28.2解直角三角形及其應用第二十八章銳角三角函數28.2.2應用舉例逐點導講練課堂小結作業提升課時講解1課時流程2解直角三角形在實際中的應用解直角三角形在仰角和俯角問題中的應用解直角三角形在方向角問題中的應用解直角三角形在坡角、坡度問題中的應用知識點解直角三角形在實際中的應用知1－講11.利用解直角三角形解決實際問題的一般步驟(1)畫出平面圖形，將實際問題抽象為數學問題，轉化為解直角三角形的問題；(2)根據已知條件的特點，靈活選用銳角三角函數等知識解直角三角形；(3)得到數學問題的答案；(4)得到實際問題的答案.解直角三角形在實際中的應用知1－講2.解決實際問題時，常見的基本圖形及相應的關系式如下表所示圖形關系式AC＝BC·tanα，AG＝AC＋BE圖形關系式BC＝DC－BD＝AD·(tanα－tanβ)解直角三角形在實際中的應用知1－講續表圖形關系式AB＝DE＝AE·tanβ

，CD＝CE＋DE＝AE·(tanα＋tanβ)圖形關系式解直角三角形在實際中的應用知1－講續表圖形關系式圖形關系式知1－講特別解讀1.當實際問題中涉及的圖形可以直接轉化為直角三角形時，可利用解直角三角形的知識直接求解.2.在解直角三角形時，若相關的角不是直角三角形的內角，應利用平行線的性質或互余、互補的角的性質等將其轉化為直角三角形的內角，再利用解直角三角形的知識求解.知1－講3.問題中涉及的圖形有兩個或兩個以上的直角三角形，當其中一個直角三角形不能求解時，可考慮分別由兩個直角三角形找出含有相同未知元素的關系式，運用方程求解.知1－練例1[中考·河南]綜合實踐活動中，某小組用木板自制了一個測高儀測量樹高，測高儀ABCD為正方形，AB＝30cm，頂點A處掛了一個鉛錘M.如圖28.2－12是測量樹高的示意圖，測高儀上的點D，A與樹頂E在一條直線上，鉛垂線AM交BC于點H.經測量，點A距地面1.8m，到樹EG的距離AF＝11m，BH＝20cm.求樹EG的高度(結果精確到0.1m)．知1－練

解題秘方：將實際應用問題轉化為解直角三角形問題．知1－練

知1－練

D知1－練

例2知1－練解題秘方：在建立的非直角三角形模型中，用“化斜為直法”解含公共直角邊的直角三角形問題.

知1－練

知1－練2－1.[中考·青海]為了方便觀測動物的活動情況，某濕地公園要鋪設一段道路.計劃從圖中A，C兩處分別向B處鋪設，現測得AB＝1000m，∠BAC＝30°，∠ABC＝136°，求B，C兩點間的距離(結果取整數，參考數據：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25).知1－練解：如圖，過點B作BD⊥AC，垂足為D.∵∠BAC＝30°，∠ABC＝136°，∴∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝14°.知2－講1.仰角和俯角的定義在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，視線在水平線下方的角叫做俯角.知識點解直角三角形在仰角和俯角問題中的應用2知2－講2.示圖(如圖28.2－14)知2－講特別提醒1.仰角和俯角是視線相對于水平線而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧記為“上仰下俯”.2.當實際問題中遇到仰角或俯角時，要放在直角三角形中或轉化到直角三角形中，注意確定水平線.知2－練[中考·天津]綜合與實踐活動中，要用測角儀測量天津海河上一座橋的橋塔AB的高度(如圖28.2－15①)．例3知2－練某學習小組設計了一個方案：如圖28.2－15②，點C，

D，E依次在同一條水平直線上，DE＝36m，EC⊥

AB，垂足為C.在D處測得橋塔頂部B的仰角(∠CDB)為45°，測得橋塔底部A的俯角(∠CDA)為6°，又在E處測得橋塔頂部B的仰角(∠CEB)為31°．知2－練(1)求線段CD的長(結果取整數)；思路引導：知2－練

知2－練(2)求橋塔AB的高度(結果取整數).(參考數據：tan31°≈0.6，tan6°≈0.1)思路引導：知2－練

知2－練

知2－練解：由題意知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，AD⊥BC.∵AD⊥BC，∴∠BDA＝∠ADC＝90°.∴∠BAD＝∠ABD＝45°.

∴BD＝AD＝10m.知3－講知識點解直角三角形在方向角問題中的應用31.方向角的定義指北或指南的方向線與目標方向線所成的小于90°的角叫做方向角.特別警示：方向角和方位角不同，方位角是指從某點的指北方向線起，按順時針方向到目標方向線之間的水平夾角，變化范圍為0°~360°，而方向角的變化范圍是0°~90°.知3－講2.示圖如圖28.2－16，目標方向線OA，OB，OC的方向角分別可以表示為北偏東30°、南偏東45°、北偏西30°，其中南偏東45°習慣上又叫做東南方向，北偏東45°習慣上又叫做東北方向，北偏西45°習慣上又叫做西北方向，南偏西45°習慣上又叫做西南方向.知3－講特別解讀1.解決實際問題時，可利用正南、正北、正西、正東方向線構造直角三角形來求解.2.觀測點不同，所得的方向角也不同，但各個觀測點的南北方向線是互相平行的，通常借助此性質進行角度轉換.知3－練

例4知3－練解題秘方：建立數學模型后，作高AD，用“化斜為直法”，將斜三角形問題轉化為直角三角形問題求解．知3－練解：由題意，得∠NAC＝80°，∠BAS＝25°，∴∠CAB＝180°－

∠NAC－∠BAS＝75°.又∵∠ABC＝45°，∴

∠ACB＝180°－∠CAB－∠ABC＝60°，即行進路線BC和CA所在直線的夾角∠BCA的度數為60°．(1)求行進路線BC和CA所在直線的夾角∠BCA的度數；知3－練

(2)求檢查點B和C之間的距離(結果保留根號)．知3－練

知3－練

知3－練解：由題意得AB＝40×2＝80(km)，∠CAB＝30°，∠ABC＝45°.如圖，過點C作CD⊥AB于點D，則CD的長為該船在航行過程中與小島C的最近距離．知3－練知4－講1.坡角與坡度(坡比)的定義(1)坡角：坡面與水平面所成的夾角，如圖28.2－18中的α.(2)坡度(坡比)：我們通常把坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度(坡比)(如圖28.2－18所示)，坡度(坡比)也可寫成i＝h∶l的形式，在實際應用中常表示成1∶x的形式.知識點解直角三角形在坡角、坡度問題中的應用4知4－講

知4－講特別提醒1.坡度是兩條線段的比值，不是度數.2.表示坡度時，通常把比的前項取作1，后項可以是小數.知4－練

例5解題秘方：將分散的條件集中到△ABP中求解.知4－練(1)山坡坡角的度數等于_______°；30

知4－練

知4－練5－1.[中考·天門]為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，斜面坡度

i＝3∶4是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比.已知斜坡CD長度為20m，∠C＝18°，求斜坡AB的長(結果精確到0.1m，參考數據：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32).知4－練知4－練應用舉例一般測量問題仰角和俯角問題解直角三角形的應用類型方向角問題坡角和坡度問題題型從同一點看不同位置測量高度1[中考·菏澤]無人機在實際生活中的應用越來越廣泛.如圖28.2－20，某人利用無人機測量大樓的高度BC，無人機在空中點P處，測得點P距地面上A點80m，點A處的俯角為60°，樓頂C點處的俯角為30°，已知點A與大樓的距離AB為70m(點A，B，C，P在同一平面內)，求大樓的高度BC(結果保留根號)．例6解題秘方：在同一點兩條不同視線構成的直角三角形中，利用解直角三角形求出高度．

關鍵點撥本題由平行線的性質將兩個俯角轉化為內錯角放在兩個直角三角形中，利用解直角三角形及矩形的性質解決問題．題型從不同點看同一位置測量高度2為弘揚革命傳統精神，清明期間，某校組織學生前往懷化市烈士陵園緬懷革命先烈.大家被革命烈士紀念碑的雄偉壯觀震撼，想知道紀念碑的通高CD(碑頂到水平地面的距離)，于是師生組成綜合實踐小組進行測量．例7

解題秘方：先利用三角形外角的性質和等角對等邊求出DN，再在Rt△DNE中利用正弦的定義求出DE，最后不要忘記加上CE.

關鍵點撥本題中過測角儀的頂端向紀念碑所作的垂線，構造出矩形和直角三角形，利用解直角三角形和矩形的性質解決問題．題型從不同點看不同位置測量高度3[中考·鹽城]如圖28.2－22，小明用無人機測量教學樓的高度，將無人機垂直上升至距地面30m的點P處，測得教學樓底端點A的俯角為37°，例8再將無人機沿教學樓方向水平飛行26.6m至點Q處，測得教學樓頂端點B的俯角為45°，則教學樓AB的高度約為_____m(精確到1m，參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)．17思路引導：

關鍵點撥本題關鍵是構造直角三角形，根據正切的定義求出相關線段的長，最后利用線段的差求解.易錯點在解直角三角形的應用題時，對方向角理解不清導致錯誤如圖28.2－23，在某一海域執行護航任務的某軍艦正由東向西行駛，在航行到B處時，發現燈塔A在軍艦的正北方向500m處；當該軍艦從B處向正西方向行駛到達C處時，發現燈塔A在軍艦的北偏東60°的方向.求該軍艦從B處行駛到C處的路程(計算過程和結果均保留根號).例9

診誤區：指北或指南的方向線與目標方向線所成的小于90°的角叫做方向角，本題因對方向角的概念理解不清而導致錯誤.[中考·煙臺]風電項目對于調整能源結構和轉變經濟發展方式具有重要意義.某電力部門在一處坡角為30°的坡地新安裝了一架風力發電機，如圖28.2－24①

.考法利用解直角三角形求物體的高度1例10某校實踐活動小組對該坡地上的這架風力發電機的塔桿高度進行了測量，圖28.2－24②

為測量示意圖.已知斜坡CD長16米，在地面點A處測得風力發電機塔桿頂端P點的仰角為45°，利用無人機在點A的正上方53米的點B處測得P點的俯角為18°，求該風力發電機塔桿PD的高度(參考數據：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325).試題評析：本題考查了解直角三角形的應用及仰角和俯角問題，熟練掌握三角函數定義與解直角三角形的方法是解本題的關鍵．

在Rt△PAF中，∠PAF＝45°，∴

PF＝AF·tan45°＝x米.在Rt△BPG中，∠GBP＝18°，∴

GP＝BG·tan18°≈0.325x米，∴FG＝PF＋PG≈x＋0.325x＝1.325x(米)，∴

1.325x≈53，解得x≈40.∴

PF≈40米.∴

PD＝PF－DF≈40－8＝32(米).答：該風力發電機塔桿PD的高度約為32米．[中考·重慶]如圖28.2－25，甲、乙兩艘貨輪同時從A港出發，分別向B，D兩港運送物資，最后到達A港正東方向的C港裝運新的物資.考法利用解直角三角形解決航海問題2例11甲貨輪沿A港的東南方向航行40海里后到達B港，再沿北偏東60°方向航行一定距離到達C港.乙貨輪沿A港的北偏東60°方向航行一定距離到達D港，再沿南偏東30°方向航行一定距離到達C港．試題評析：本題考查了解直角三角形的應用，解決本題的關鍵是掌握航海問題中的方向角在解直角三角形中的應用.(1)求A，C兩港之間的距離(結果保留小數點后一位).

解：甲貨輪先到達C港.如圖28.2－25所示.由題意得∠CDF＝30°，DF∥AG，∴∠GAD＝∠ADF＝60°.

∴∠ADC＝∠ADF＋

∠CDF＝90°.

[中考·蘇州]如圖28.2－26①

是某種可調節支撐架，BC為水平固定桿，豎直固定桿AB⊥BC，活動桿AD可繞點A旋轉，CD為液壓可伸縮支撐桿，已知AB＝10cm，BC＝20cm，AD＝50cm．考法利用解直角三角形解決實物中的計算問題3例12試題評析：本題主要考查解直角三角形的實際應用，掌握銳角三角函數的概念是解題的關鍵．(1)如圖28.2－26②，當活動桿AD處于水平狀態時，求可伸縮支撐桿CD的長度(結果保留根號)；

考法利用解直角三角形解決跨學科問題4例13試題評析：本題考查了解直角三角形的應用，理解折射率的定義是解題關鍵.

(2)現有一塊與(1)中折射率相同的長方體介質，如圖28.2－29①所示，點A，B，C，D分別是長方體棱的中點，若光線經真空從矩形A1D1D2A2對角線交點O處射入，其折射光線恰好從點C處射出.如圖28.2－29②，已知α＝60°，CD＝10cm，求截面ABCD的面積．

[中考·湖南]某數學研究性學習小組在老師的指導下，利用課余時間進行測量活動．考法利用解直角三角形解決實踐活動問題5例14活動主題測算某水池中雕塑底座的底面積測量工具皮尺、測角儀、計算器等續表活動過程模型抽象某休閑廣場的水池中有一雕塑，其底座的底面為矩形ABCD，其示意圖如下：續表活動過程測繪過程與數據信息①在水池外取一點E，使得點C，B，E在同一條直線上；②過點E

作GH⊥CE，并沿EH

方向前進到點F，用皮尺測得EF的長為4米；③

在點F

處用測角儀測得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°；④用計算器計算得：sin60.3°≈0.87，cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75，sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40.請根據表格中提供的信息，解決下列問題(結果保留整數)：試題評析：本題考查了解直角三角形在實際測量活動中的應用，解題關鍵是構造直角三角形，利用銳角三角函數的知識求解．(1)求線段CE和BC的長度；

(2)求底座的底面ABCD的面積．

D

B

D

5.如圖，圖①為《天工開物》記載的用于舂(chōng)搗谷物的工具——“碓(duì)”的結構簡圖，圖②為其平面示意圖.已知AB⊥CD于點B，AB與水平線l相交于點O，OE⊥l.若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，則點C到水平線l的距離CF為________分米(結果用含根號的式子表示)．6.[中考·孝感]綜合實踐課上，航模小組用航拍無人機進行測高實踐．如圖，無人機從地面CD的中點A處豎直上升30米到達B處，測得博雅樓頂部E的俯角為45°，尚美樓頂部F的俯角為30°，已知博雅樓高度CE為15米，則尚美樓高度DF為_________米(結果保留根號).7.一漁船在海上A處測得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達點B處，測得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是________海里．8.無動力帆船是借助風力前行的．

如圖是帆船借助風力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風向所在直線的夾角∠PDA為70°，帆與航行方向的夾角∠PDQ為30°，風對帆的作用力F為400N.根據物理知識，F可以分解為兩個力F1與F2，其中與帆平行的力F1不起作用，與帆垂直的力F2又可以分解為兩個力f1與f2，f1與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2與航行方向一致，是真正推動帆船前行的動力.在物理學上常用線段的長度表示力的大小，據此，建立數學模型：F＝AD＝400，則f2＝CD≈_______．(單位：N)(參考數據：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77)1289.[中考·河北]中國的探月工程激發了同學們對太空的興趣.某晚，淇淇在家透過窗戶的最高點P恰好看到一顆星

星，此時淇淇距窗戶的水平距離BQ＝4m，仰角為α；淇淇向前走了3m后到達點D，透過點P恰好看到月亮，仰角為β，如圖是示意圖．已知，淇淇的眼睛與水平地面BQ的距離AB＝CD＝1.6m，點P到BQ的距離PQ＝2.6m，AC的延長線交PQ于點E.(注：圖中所有點均在同一平面)(1)求β

的大小及tanα

的值；(2)求CP的長及sin∠APC的值．10.[中考?瀘州]如圖，海中有一個小島C，某漁船在海中的A點測得小島C位于東北方向上，該漁船由西向東航行一段時間后到達B點，測得小島C位于北偏西30°方向

上，再沿北偏東60°方向繼續航行一段時間后到達D點，這時測得小島C位于北偏西60°方向上.已知A，C相距30nmile．求C，D間的距離(計算過程中的數據不取近似值)．11.研學實踐：為重溫解放軍東渡黃河“紅色記憶”，學校組織研學活動．

同學們來到毛主席東渡黃河紀念碑所在地，在了解相關歷史背景后，利用航模