第四講比例（一）第一部分：趣味數學開心蛙摘桃子開心蛙摘了一筐桃子，第一天吃掉這筐桃子的一半，第二天吃剩下的一半，第三天又吃了再剩下的一半，這時候筐里還有3個桃子，開心蛙一共摘了幾個桃子？【答案】24個第二部分：習題精講例題1：在比例“30:20=48:32”中,從30里減去18,而20、48這兩項不變,要使比例成立,應把32加上多少?思路點撥：在比例30:20=48:32中,兩個內項沒有發生變化,而兩個外項都發生了變化,而其中一個外項的變化是已知的,另外一個外項32的變化是未知的,所以,我們可以設32加上的數是x,這樣就構成一個新的比例:(30-18):20=48:(32+x),用解比例的知識可求出x的值所以(30-18):20=48:(32+x),12:20=48:(32+x),12×(32+x)=48×20，(32+x)=48×20，32+x=80,x=48答:應把32加上48.練習1：1.在比例“18:24=27:36”中,從24里減去12,而18、27這兩項不變,要使比例成立,應在36上減去多少?2.在比例“4.5:6=5.1:6.8”中,兩個外項不變,內項6減去0.6,要使比例成立,另外一個內項5.1應加上多少?3.在比例“EQ\F(10,21)：EQ\F(5,7)=EQ\F(7,15)：EQ\F(7,10)”中,兩個外項不變,內項EQ\F(5,7)加上EQ\F(1,14),要使比例成立,另外一個內項EQ\F(7,15)應減去多少？例題2：小明讀一本300頁的故事書,前2天讀了全書的EQ\F(1,3),照這樣計算,讀完全書還要多少天?思路點撥：這是一道帶有分數的比例應用題,我們既可以根據具體的頁數列比例式,也可根據相對應的分數列比例式。解：設讀完全書還需要x天EQ\F(1,3)：2=（1-EQ\F(1,3)）：xX=4答:讀完全書還需要4天練習2：1.一輛汽車從A地開往300千米外的B地,前2小時已經行了全程的EQ\F(2,5)，照這樣計算,行完全程還需要幾小時?2.工廠接到生產2000個零件的任務,前3天完成了總任務的45%,剩下的任務還需要多少天才能完成?3.小明計劃在6天內讀完一本240頁的故事書,實際每天多讀了原計劃的EQ\F(1,5)，實際多少天就能讀完?例題3：甲、乙兩輛汽車分別從兩地相向開出,它們的速度比是5:7,在距中點18千米處相遇兩地相距多少千米?思路點撥：因為兩車同時出發,相遇時間一定,所以,路程與速度成正比,即相遇時甲、乙兩車行駛的路程比為5:7.然后由“距中點18千米處相遇”可以知道,相遇時乙車比甲車多行18×2=36(千米)。所以18×2×EQ\F(7+5,7-5)=216(千米)答:兩地相距216千米練習3：1.兩只輪船同時從甲、乙兩港相向開出,客船每小時行49千米,貨船的速度是客船的EQ\F(6,7),兩只輪船在離甲、乙兩港中點6千米處相遇。求甲、乙兩港的距離是多少?2.客車和貨車同時從甲,乙兩地相向開出,客車每小時行全程的EQ\F(1,4),貨車每小時行60千米,相遇時客車和貨車所行路程的比是3:2.甲、乙兩地相距多少？3.甲、乙兩車同時從兩地出發,相向而行,甲車行完全程需3.5小時,乙車每小時75千米,相遇時甲、乙兩車所行路程的比是4:3,這時乙車行了多少？例題4：小麗和小靈兩人分別從甲、乙兩地同時出發,相向而行,相遇后小麗繼續向前經過6.4分鐘到達乙地,小靈繼續向前經過10分鐘到達甲地,那么,兩人出發后多久就相遇了?思路點撥：假設兩人相遇在丙處,相遇時間為x分鐘,如圖所示：從甲丙段來看,兩人所花時間的比為x:10,由路程一定,速度和時間成反比,因此,兩人的速度比是10：x，從丙乙段來看,兩人所花時間的比為6.4:x,同樣道理,速度的比為x:6.4,所以10:x=x:6.4,x2=64,x=8答:兩人出發后8分鐘就相遇了。練習4：1.甲、乙兩車分別從A、B兩地同時相向開出,相遇后,甲車又行5小時到達B地,這時乙車離A地還有全長的25%,兩車從出發到相遇用了多少小時?2.客車和貨車分別從甲、乙兩地同時出發,相向而行。相遇后,客車再行3.2小時到達乙地,貨車在相遇后又行了5小時到達甲地。那么,兩車經過幾小時相遇了?3.一列快車從甲地開往乙地需要5小時,一列慢車從乙地開往甲地所需時間比快車多EQ\F(1,5),兩車同時從甲、乙兩地相對開出2小時后,慢車停止前進,快車繼續行駛40千米后恰與慢車相遇。則甲、乙兩地相距多少千米例題5：甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發,相向而行,甲車每小時行100千米，乙車每小時行90千米，當乙車行至全程的EQ\F(9,22)時,甲車距中點還有20千米，A、B兩地相距多少千米?思路點撥：因為兩車行駛的時間一定,所以,速度與路程成正比例,根據甲、乙兩車的速度比,可以知道它們行駛的路程比，再由乙車行了全程的EQ\F(9,22)，可以求出甲車行了全程的幾分之幾,最后,根據甲車距中點20千米,即與全程的EQ\F(1,2)的差是20千米,可求出A、B兩地的距離。甲、乙兩車的速度比:100:90=10:9甲、乙兩車行駛的路程比:10:9;甲車行的路程:EQ\F(9,22)×EQ\F(10,9)=EQ\F(5,11)20÷（EQ\F(1,2)-EQ\F(5,11)）=440(千米答:A、B兩地相距440千米練習5：1.客車和貨車分別從甲、乙兩地同時出發,相向而行,客車每小時行90千米,貨車每小時行70千米。當貨車行至全程的EQ\F(7,20)時,客車距中點還有12千米。甲、乙兩地相距多少千米?2.快車與慢車同時從A、B兩地出發,相向而行。行駛一段時間后兩車相遇,相遇點到AB中點的路程恰好是AB全長的EQ\F(1,20),快車與慢車的速度比是多少?3.甲、乙兩車都從A地到B地。甲車比乙車提前30分鐘出發,行到全程EQ\F(1,3)時，甲車發生了故障,修車花了15分鐘,結果比乙車晚到B地15分鐘。甲車修車前后速度不變,全程為300千米。那么,乙車追上甲車時距A地多少千米?第三部分：數學史天元術早在3600多年前，古埃及人和巴比倫人已經能用方程解決數學問題。我國的《九章算術》也記載了用一組方程解決實際問題的方法。700多年前，我國數學家李冶在解決問題的過程中，系統地應用并發展了“天元術”，“天元術”是一種用數學符號列方程的方法。14世紀初，我國數學家朱世杰又創立了“四元術”，這是我國古代數學的一次飛躍。參考答案：練習1：1.應減去182.應加上EQ\F(17,30)3.應減少EQ\