將多個函數作于同一坐標系中，然后確

定靠下(或靠上)的部分為該函數的圖象，從而利用圖象求得函數的值域.

【典例1】(2324高三上.河南新鄉?月考)對VxeR,用M(x)表示〃x),g("中的較大者，記為

M(x)=max{/(x),g(x)},若函數M(x)=max|-x+3,(x-l)2|,則M(x)的最小值為.

【答案】1

【解析】當T+34X-1)2,即尤2_尤_2<0,即—14x42時，M(x)=-x+3,

當一x+3<(x-l/，A：2-x-2>0,即x>2或x<-l時，=(尤一I)?,

~x+3,x￡1,21

所以M(x)=、2,、，、，

(x-1),xe(-<?,-l)u(2,+ao)

函數圖象如圖所示：

由圖可得，函數M(x)在(y,T),(1,2)上遞減，在(2,+8)上遞增,

所以"L=")=-2+3=L

【典例2】(2324高三上.重慶北倍?月考)高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，用其名字命名

的“高斯函數”為：對于實數%符號印表示不超過尤的最大整數，例如[-e]=-3,[2.1]=2,定義函數

/(x)=x-[x],則函數/(X)的值域為.

【答案】10,1)

【解析】由高斯函數的定義可得：

當0(x<l時，[v]=o,貝Ijx-[幻=x,

當lVx<2時，[幻=1,則x-[x]=x-l,

當2Vx<3時，[x]=2,貝[]x-[x]=x-2,

當34x<4時，印=3,貝Ijx-[x|=x-3,

易見該函數具有周期性，繪制函數圖象如圖所示,

由圖象知了⑺的值域為。1).

法三、配方法：主要用于二次函數或可化為二次函數的函數，要特別注意自變量的取值范圍.

【典例1】(2324高三上.全國.專題)函數〃％)=一2x+3的值域是()

A.[0,2]B.[0,+8)C,[2,+oo)D.(0,2)U(2,+w)

【答案】A

【解析】令-d-2x+320得，-3<x<l,故定義域為[一35，

/(X)=J-x。-2尤+3=J—(尤+1)~+4e[0,2]■故選:A

【典例2】(2023高三?江西萍鄉?開學考)函數y=—^的值域為_________.

-X+X+2

_4

【答案1(-°°,0)IJ[―,4-00)

【解析】由題得一%2+尤+2工0,「.工工_1且%：/：2.

1oo

因為*+x+2=-(x--)2,且一%2+%+2.

244

4

所以原函數的值域為(-8,0)U[§，+8).

法四、換元法：換元法是將函數解析式中關于％的部分表達式視為一個整體，并用新元/代替，將解析式化

歸為熟悉的函數，進而解出最值(值域).

(1)在換元的過程中，因為最后是要用新元解決值域，所以一旦換元，后面緊跟新元的取值范圍.

(2)換元的作用有兩個：

①通過換元可將函數解析式簡化，例如當解析式中含有根式時，通過將根式視為一個整體，換元后即

可‘消滅”根式，達到簡化解析式的目的.

②可將不熟悉的函數轉化為會求值域的函數進行處理

【典例1】（2023高三上?廣東河源?開學考試）函數〃x）=2x+7n7的最大值為.

17

【答案】v

O

【解析】令90）,貝鼠=1一『，所以y=_2〃+f+2=—21-（J+[QNO）,

由二次函數的性質知，對稱軸為"J,開口向下，

4

所以函數丫=-21-；|2+￡在0,；單調遞增，在[;,+幻]上單調遞減.

所以當r=；=即彳=與時，

416

了⑴取得最大值為/（%）_=八熱#+m-

168V168

【典例2】（2324高三?全國?專題）函數y=l-x+&二五的值域為（）

01

A.卜,]B.[0,+co）C.-,+℃D.—,+00

2

【答案】C

【解析】令jrz=%，（，之。），貝

所以函數E+一+”卜出=",函數在[。,+00）上單調遞增,

t=o時，y有最小值

所以函數y=l-x+Vi^的值域為故選：C

法五、分離常數法：主要用于含有一次的分式函數，

fix_i_AC+bx+0

形如y=9士或y=-------—（〃，C至少有一個不為零）的函數，求其值域可用此法

cx+dcx+d

以,=竺心為例，解題步驟如下：

cx+d

第一步，用分子配湊出分母的形式，將函數變形成y=@+—的形式，

ccx+d

第二步，求出函數y=—^在定義域范圍內的值域，進而求出y=絲心的值域。

cx+dcx+d

【典例1】（2024高三?全國?專題練習）函數1小的值域為--------

【答案】3yeR且

【解析】函數的定義域為{ylyx-1},

5

1o1

y=--------=--------=--1-——w—

2%+52%+522%+52

故函數的值域為{ylyeR且yH-g}.

【典例2】（2024高三下?北京懷柔?模擬預測）己知函數〃切=肅打，則對任意實數x,函數的值域

是（）

A.（0,2）B.（0,2]C.[0,2）D.[0,2]

【答案】C

【解析】依題意，〃力=2（2尤71）-2=2一

v'2%2+12X2+1

27

顯然2/+121,則°<罰"于是。<2,

所以函數/（x）的值域是[0,2）.故選：C

?7Y2_i_bx+c

法六、判別式法：主要用于含有二次的分式函數，形如：>二---------

ax+ex+j

將函數式化成關于x的方程，且方程有解，用根的判別式求出參數y的取值范圍，即得函數的值域。應

用判別式法時必須考慮原函數的定義域，并且注意變形過程中的等價性。

另外，此種形式還可使用分離常數法解法。

【典例1】（2324高三.全國.專題練習）求函數y=—彳+2的值域.

X+X+1

【答案】[1,5]

【解析】顯然M+x+l>0恒成立，即原函數定義域為R,

由,二^^—,^(y-2)x2+(y+l)x+y-2=0,

X+X+1

當y=2時，x=0,符合題意；

當尸2時，由xeR,得(y-2)x2+(y+l)x+y-2=0恒有實數根,

因此A=(\+1)2_4(,_2)220,解得IVy<5且y*2,

所以函數y=一尤+2的值域為[1,5].

x+x+\

Y—1

【典例2】(2324高三上?全國?專題練習)函數y=丁,「，%>0的值域為.

x-6x4-7

/

1

【答案】—oo9———,+00

7

【解析】因為y=-整理得討―(6y+l)x+7y+l=0,

x-ox+7

可知關于X的方程"2-(6y+l)x+7y+l=0有正根,

若y=0,貝|J_%+1=0,解得了=1,符合題意;

若ywO,貝!］無-_16H—1j.x+7H—=0,

yy

6+-6+-

—>0

--<0,解吐

可得2或，2

2yy

1

7+-<0A=6+--47+->0

yyy

則-;<y<o或y>o或yw―垃：”

綜上所述：—或”-個

即函數3=2“11，X>0的值域為

龍一6x+7

法七、導數法：對可導函數/(x)求導，令/'(x)=0,求出極值點，判斷函數的單調性：

如果定義域時閉區間，額函數的最值一定取在極值點處或區間端點處；

如果定義域是開區間且函數存在最值，則函數最值一定取在極值點處。

【典例1](2324高三上?遼寧?開學考試)函數〃x)=(-2x+4)e￡在區間[1,+8)上的最大值為一

【答案】2e

【解析】r(x)=(-2x+2)e\當xe[l,+8)時,_f(x)<0,〃x)單調遞減，/(%)</(l)=2e.

【典例2】(2324高三上?山東濟寧?月考)函數/(x)=x-lnx的最小值

【答案】1

【解析】ra)=u=」，尤>o,

XX

當o<x<i時，r(x)<o,函數/(X)單調遞減，

當x>l時，/^x)>0,函數/■(%)單調遞增，

所以當x=l,函數取得最小值/(1)=1.

重難點02常見奇函數、偶函數的類型及應用

1、/(x)=a*+af(a>0且a20)為偶函數；

2、/(x)=?A-a~x(。>。且。2。)為奇函數；

3、/(%)=-——--=-^——-(。>0且。#0)為奇函數；

(jx+a*a*+1

4、y(x)=logfl-~-(a>0且awO力w0)為奇函數；

5、/(x)=log,,(J龍，+1土x)(a>0且a#0)為奇函數；

6、/(%)=麻+4+版—可為偶函數；

7、/('=麻+.一麻一百為奇函數;

【典例1】(2324高三下?四川南充?二模)已知函數/。)=/一b'，則函數y=+1的圖象()

A.關于點(U)對稱B.關于點(TD對稱

C.關于點(-1,0)對稱D.關于點(1,0)對稱

【答案】A

【解析】因為析x)=e-eT,所以f(r)=e--/(x),即/⑴的圖象關于原點對稱，

函數y=/(x-D+i的圖象可由/a)的圖象，先向右平移一個單位，再向上平移一個單位得到,

所以函數>=/(尤-D+1的圖象關于點CU)對稱.故選：A.

【典例2】(2324高三下?重慶?模擬預測)(多選)函數/(X)=2，；2',8⑴=川Jl+9f-3@,那么()

A./(x)+g(x)是偶函數B.是奇函數

g(x)

C.是奇函數D.g（y（x））是奇函數

/(x)

【答案】BC

【解析】因為y（r）=W^=/（x）,所以〃力=/二為偶函數,

因為g(-x)+g(x)=In(，l+9x?+3x^+ln(A/1+9X?=lnh/l+9x2+3xh/l+9x2-3x=lnl=O,

即g(-x)=-g(x),所以g(x)=ln(Jl+9x2-3x)為奇函數,

所以〃x）+g（x）為非奇非偶函數，A錯誤;

/(-x)?g(-x)=-[/(A：).g(x)],所以/(x)-g(尤)為奇函數，B正確;

g(f)黑二一工’所以黨是奇函數’C正確;

〃-尤)

令H(x)=g(/(x))，H(-x)=g(/(-x))=g(/(x))=H(x)”（x）為偶函數，D錯誤.故選：BC.

重難點03函數周期性的常用結論及應用

1、（。是不為0的常數）

(1)若/(x+a)=/(x),則丁=。；(2)若/(x+a)=/(x-a),則T=2a；

(4)若/(x+a)=y^j,則T=2a；

(3)若/（%+。）=一/（尤），則T=2a；

若/(x+a)=-~,貝!JT=2a；(6)若/(x+a)=/(%+〃)，則T=|a—4(a#h)；

2、函數對稱性與周期性的關系

（1）若函數/（九）關于直線x=a與直線x=b對稱，那么函數的周期是2也—M；

（2）若函數/（九）關于點（a,0）對稱，又關于點（仇0）對稱，那么函數的周期是2|。—a.

（3）若函數/（九）關于直線x=a,又關于點0,0）對稱，那么函數的周期是4|A—a|.

3、函數的奇偶性、周期性、對稱性的關系

（1）①函數/（九）是偶函數；②函數圖象關于直線x=a對稱；③函數的周期為21al.

（2）①函數/（九）是奇函數；②函數圖象關于點（a,0）對稱；③函數的周期為21d.

（3）①函數/（九）是奇函數；②函數圖象關于直線x=a對稱；③函數的周期為41H.

(4)①函數/(九)是偶函數；②函數圖象關于點(a,0)對稱；③函數的周期為41al

其中awO,上面每組三個結論中的任意兩個能夠推出第三個。

【典例0(2324高三下.河北?模擬預測)定義在R上的函數〃x)周期為4,且/(2x+l)為奇函數，貝卜

A./(X)為偶函數B./(x+1)為偶函數

C./(x+2)為奇函數D.〃x+3)為奇函數

【答案】D

【解析】定義在R上的函數〃元)周期為4,所以/(x+4)=〃x),

又〃2x+l)為奇函數，所以/(—2x+l)=-〃2x+l),

即/(—x+l)=-/(x+l),所以為奇函數，故B錯誤；

所以/(-x+2)=—/(x),則/(-x+2)=—/(x+4),

所以〃r+3)=-〃x+3),則〃x+3)為奇函數，故D正確；

由〃r+l)=-〃x+l),所以〃T+1)+/(X+1)=0,則關于(1,0)對稱，

令/(x)=sin(7cr),貝!|/(x+4)=sin7t(x+4)=sin7tx=/(x),滿足函數〃力周期為4,

J=L/(2x+l)=sin(27LV+7i)=-sin(27tx)^/g,/(2x+l)為奇函數，

但是〃力=如(m)為奇函數，故A錯誤；

令〃x)=cosgx),則/(x+4)=cos曰(x+4)=cos^x^=/(x),滿足函數周期為4,

又〃2x+l)=cos1(2x+l)=3(口+。=-5畝(口)滿足〃2x+l)為奇函數，

但是〃x+2)=cos5(x+2)=cos[]x+j=-cos15x)為偶函數，故C錯誤.故選：D

【典例2】(2324高三下?江西?月考)(多選)已知f(x)的定義域為R,若/(X)的圖象關于直線>對稱,

且/(x+1)為奇函數，則()

A.7(/(%))=xB./(x)+/(-x)=2C./(X+4)-/(X)=4D./(2024)=-2023

【答案】ABD

【解析】因為〃工)的圖象關于直線對稱，

令y=/(x)，則/(y)=x,所以/(〃x))=〃y)=x,故A正確;

因為/(x+i)為奇函數，所以〃—x+l)=-〃x+l),

令/(i一x)=y，貝1J/(x+i)=-y,所以/(>)+/(—y)=i-x+i+x=2,

即〃x)+〃-x)=2,故B正確；

由〃x)+〃-x)=2,令x-l替換x可得/(xT)+/(lr)=2,

X/(-x+l)=-/(x+l)，所以/(x+l)-/(x—l)=-2,

貝"(x+4)-/(x+2)=-2,/(x+2)-/(x)=-2,

所以“x+4)—〃x)=T,故C錯誤;

由〃x+l)=/(xT-2,

所以/(2024)=/(2022)—2=/(2020)-4=…=/(0)—2024=1-2024=-2023,故D正確.

故選：ABD

重難點04抽象函數的性質綜合應用

1、抽象函數求值：以抽象函數為載體的求值問題的常見形式，是給出函數滿足的特殊條件，指定求出某處

的函數值或某抽象代數式的值。常用賦值法來解決，要從以下方面考慮：令尤;…,-2,-1,0,1,2…等特殊

值求抽象函數的函數值。

2、判斷抽象函數單調性的方法：

(1)湊：湊定義或湊已知，利用定義或已知條件得出結論；

(2)賦值：給變量賦值要根據條件與結論的關系.有時可能要進行多次嘗試.

①若給出的是“和型”抽象函數F(X+y)=…，判斷符號時要變形為：

/((%2或/(%2)-/(%))=/(%2)-/((%1-X2)+%2)；

②若給出的是“積型”抽象函數，(孫)=…，判斷符號時要變形為：

/(X2)-/(%1)=/X].舉-/(尤1)或/(蒼)-/(%)=〃9)-了-^2?

\Xl)\X2J

3、求抽象函數解析式的方法

①換元法：用中間變量表示原自變量X的代數式，從而求出f(x)；

②湊合法：在已知/'(g(x))=h(x)的條件下，把h(x)并湊成以。(久)表示的代數式，再利用代換即可求/(久)；

③待定系數法：已知函數類型，設定函數關系式，再由已知條件，求出出關系式中的未知系數；

④利用函數性質法：主要利用函數的奇偶性，求分段函數的解析式；

⑤賦值法：給自變量取特殊值，從而發現規律，求出"》)的表達式；

⑥方程組法：一般等號左邊有兩個抽象函數(如?),將左邊的兩個抽象函數看成兩個變量，變換變

量構造一個方程，與原方程組成一個方程組，利用消元法求/(%)的解析式.

【典例1】(2324高三下?河南?月考)(多選)已知非常數函數/(x)的定義域為R,且

f(x)〃y)=f3)+型(x+y),則()

A.〃。)=0B./(l)=-2或〃1)=1

C.q1是｛x|xeR且XAO｝上的增函數D.〃尤)是R上的增函數

【答案】AC

【解析】在/(x)l/(y)=/(孫)+移(+丫)中,

令尸0,得“0)〃x)=〃0)，即VxeRJ(O)[〃x)—1]=0.

因為函數為非常數函數，所以"0)=0,A正確.

令g(x)="^,xwO,則g(x)g(y)=g3)+x+y.

令x=y=-l,則[g(-l)F=g⑴-2,①

令x=y=令則[g(l)F=g(l)+2,②

由①②,解得g(l)=2,g(-l)=0,從而〃1)=2,B錯誤.

令y=l,貝1|g(x)g⑴=g(x)+x+l,即g(x)=x+l,

因為"0)=0,所以*x)=x(x+l),所以C正確，D錯誤.故選：AC

【典例2】(2324高三上?福建莆田.開學考試)已知函數/(x)的定義域為R,并且滿足下列條件：對任意尤,

yGR,都有〃x+y)=/(x)+〃y),當尤>0時，f(x)<0.

(1)證明：〃x)為奇函數；

(2)若〃-1)=1,解不等式/■(*+2x)-〃2-力>-2.

【答案】(1)證明見解析；(2)(-4,1)

【解析】(1)\?函數/(X)的定義域為R,則定義域關于原點對稱.

?..對任意X,yGR,都有/(x+y)=/(x)+/(y)，

故令x=y=O,則/(0)=/(0)+〃0)=2〃0),二/(0)=0,

令丫=一了，貝iJ/(x-x)=/(x)+/(—x)=O,BPf(-x)=-f(x),

；J(x)是奇函數;

(2)任取士,工2eR，且玉〉尤2，由題意得，xI-x2>0,/(A;-X,)<0,

/(石)=/(%-々+馬)=/(石f)+/㈤,

.-.f(xl)-f(x2)^f(xI-x2)<0,

??./(百)</(%2)，，/(x)在R上為減函數.

因〃-1)=1,=〃2)=〃1+1)=-=

Z./(X2+2X)-/(2-X)>-2<^/(X2+2X)+/(X-2)>-2

07(f+2;<:)+/(%—2)>/(2)0/[(尤2+2尤)+(彳-2)]>/(2)=尤2+3尤一2<2,

解得T<x<l,

.-./(%2+2%)-/(2-%)>-2的解集為：(T,1).

法技巧?遑哀學霸

一、求函數定義域的依據

函數的定義域是指使函數有意義的自變量的取值范圍

1、分式的分母不能為零.

2、偶次方根的被開方數的被開方數必須大于等于零，即正（其中〃=2左，左eN*）中xNO,

奇次方根的被開方數取全體實數，即於（其中“=2左+l#eN*）中，x&R.

3、零次塞的底數不能為零，即x°中XH0.

4、如果函數是一些簡單函數通過四則運算復合而成的，那么它的定義域是各個簡單簡單函數定義域的交集。

【注意】定義域用集合或區間表示，若用區間表示熟記，不能用“或”連接，而應用并集符號“U”連接。

【典例1】（2324高三下?四川南充.三模）函數/（彳）=巫三的定義域為_____.

V7x-1

【答案】HM）U（I,4]

【解析】因為“X）

所以16—d之0且x—IwO,角軍得一4Wx?4且xwl,

故函數的定義域為[yi）u（i,4].

【典例2】（2324高三下?北京?開學考）函數/（司=但（1_]）的定義域為

【答案】（1,2）"2,M）

【解析】由題意【炮（：一?,°,解得l<x<2或x>2,

x-l>0

所以函數=面/刁的定義域為(1,2)U(2,E).

二、函數解析式的四種求法

1、待定系數法：若已知函數的類型(如一次函數、二次函數等)，可用待定系數法.

(1)確定所有函數問題含待定系數的一般解析式；

(2)根據恒等條件，列出一組含有待定系數的方程；

(3)解方程或消去待定系數，從而使問題得到解決。

2、換元法：主要用于解決已知的解析式，求函數/(%)的解析式的問題

(1)先令g(x)=f,注意分析/的取值范圍；

(2)反解出x,即用含/的代數式表示x；

(3)將/(g(%))中的無度替換為f的表示,可求得了(7)的解析式,從而求得了(%)。

3、配湊法：由已知條件/(g(X))="%),可將川龍)改寫成關于g⑺的表達式，

然后以x替代gQ),便得/(%)的解析式.

4、方程組法：主要解決已知"%)與/(-%)、f的方程，求"%)解析式。

例如：若條件是關于〃龍)與/(-X)的條件(或者與/)的條件,

可把X代為-X(或者把X代為工)得到第二個式子，與原式聯立方程組，求出了(%)

X

【典例1】(2324高三上?甘肅蘭州?月考)已知y(4+l)=