27.4正多邊形與圓第27章圓1.了解正多邊形和圓的有關概念2.理解并掌握正多邊形半徑、中心角、邊心距、邊長之間的關系3.會應用正多邊形和圓的有關知識解決實際問題觀察這些圖片，你看到了哪些正多邊形?問題1什么叫做正多邊形？各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.問題2正多邊形是軸對稱圖形嗎？是中心對稱圖形嗎？正多邊形是軸對稱圖形；當邊數為偶數時，正多邊形也是中心對稱圖形.復習回顧：圓既是軸對稱圖形又是旋轉對稱圖形.正多邊形和圓的關系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓.正六邊形正方形正五邊形探究一

正多邊形與圓的有關概念以圓的內接正五邊形為例證明.如圖，把⊙O分成相等的5段弧，依次連接各分點得到五邊形ABCDE.∴AB=BC=CD=DE=EA∴∠A=∠B∵∠B=∠C=∠D=∠E又五邊形ABCDE的頂點都在圓上,∵AB=BC=CD=DE=EA）））））BCE=3AB=CDA）））⊙O是五邊形ABCDE的外接圓.∴五邊形ABCDE是⊙O的內接五邊形，EABCD正五邊形O定義：我們把一個正多邊形的外接圓和內切圓的公共圓心，叫作正多邊形的中心.外接圓的半徑叫作正多邊形的半徑.半徑R內切圓的半徑叫作正多邊形的邊心距.邊心距r正多邊形每一條邊所對的圓心角，叫做正多邊形的中心角.正多邊形的每個中心角都等于正五邊形O中心角例1：有一個亭子,它的地基是邊長為4m的正六邊形,求地基的周長和面積

(精確到0.1m2).CDOEFAP抽象成B∴它的中心角等于360°÷6=60°，△OBC是等邊三角形，而正六邊形的邊長等于它的半徑.解：如圖所示

.連接OB，OC，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，因此亭子地基的周長l=6×4=24（m）過點O作OP⊥BC于P.在Rt△OPC中,OC＝4m,PC＝2m利用勾股定理,可得邊心距亭子地基的面積OABCDEFPr2.作邊心距，構造直角三角形.1.連半徑，得中心角；OABCDEFRMr·圓內接正多邊形的輔助線O邊心距r邊長一半半徑RCM中心角一半方法歸納探究二

正多邊形與圓的關系問題：如圖，把☉O進行5等分,依次連接各等分點得到五邊形ABCDE.分別過點A，B，C，D，E作☉O的切線，切線交于點P，Q，R，S，T，依次連接各交點，得到五邊形PQRST.五邊形ABCDE及五邊形PQRST是正多邊形嗎？·OAEDCBPQRST·OAEDCBPQRST①②AB____BC____CD____DE____AE.＝＝＝＝＝＝＝＝④∠A___∠B___∠C___∠D___∠E.＝＝＝＝③＝＝＝＝∵頂點A，B，C，D，E都在☉O上，∴五邊形ABCDE是☉O的內接正五邊形.·OAEDCBPQRST∴連接OA，OB，OC.則∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB，∵TP，PQ，QR分別是以點A，B，C為切點的☉O的切線，∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ，∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.又∵AB=BC，∴△PAB≌△QBC，∴∠P=∠Q，PQ=2PA.同理，得∠Q=∠R=∠S=∠T，QR=RS=ST=TP=2PA.∵五邊形PQRST的各邊與☉O相切，∴五邊形PQRST是☉O的外切正五邊形.把圓分成n（n＞2）等份，依次連接過等分點作圓的切線，各切線相交所得的多邊形就是這個圓的一個外切正n邊形.歸納總結把圓分成n（n＞2）等份，依次連接各分點所得的多邊形就是這個圓的一個內接正n邊形.思考：如何用等分圓周的方法作出正多邊形？由在同圓中相等的弦所對的弧相等可知，在一個圓中，先用量角器作一個等于的圓心角，這個角所對的弧就是圓周的，然后在圓周上依次截取這條弧的等弧，就得到圓的n等份點，從而作出正n邊形(正五角星就是這樣作出的).(2)用尺規等分圓周對于一些特殊的正n邊形，還可以用直尺和圓規來等分圓周.(1)用量角器等分圓周OADBFCE解：內接正六方形的做法：(1)用直尺作圓的一條直徑AD；(2)以點A為圓心,OA為半徑作圓,與⊙O交于點B、F；(4)順次連接所得的圓上六點.六邊形ABCDEF即為所求作的正六邊形.(3)以點D為圓心，OD為半徑作圓，與⊙O交與點C、E.例2.利用尺規作圖，作出已知圓的內接正六邊形.1.下列說法正確的有（）①正n邊形的中心角為；②正n邊形的內角為；③正n邊形的外角為；④正n邊形的半徑為R，邊心距r和邊長an滿足關系式：A.1個B.2個C.3個D.4個D2.以半徑為2的圓的內接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為三邊作三角形，則該三角形的面積是（）A.B.C.D.A3.如圖，已知⊙O和⊙O上的一點A.（1）作⊙O的內接正方形ABCD和內接正六邊形AEFCGH；（2）在（1）題的作圖中，如果點E在弧AB上，求證：BE是⊙O的內接正十二邊形的一邊.∴BE是⊙O的內接正十二邊形的一邊.(1)解：如圖所示

.HEFCGDB(2)證明：連接OA、OB、OE.由題意，得∠BOA=90°，∠EOA=60°，∴∠BOE=90°-60°=30°=360°÷12，4.如圖，已知正三角形ABC的邊長為6，求它的中心角、半徑和邊心距.BAC解：設這個正三角形的中心為點O，連接OB，OC，作OH⊥BC于點H，則∠BOC=360°÷3=120°，∴∠BOH=60°.在Rt△BOH中，∴OH=，OB=.∴正三角形ABC的中心角為120°，半徑為，邊心距為.OHBH=BC=3，∠OBH=30°，5.利用尺規作圖，作出已知圓的內接正四邊形.OACBD解：內接正方形的做法：(1)用直尺作圓的一條直徑AC；(2)作與AC垂直的直徑BD；(3)順次連接所得的圓上四點.四邊形ABCD即為所求作的正方形.1.正多邊形的概念________相等、________也相等的多邊形叫做正多邊形．2.正多邊形與圓的關系各邊各角把圓分成n(n≥3)等份：(1)順次連接各等分點得到的多邊形是圓的

；(2)依次過各等分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的